1、流體力學(xué)第流體力學(xué)第4章章第1頁(yè)/共67頁(yè)l4.14.1流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式（自學(xué)）流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式（自學(xué)）l無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式無(wú)粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式l從理想流體中任取一從理想流體中任取一 為中心的微元六面體為控制體，為中心的微元六面體為控制體，邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為 ，中心點(diǎn)壓強(qiáng)為，中心點(diǎn)壓強(qiáng)為 ， ( , , )p x y z( , , )x y z,dx dy dz第2頁(yè)/共67頁(yè)l受力分析受力分析( (x x方向?yàn)槔较驗(yàn)槔? )：l1.1.表面力表面力l因?yàn)槔硐肓黧w，所以因?yàn)槔硐肓黧w，所以l左表面左表面l右表面右表面l2.2.質(zhì)量力質(zhì)量力 l單位質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上分量為單位質(zhì)量

2、力在各坐標(biāo)軸上分量為 ，所以，所以 方向的方向的質(zhì)量力為質(zhì)量力為l由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律由牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 ， 方向有：方向有： ()()22xDudx pdx ppdydzpdydzXdxdydzdxdydzxxDt1xxxxxxyzDuuuuupXuuuxDttxyz01()2MMpPp Apdx dydzx1()2NNpPp Apdx dydzx, ,X Y ZXdxdydzFmaxx第3頁(yè)/共67頁(yè)l理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）理想流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程） l 適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體。適用范圍：恒定流或非恒定流，可壓縮流或不可壓縮流體

3、。 l 若加速度等于若加速度等于0 0，則上式就可轉(zhuǎn)化為，則上式就可轉(zhuǎn)化為歐拉平衡微分方程歐拉平衡微分方程 111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzDuuuuupXuuuxDttxyzDuuuuupYuuuyDttxyzDuuuuupZuuuzDttxyz第4頁(yè)/共67頁(yè)l粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式（自學(xué)）粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程式（自學(xué)）l1.1.粘性流體的動(dòng)壓強(qiáng)粘性流體的動(dòng)壓強(qiáng)l由于粘性作用，運(yùn)動(dòng)時(shí)出現(xiàn)剪應(yīng)力，使任一點(diǎn)法向應(yīng)力由于粘性作用，運(yùn)動(dòng)時(shí)出現(xiàn)剪應(yīng)力，使任一點(diǎn)法向應(yīng)力的大小，與作用面的方位有關(guān)。研究表明，同一點(diǎn)任意的大小，與作用面的方位有關(guān)。研究表明，同一點(diǎn)任意三個(gè)正交面上

4、的法向應(yīng)力之和都不變，該點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)表三個(gè)正交面上的法向應(yīng)力之和都不變，該點(diǎn)的動(dòng)壓強(qiáng)表示為示為l2.2.實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（實(shí)際流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（N-SN-S） 222111xxxxxxyzyyyyyxyzzzzzzxyzuuuupXuuuuxtxyzuuuupYuuuuytxyzuuuupZuuuuztxyz 1()3xxyyzzpppp第5頁(yè)/共67頁(yè)l4.24.2 元流的伯努利方程及能量方程元流的伯努利方程及能量方程l無(wú)粘性液體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分無(wú)粘性液體運(yùn)動(dòng)微分方程的伯努利積分l由于歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程是一個(gè)一階非線性偏微分方程組由于歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程是一個(gè)一階非線性偏微分方程組（

5、遷移加速度的三項(xiàng)中包含了未知數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)的乘（遷移加速度的三項(xiàng)中包含了未知數(shù)與其偏導(dǎo)數(shù)的乘積），因而至今還無(wú)法在一般情況下積分，只能在一定積），因而至今還無(wú)法在一般情況下積分，只能在一定條件下積分。考慮條件：條件下積分。考慮條件：l1 1、恒定流、恒定流111xxxxyzyyyxyzzzzxyzuuupXuuuxxyzuuupYuuuyxyzuuupZuuuzxyzdxdydz0,0yxzuuuptttt第6頁(yè)/共67頁(yè)l對(duì)上式各式分別乘以流線上微元線段的投影對(duì)上式各式分別乘以流線上微元線段的投影dxdx，dydy，dz,dz,則上式中的第一式變?yōu)椋簞t上式中的第一式變?yōu)椋簂2.2.在流線上，由

