1、4 正態總體均值與方差的區間估計正態總體均值與方差的區間估計2( ,)一 單個總體的情形 N21221,( ,)nXXXNXS 設已給定置信水平為 ，并設，為總體的樣本，和分別是樣本均值和方差.122,XzXznn簡記為簡記為2Xzn1 均值 的置信區間(1)2 ，均值 的置信水平為1- 已區間為知的置信232 ，均值 的置信水平1- 的置信區間未知(2) 因方差未知，則因方差未知，則/2nXzn 不是統計量不是統計量. .想法：用樣本標準差想法：用樣本標準差S代替總體標準差代替總體標準差. .4 (1)Xtt nSn 由于由于 對給定的置信水平對給定的置信水平 , ,確定分位數確定分位數1

2、2(1),tn 使使即即2| |(1)1Pttn 2|(1)1XPtnSn 因此取因此取 作為樞軸量作為樞軸量XtSn 522(1),(1)SSXtnXtnnn 均值均值 的置信水平為的置信水平為 的置信區間的置信區間.即為即為1從中解得從中解得22(1)(1)1SSP XtnXtnnn 6例例1 1 有一大批糖果有一大批糖果. .現從中隨機的取現從中隨機的取1616袋，袋，稱得重量稱得重量( (以克記以克記) )如下如下： 設每袋糖果的重量近似服從正態分布，設每袋糖果的重量近似服從正態分布，試求總體均值試求總體均值 的置信水平為的置信水平為0.95的的置信區間置信區間 506 508 499

3、 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 4967解：解：這是這是單總體方差未知，總體均值單總體方差未知，總體均值 的區間估計問題的區間估計問題. .22(1),(1)ssxtnxtnnn 根據給出的數據，算得根據給出的數據，算得/20.02510.95,/ 20.025,115,(1)(15)2.1315ntnt 這里這里503.75,6.2022xs 均值均值 的置信水平為的置信水平為 的置信區間為的置信區間為18 22(1),(1)6.20226.2022503.752.1315,503.752.13151616(500.4,507.

4、1)ssxtnxtnnn 均值均值 的置信水平為的置信水平為0.95 的置信區間為的置信區間為9.以該區間內任一值作為 的近似值，誤差不大于236.2022(1)=2.1315 2=6.6116stnn 解釋：解釋：1.糖果重量的均值在糖果重量的均值在500.4g與與507.1g之間之間2.估計的可信度為估計的可信度為95%10222(1)(1)nSn 由于由于2221222(1)(1)(1)1nSPnn 從中解得從中解得22222212(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn 對給定的置信水平對給定的置信水平 ,確定分位數確定分位數1 22(1) ,n 使使212(1) ,n 取作為樞軸量2

5、2(1)nS 方差的置信區間22 只討論均值形未知情 112222212(1)(1),(1)(1)nSnSnn 方差方差 的置信水平為的置信水平為 的置信區間為的置信區間為21 標準差標準差 的置信水平為的置信水平為 的置信區間為的置信區間為12221211,(1)(1)nSnSnn 12例例2 2 求例求例1 1中總體標準差中總體標準差 的置信水平的置信水平 為為0.95的置信區間的置信區間解：解：根據給出的數據，算得根據給出的數據，算得22/20.025221/20.975/ 20.025 1/ 20.975,115,(1)(15)27.488,(1)(15)6.262nnn ，這里這里6

6、.2022s 13 標準差標準差 的置信水平為的置信水平為 的置信區間的置信區間. .12221211,(1)(1)nSnSnn 代入具體數值算得代入具體數值算得156.2022156.2022,27.4886.2624.58,9.60 14正態總體參數的置信區間正態總體參數的置信區間總體個數待估參數條件樞軸 量及其分布置 信 區 間一個22已知2未 知 /0,1n XN22, XzXznn/ (1)n XSt n/ 2/ 2(1),(1)（SnSnXtnXtn222(1)/1nSn2222/21/2(1)(1),(1)(1) nSnSnn 未 知 221122(,)(,)二 兩個正態總體，的

