1、1、已知,則_.2、已知,則_.3、函數在點取得極值.4、已知,則_.5、以(為任意常數)為通解的微分方程是_.6 知與均收斂,則常數的取值范圍是( c ).(A) (B) (C) (D) 7 數在原點間斷,是因為該函數( b ).(A) 在原點無定義 (B) 在原點二重極限不存在 (C) 在原點有二重極限,但無定義(D) 在原點二重極限存在,但不等于函數值8、若,則下列關系式成立的是( a). (A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解(d ). (A) (B) (C) (D) 10、設收斂，則(d ).(A) 絕對收斂 (B) 條件收斂 (C) 發散 (D) 不定一、填空題(每小題3

2、分,共15分)1、. 2、. 3、. 4、1. 5、.11、求由,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.解：的函數為。且時，。于是 12、求二重極限 . 解：原式 (3分) (6分)13、由確定，求.解：設，則 ， ， ， (3分) (6分)14、用拉格朗日乘數法求在條件下的極值.解： 令,得,為極小值點. (3分)故在下的極小值點為,極小值為 (6分)15、計算.解： (6分)6、計算二重積分，其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區域.解： (6分)17、解微分方程.解：令,方程化為,于是 (3分) (6分)18、判別級數的斂散性.解： (3分) 因為 19、將函數展開成的冪級數,并求展開式成立

3、的區間.解：由于,已知 , (3分)那么 ,. (6分20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據統計資料,銷售收入(萬元)與電臺廣告費用(萬元)的及報紙廣告費用(萬元)之間的關系有如下的經驗公式:，求最優廣告策略 解：公司利潤為令即得駐點,而 (3分),所以最優廣告策略為：電臺廣告費用(萬元),報紙廣告費用(萬元). (6分)四、證明題(每小題5分,共10分)21、設，證明：.證：22、若與都收斂,則收斂.證：由于, (3分)并由題設知與都收斂,則收斂,從而收斂。 (6分)1、設，則_.2、已知，則_.3、設函數在點取得極值，則常數4、已知,則_5、以(為任意常數)為通解的微

4、分方程是_.6、已知與均收斂,則常數的取值范圍是( ).(A) (B) (C) (D) 7、對于函數,點( ).(A) 不是駐點 (B) 是駐點而非極值點 (C) 是極大值點 (D) 是極小值8、已知,其中為,則( ).(A) (B) (C) (D) 9、方程具有特解( ). (A) (B) (C) (D) 10、級數收斂，則級數( ).(A) 條件收斂 (B) 絕對收斂 (C) 發散 (D) 斂散性不定11、求,所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積.12、求二重極限. 13、設,求.14、用拉格朗日乘數法求在滿足條件下的極值.15、計算.16、計算二重積分,其中是由軸及圓周所圍成的在第一象限內的區

5、域.17、解微分方程.18、判別級數的斂散性.19、將函數展開成的冪級數.20、某工廠生產甲、乙兩種產品,單位售價分別為40元和60元,若生產單位甲產品,生產單位乙產品的總費用為,試求出甲、乙兩種產品各生產多少時該工廠取得最大利潤.21、設,證明.22、若與都收斂,則收斂.（可能會有錯誤大家一定要自己核對）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設，且當時，則 。（）2、計算廣義積分= 。（）3、設，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、設，則_。（1）二、選擇題(每小題3分,共15分)1、的值為 （ A ）A.3 B.0 C.2 D.不存在2、和存在是函數在點可微的 （ A ）。 A

6、.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （D）。A. ； B. ；C、； D. 4、設二階常系數非齊次線性方程有三個特解，則其通解為 （C ）。 A.； B.； C.； D.5、無窮級數(為任意實數) （D）A、收斂 B、絕對收斂 C、發散 D、無法判斷 三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分）2、求由與直線、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積。解： （4分） （6分）3、求由所確定的隱函數的偏導數。解：方程兩邊對求導得:,有 （3分）方程兩邊對求導得:,有 （6分）4、求

7、函數的極值。解：，則， 求駐點，解方程組得和. （2分）對有，于是，所以是函數的極大值點，且 （4分）對有，于是， 不是函數的極值點。 6、計算積分,其中是由直線及所圍成的閉區域；解：. （4分） （6分）7、已知連續函數滿足，且，求。解：關系式兩端關于求導得：即 （2分）這是關于的一階線性微分方程，其通解為： = （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求解微分方程=0 。解：令，則，于是原方程可化為： （3分） 即，其通解為 （5分） 即故原方程通解為： （6分）9、求級數的收斂區間。解：令,冪級數變形為,. （3分）當時,級數為收斂；當時,級數為發散. 故的收斂區間是, （5分）那么的收斂

8、區間為. （6分）10、 判定級數是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕對收斂還是條件收斂。解：因為 （2分）由比值判別法知收斂()， （4分）從而由比較判別法知收斂，所以級數絕對收斂. （6分）四、證明題(每小題5分,共10分)1、設正項級數收斂,證明級數也收斂。證：， （3分）而由已知收斂，故由比較原則，也收斂。 （5分）2、設,其中為可導函數, 證明.證明：因為, （2分） （4分）所以. （5分）一、填空題(每小題3分,共15分)1、設，且當時，則 。（）2、計算廣義積分= 。（）3、設，則 。（）4、微分方程具有 形式的特解.（）5、級數的和為 。（）二、選擇題(每小題3分,共15分)

9、1、的值為 （ B ）A、0 B、3 C、2 D、不存在2、和在存在且連續是函數在點可微的 （ B ） A.必要非充分的條件； B.充分非必要的條件； C.充分且必要的條件； D.即非充分又非必要的條件。3、由曲面和及柱面所圍的體積是 （ B）A. ； B. ；C、； D. 4、設二階常系數非齊次微分方程有三個特解，則其通解為 （D） A、； B、； C、 ； D、5、無窮級數(為任意實數) （A）A、無法判斷 B、絕對收斂 C、收斂 D、發散三、計算題(每小題6分,共60分)1、求下列極限：。解： （3分） （6分） 2、求由在區間上,曲線與直線、所圍圖形繞軸旋轉的旋轉體的體積。 解： （4

10、分） （6分）3、求由所確定的隱函數的偏導數。解：（一）令則 ， ， 利用公式，得 （3分） （6分）（二）在方程兩邊同時對x求導，得 解出 ， （3分）同理解出 （6分）4、求函數的極值。解：，則，求駐點，解方程組得和. （2分）對有，于是，所以點不是函數的極值點. （4分）對有，于是，且，所以函數在點取得極小值, （6分） （5分）6、計算二重積分,其中是由及所圍成的閉區域；解： （4分） （6分）7、已知連續函數滿足，求。解：關系式兩端關于求導得：即 （2分）這是關于的一階線性微分方程，其通解為： （5分）又，即，故，所以 （6分）8、求微分方程的通解。解 這是一個不明顯含有未知函數的方程作變換 令 ，則，于是原方程降階為 （3分）， 分離變量，積分得 即 ，從而 （5分）再積分一次得原方程的通解 y （6分）9、求級數的收斂區間。解：令,冪級數變形為,. （3分）當時,級數為收斂；當時,級數為發散. 故的收斂區間是, （5分）那么的收斂區間為. （6分）10、 判定級數是否收斂，如果是收斂級數，指出其是絕