6、流線微分方程式在流線上，由流線微分方程式 ，有，有 1()xxxxyzuuupXdxdxuuudxxxyzyxzuuudxdydzyxzxu dxu dyu dxu dz()()xxxxyzxxxxyzxxxxxxxxxxxxuuuuuudxxyzuuuu dxu dxu dxxyzuuuu dxu dyu dzxyzuuuudxdydzxyzu du第7頁(yè)/共67頁(yè)l因此因此l同理有：同理有：l將上述三式相加得：將上述三式相加得： 2222221()()21()2xyzIIIIIIxyzIIIIIIuuupppXdxYdyZdzdxdydzdxyzuuuXdxYdyZdzdpd 211()(

7、)2xxxxyzxxxuuupXdxdxuuudxu dud uxxyz2211()211()2yyyzzzpYdydyu dud uypZdzdzu dud uz第8頁(yè)/共67頁(yè)l2.2.質(zhì)量力只有重力質(zhì)量力只有重力l3.3.均勻不可壓縮流體均勻不可壓縮流體 l積分得無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)方程沿流線積分積分得無(wú)粘性流體運(yùn)動(dòng)方程沿流線積分 ： 0,XYZg 1,()pconstdpd2()()2IIIIIIpugdzdd 2221()2xyzIIIIIIuuuXdxYdyZdzdpd 22puzCgg2()()02pugdzdd元流的伯努利方程元流的伯努利方程第9頁(yè)/共67頁(yè)l對(duì)同一流線上的任意兩點(diǎn)，

8、有對(duì)同一流線上的任意兩點(diǎn)，有l(wèi)或或l無(wú)粘性流體元流伯努利方程的應(yīng)用條件：無(wú)粘性流體元流伯努利方程的應(yīng)用條件：l1 1、恒定流動(dòng)；、恒定流動(dòng)；l2 2、質(zhì)量力只有重力、質(zhì)量力只有重力l3 3、沿元流（流線）、沿元流（流線）l4 4、不可壓縮流體、不可壓縮流體2211221222pupuzzgggg2222222111upzupz第10頁(yè)/共67頁(yè)l元流伯努利方程的物理意義和幾何意義元流伯努利方程的物理意義和幾何意義物理意義物理意義幾何意義幾何意義 單位重量流體的位能單位重量流體的位能位置水頭位置水頭單位重量流體的壓能單位重量流體的壓能壓強(qiáng)水頭（測(cè)壓管高度）壓強(qiáng)水頭（測(cè)壓管高度）pgz單位重量流體

9、的動(dòng)能單位重量流體的動(dòng)能流速水頭流速水頭 單位重量流體總勢(shì)能單位重量流體總勢(shì)能測(cè)壓管水頭測(cè)壓管水頭 單位重量流體的總機(jī)械能單位重量流體的總機(jī)械能總水頭總水頭 沿同一元流（流線）的各沿同一元流（流線）的各過(guò)流斷面上，單位重量流過(guò)流斷面上，單位重量流體所具有的機(jī)械能守恒。體所具有的機(jī)械能守恒。對(duì)于液體來(lái)說(shuō)，元流各對(duì)于液體來(lái)說(shuō)，元流各過(guò)流斷面上總水頭沿流過(guò)流斷面上總水頭沿流程保持不變。程保持不變。22puzggpzg22ug第11頁(yè)/共67頁(yè)例例4-34-3畢托管測(cè)速畢托管測(cè)速是一根很細(xì)的彎管，其前端和側(cè)面均開(kāi)有小孔，當(dāng)需要測(cè)是一根很細(xì)的彎管，其前端和側(cè)面均開(kāi)有小孔，當(dāng)需要測(cè)量水中某點(diǎn)流速時(shí)，彎管前

10、端置于該點(diǎn)并正對(duì)水流方向，前量水中某點(diǎn)流速時(shí)，彎管前端置于該點(diǎn)并正對(duì)水流方向，前端小孔和側(cè)面小孔分別由兩個(gè)不同通道接入兩根測(cè)壓管，測(cè)端小孔和側(cè)面小孔分別由兩個(gè)不同通道接入兩根測(cè)壓管，測(cè)量時(shí)只需要讀出這兩根測(cè)壓管的水面差，即可求得所測(cè)點(diǎn)之量時(shí)只需要讀出這兩根測(cè)壓管的水面差，即可求得所測(cè)點(diǎn)之流速。流速。第12頁(yè)/共67頁(yè)設(shè)先將一根彎管的前端封閉，彎管側(cè)面開(kāi)一小孔，把彎管正設(shè)先將一根彎管的前端封閉，彎管側(cè)面開(kāi)一小孔，把彎管正對(duì)水流方向，把側(cè)面開(kāi)孔處置于測(cè)點(diǎn)對(duì)水流方向，把側(cè)面開(kāi)孔處置于測(cè)點(diǎn)A A，此時(shí)彎管水面上升高，此時(shí)彎管水面上升高度度 ，則，則 代表了代表了A A點(diǎn)的動(dòng)水壓強(qiáng)，即：點(diǎn)的動(dòng)水壓強(qiáng)，即