7、情形 NN121212121,22 設已給定置信水平為 ，并設，為來自第一個總體的樣本；， 為來自第二個總體的樣本，這兩個樣本相互獨立，且設 和 分別是第一、第二個總體的樣本均值，和分別是第一、第二個總體的樣本方差，nnXXXY YYXYSS15121 兩個總體均值差 的置信區間122212(1) ，均值差的置信水平 為1- 的置信區間，均已知12,X YX Y 因分別為 ， 的無偏估計，又由的獨立性及22121212(,)(,)XNYNnn，16221212(,)XYNnn得 1212()()(0,1)1/1/XYNnn或212212 即可得，均值差的置信水平為1- 的置，均已知下信區間為2

8、212/212XYznn17作為樞軸量122122(2)22 ，均值差 的置，但未知信水平為1- 的置信區間 根據第六章定理，得根據第六章定理，得121212() (2)11XYt nnSnn 181212()11取 作為樞軸量XYSnn22121222，但未知 從而可得，在 ，均值差的置信水平為1- 的置信區間/2121211(2)XYtnnSnn2222112212(1)(1),2nSnSSSSnn其中 19112122223nxsnxs為提高某一化學生產過程的得率，試圖采用一種新的催化劑.為慎重起見，在實驗工廠先進行試驗.設采用原來的催化劑進行了次試驗，得到得率的平均值樣本方差;又采用新

9、的催化劑進行了次試驗例 =8=91.73,=3.89=8=93.，得到得率的平均值,樣本方75=4差.02.2012假設兩總體都可認為服從正態分布，且，兩樣本獨立.試求兩總體均值差的置信水平為0.95的置方差相等信區間.21將具體值解：代入可得222112212(1)(1)3.96,3.962nsnsSSnn所求置信區間為所求置信區間為120.02511(14) 3.962.022.1388xxt 4.15即為 ，0.1122 由于所得置信區間包含由于所得置信區間包含0，實際中，實際中，認為采用這兩種催化劑所得的得率的認為采用這兩種催化劑所得的得率的均值沒有差別均值沒有差別.4.15所求區間為

10、 ，0.11232/2212 兩個總體方差比的置信區間12均值 ，未僅討論情形知的由第六章定理，得由第六章定理，得2212122212(1,1)SSF nn 12(1,1)F nn 并且不依賴于任何未知參數， 由此得2422122212取 作 為樞軸量SS22121/212/2122212(1,1)(1,1)1 SSP FnnFnn2221112222/212221/21211(1,1)(1,1)1即 SSPS FnnS Fnn252221112222/212221/21211(1,1)(1,1)SSS FnnS Fnn/2212于是，兩個總體方差比的置信水平為1- 的置信區間為2621224

11、ss22例 =0.34(mm研究由機)；器A和機器B生產的鋼管的 內徑，隨機抽取機器A生產的管子18只， 測得樣本方差為 抽取機器B生產的管子13只， 測得樣本方=0.29(為mm差).27221122221122(,)(,),NN 假設兩樣本相互獨立，且設由機器A,機器B生產的管子的內徑分別服從正態分布，這里，均未知./0.92212試求方差比的置信水平為的置信區間.28221122/2120.05120.9510.05218,0.34,13,0.29,0.10,(1,1)(17,12)2.59,11(1,1)(17,12)(12,17)2.38nsnsFnnFFnnFF：這里解因此所求置信區間為因此所求置信區間為0.3410.34,2.380.45,2.790.292.59 0.29290.45所求區間為 ，2.7922122212/1由于的置信區間包含，實際中，認為和沒有顯著差別.3031總體個數待估參數條件樞軸量及其分布置信區間二個1221222212, 已 知 12221122/0,1XYnnN221212221212/2