1、1 1.靜矩靜矩CxydAxCxyCyOAyAxxdASydAS附錄附錄I 平面圖形的幾何性質(zhì)平面圖形的幾何性質(zhì)I- -1 截面的截面的靜矩和形心的位置靜矩和形心的位置2.形心形心AAxxAAyyACACdd3.形心與靜形心與靜矩的關(guān)系矩的關(guān)系A(chǔ)xSAySASxASyCyCxyCxC或 圖形對某軸的靜矩圖形對某軸的靜矩為零，則該軸一定過圖為零，則該軸一定過圖形的形心；某軸過圖形形的形心；某軸過圖形的形心，則圖形對該軸的形心，則圖形對該軸的靜矩為零的靜矩為零。2 例例I- -1 求圖示半徑為求圖示半徑為r的半圓形對其直徑軸的半圓形對其直徑軸x的靜矩及其形心坐的靜矩及其形心坐標標yC。 OCrxy

2、dAyCydy解：過圓心解：過圓心O作與作與x軸垂直的軸垂直的y軸，在距軸，在距x任意高度任意高度y處取一個與處取一個與x軸平行的窄條，軸平行的窄條，ydyrAd-222 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx-3423223r/r/rASyxC4、組合圖形的形心與靜矩、組合圖形的形心與靜矩（1）組合圖形的靜矩）組合圖形的靜矩CiiyiyCiixixxASSyASS（2）組合圖形的形心）組合圖形的形心iCiiiyCiCiiixCAxAASxAyAASy3 解：將此圖形分別為解：將此圖形分別為I、II、III三三部分，以圖形的鉛垂對稱軸為部分，以圖形的鉛垂對稱軸為y軸，軸，過過

3、II、III的形心且與的形心且與y軸垂直的軸線取軸垂直的軸線取為為x軸，則軸，則例例I- -2 求圖示圖形的形心。求圖示圖形的形心。150yCxOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于對稱知：由于對稱知： xC=041.極慣性矩：極慣性矩：2.慣性矩：慣性矩：AyAxdAxIdAyI22ApdAI2為圖形對一點的為圖形對一點的極慣性矩極慣性矩；xydAxy O3.慣性積：慣性積： 為圖形對為圖形對x、y一對正交軸的一對正交軸的慣性積；慣性積；AxyxydAI分別為圖形對分別為圖形對x

4、、y軸軸的的慣性矩；慣性矩；4.慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：慣性矩與極慣性矩的關(guān)系：xyAApIIdA)yx(dAI222 平面圖形對過一點的任意一對正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，平面圖形對過一點的任意一對正交軸的慣性矩之和為常數(shù)，等于圖形對該點的極慣性矩。等于圖形對該點的極慣性矩。I-2 極慣性矩極慣性矩 慣性矩慣性矩 慣性積慣性積5 解：平行解：平行x軸取一窄長條，軸取一窄長條， 其面積為其面積為dA=bdy，則，則 慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負，單位：慣性矩、極慣性矩恒為正值，慣性積有正負，單位：m4、cm4、mm4； 若圖形有一個對稱軸，則圖形對包含此對稱軸的一對正若圖形有一個對稱軸

5、，則圖形對包含此對稱軸的一對正交軸的慣性積為交軸的慣性積為零零； 慣性矩、慣性積和極慣性矩均為慣性矩、慣性積和極慣性矩均為面積的二次矩面積的二次矩 如將如將dA看成質(zhì)量看成質(zhì)量dm，則，則Ix、Iy、Ip分別為平面體對分別為平面體對x、y、原點的、原點的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量。例例I- -3 求圖示矩形對通過其形心且與邊求圖示矩形對通過其形心且與邊平行的平行的x、y軸的慣性矩軸的慣性矩Ix、Iy和慣性積和慣性積Ixy。dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA1232222bh)ydb(yAdyI/h/hAx-123hbIy又因為又因為x、y軸皆為對稱軸，故軸皆為對稱軸，故Ixy=0。同理可得同理可得

6、6 由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故由于圓形對任意直徑軸都是對稱的，故Ix=Iy注意到注意到I=Ix+Iy，得到，得到例例I- -4 求圖示直徑為求圖示直徑為d的圓對過圓心的任意直徑的圓對過圓心的任意直徑軸的慣性矩軸的慣性矩Ix、Iy及對圓心的極慣性矩及對圓心的極慣性矩I。dCxyd 解：解：首先求對圓心的極慣性矩。首先求對圓心的極慣性矩。在離圓心在離圓心O為為 處作寬度為處作寬度為d 的薄圓環(huán)，其面的薄圓環(huán)，其面積積dA=2d ，則，則32)d2(d42/022dAIdA64214dIIIyx7一、平行移軸公式一、平行移軸公式1.公式推導公式推導2.平行移軸公式平行移軸公式abAIIAbI

7、IAaIICCCCyxxyyyxx22 b和和a是圖形的形心是圖形的形心C在在Oxy坐標系中的坐標，所以它們是坐標系中的坐標，所以它們是有正負的。有正負的。3.注意注意： xC、yC軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸軸是形心軸，在所有的平行軸中，圖形對形心軸的慣性矩最小；的慣性矩最小；I- -3 慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積的平行移軸公式平行移軸公式組合截面的慣性矩和慣性積組合截面的慣性矩和慣性積 n1iin1iin1iixyxyyyxxIIIIII，二、組合圖形的慣性矩：二、組合圖形的慣性矩：8OxyCdAxCyCabyxxCyC已知：已知： 、 、 ，形心在，形心在xOy坐標系下

8、的坐標坐標系下的坐標(a，b)，求，求Ix、Iy、IxyCxICyICCyxI A2xdAyI A2CC2A2CdA)yay2a(dA)ya( A2CACA2dAydAya2dAaAaII2xxC AbII2yyC 同同理理：CxA2CACAIdAy0dAyAdA ， AxyxydAI ACCCCACCdA)yxbyaxab(dA)ya)(xb( ACCACACAdAyxdAybdAxadAabCCyxACCACACAIdAyx0dAy0dAxAdA ，abAIICCyxxy 9例例I- -5 求圖示求圖示T型截面對形心軸型截面對形心軸的慣性矩。的慣性矩。530530例例I- -6 已知三角形

9、對底邊已知三角形對底邊(x1軸軸)的慣性的慣性矩為矩為bh3/12，求其對過頂點的與底邊平，求其對過頂點的與底邊平行的行的x2軸的慣性矩。軸的慣性矩。bx1hx2xCh/3 解：由于解：由于x1、x2軸均非形心軸，所以軸均非形心軸，所以不能直接使用平行移軸公式，需先求出三不能直接使用平行移軸公式，需先求出三角形對形心軸角形對形心軸xC的慣性矩，再求對的慣性矩，再求對x2軸的軸的慣性矩，即進行兩次平行移軸：慣性矩，即進行兩次平行移軸：423236362312323223232121bhbhhbhAaIIbhbhhbhAaIICCxxxx-10303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形

10、截面對形心軸的慣性矩形截面對形心軸的慣性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取參考坐標系如圖，則：取參考坐標系如圖，則： iiiCCAyAy0zmm75.23AAyAyA212211 即即截截面面的的形形心心軸軸。、CCzy再求截面對形心軸的慣性矩：再求截面對形心軸的慣性矩：433ymm115601230512530IC 4222Cz121Cz222z121zzmm34530A)yy(I A)yy(I )AaI ()AaI (I2C1C2C1CC - - - - 由由平平行行移移軸軸定定理理得得：yCzyCzC11一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式1.公式推導：公式推導：2

11、.轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式：-2222222221111cosIsinIIIsinIcosIIIIIsinIcosIIIIIxyyxyxxyyxyxyxyyxyxx3.注意：注意： 是是x軸與軸與x1軸的夾角，由軸的夾角，由x軸逆時針轉(zhuǎn)到軸逆時針轉(zhuǎn)到x1軸軸時的時的 為正。為正。 I- -4 慣性矩和慣性積的慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式轉(zhuǎn)軸公式截面的主慣性軸和主慣性矩截面的主慣性軸和主慣性矩 12y1=|AC|dAy1x1y1x1 yx DEBACOxy已知：已知：Ix、Iy、Ixy、 ，求，求 、 、 。1xI1yI11yxI A21xdAyI1 - - A2xdA)sinxcosy(I1=|AD|-

12、-|EB| =ycos-xsin - - 2yxy2xsinIcossinI2cosI - - A2222dA)sinxcossinxy2cosy(利用三角變換，得到利用三角變換，得到2sin2cos221xyyxyxxIIIIII-同理，利用：同理，利用：x1=|OC|=|OE|+|BD|=xcos +ysin - - - - - - - 2cosI2sin2IIIasinI2cos2II2IIIxyyxyxxyyxyxy111得到得到13形心主慣性矩形心主慣性矩：圖形對形心主軸的慣性矩；：圖形對形心主軸的慣性矩；2.主軸方位：主軸方位：利用主軸的定義利用主軸的定義慣性積等于零進行求解；慣性

13、積等于零進行求解；主軸與主軸與x軸的夾角軸的夾角:yxxyIIItg-220 由上式可求出相差由上式可求出相差90o的的 0， 0+90o，分別對應(yīng)于一對相垂，分別對應(yīng)于一對相垂直的主軸直的主軸x0、y0；二、主慣性軸、主慣性矩二、主慣性軸、主慣性矩1.主軸的相關(guān)概念：主軸的相關(guān)概念：主軸主軸(主慣性軸主慣性軸)：慣性積等于零的一對正交軸；：慣性積等于零的一對正交軸； 形心主軸形心主軸：過圖形形心的主軸，圖形的對稱軸就是形：過圖形形心的主軸，圖形的對稱軸就是形心主軸心主軸14 與主軸方位的對應(yīng)關(guān)系：與主軸方位的對應(yīng)關(guān)系：求求 0時只取主值時只取主值|2 0| /2)，若若IxIy，則由，則由x

14、軸轉(zhuǎn)過軸轉(zhuǎn)過 0到達到達x0軸時，有軸時，有 ；若；若IxIy，則則 。注意，。注意， 0為正值時應(yīng)逆時針旋轉(zhuǎn)。為正值時應(yīng)逆時針旋轉(zhuǎn)。maxxII0minxII0 任何具有三個或三個以上對稱軸的平面圖形，所有形心任何具有三個或三個以上對稱軸的平面圖形，所有形心軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。軸都是主軸，如正三角形、正方形、正多邊形。 求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：求慣性矩的極值所在方位，得到與上式相同結(jié)果。所以：圖形對過某點所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對過圖形對過某點所有軸的慣性矩中的極大值和極小值，就是對過該點主軸的兩個主慣性矩。該點主軸的兩個主慣性矩

15、。3.主慣性矩大小：主慣性矩大小： 22minmax22xyyxyxIIIIIII-1512010101070例例I-7 計算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩計算圖示截面的形心主軸和形心主慣性矩IIIIIIICxyy0 x0 0圖形的對稱中心圖形的對稱中心C為形心，在為形心，在C點建立坐標點建立坐標系系xCy如圖如圖將整個圖形分成將整個圖形分成I、II、III三個矩形，如圖三個矩形，如圖整個圖形對整個圖形對x、y軸的慣性矩和慣性積分別軸的慣性矩和慣性積分別為為IIIxIIxIxxIIII 2)1060()560(12106023 - - 46mm1008. 5 12120103 46IIIyIIyIyymm1084. 1IIII 46IIIxyIIxyIxyxymm1031. 2IIII - - 426. 1III22tgyxxy0 - - - 2827o0 minymaxx0oyx0IIIIx2827x