11、：設(shè)設(shè)A A點(diǎn)流速為點(diǎn)流速為 ，若以通過(guò)，若以通過(guò)A A點(diǎn)點(diǎn)的水平面為基準(zhǔn)面，則的水平面為基準(zhǔn)面，則A A點(diǎn)的總點(diǎn)的總能量為：能量為： 1Aphg22122ApuuHhggg兩根測(cè)壓管的水面差1h1hu第13頁(yè)/共67頁(yè)再以另一根同樣的彎管，側(cè)面不開(kāi)孔，前端開(kāi)孔，將彎管再以另一根同樣的彎管，側(cè)面不開(kāi)孔，前端開(kāi)孔，將彎管前端置于前端置于A A點(diǎn)并正對(duì)水流方向。此時(shí)，由于點(diǎn)并正對(duì)水流方向。此時(shí)，由于A A點(diǎn)水流受彎管的點(diǎn)水流受彎管的阻擋，流速變零，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓能，故阻擋，流速變零，動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為壓能，故 ，上述，上述兩種方法所測(cè)得的兩種方法所測(cè)得的A A點(diǎn)能量應(yīng)相等，則可得點(diǎn)能量應(yīng)相等，則可得

12、由此可得由此可得A A點(diǎn)的流速點(diǎn)的流速以上就為畢托管測(cè)速的原理。以上就為畢托管測(cè)速的原理。 212212 ()22uhhug hhg hg兩根測(cè)壓管的水面差2Hh212 ()2ug hhg h第14頁(yè)/共67頁(yè)而真實(shí)的畢托管，并不要進(jìn)行兩次測(cè)量，而是兩根管合二而真實(shí)的畢托管，并不要進(jìn)行兩次測(cè)量，而是兩根管合二為一，只是將前端的小孔和側(cè)面的小孔由分別不同的通道接為一，只是將前端的小孔和側(cè)面的小孔由分別不同的通道接在兩支測(cè)壓管上。此時(shí)，流速應(yīng)為在兩支測(cè)壓管上。此時(shí)，流速應(yīng)為其中其中 稱(chēng)為畢托管的校正系數(shù)，一般稱(chēng)為畢托管的校正系數(shù)，一般 約為約為0.98-0.98-1.01.0。修正原因：修正原因：

13、1 1兩個(gè)小孔的位置不同。兩個(gè)小孔的位置不同。2 2畢托管放入水流中所產(chǎn)生的擾動(dòng)影響。畢托管放入水流中所產(chǎn)生的擾動(dòng)影響。 2ucg hcc第15頁(yè)/共67頁(yè)l粘性流體元流的伯努利方程粘性流體元流的伯努利方程l實(shí)際流體具有粘性，運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生流動(dòng)阻力，克服阻力做功，實(shí)際流體具有粘性，運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生流動(dòng)阻力，克服阻力做功，使流體的一部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能而散失。因此，使流體的一部分機(jī)械能不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能而散失。因此，實(shí)際流體流動(dòng)時(shí)，單位重量流體具有的機(jī)械能沿程不守恒，實(shí)際流體流動(dòng)時(shí)，單位重量流體具有的機(jī)械能沿程不守恒，而是沿程減少。設(shè)而是沿程減少。設(shè) 為單位重量流體從斷面為單位重量流體從斷面1 1

14、1 1流動(dòng)到斷面流動(dòng)到斷面2 22 2所損耗的機(jī)械能，即能量損失，稱(chēng)所損耗的機(jī)械能，即能量損失，稱(chēng)水頭損失水頭損失。則實(shí)際流。則實(shí)際流體元流的伯努利方程為：體元流的伯努利方程為：l 4.34.3恒定流體總流的伯努利方程恒定流體總流的伯努利方程l 漸變流及其性質(zhì)漸變流及其性質(zhì)l1 1、漸變流的過(guò)流斷面近于平面，面上各點(diǎn)的速度方向近于平、漸變流的過(guò)流斷面近于平面，面上各點(diǎn)的速度方向近于平行；行；l2 2、漸變流過(guò)流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)與靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即、漸變流過(guò)流斷面上的動(dòng)壓強(qiáng)與靜壓強(qiáng)分布規(guī)律相同，即2211221222wpupuzzhggggcpzgwh第16頁(yè)/共67頁(yè)l總流的伯努利方程總流的

15、伯努利方程l將式將式各項(xiàng)乘以重量流量各項(xiàng)乘以重量流量 ，得到單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)元，得到單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)元流兩過(guò)流斷面的全部流體的能量關(guān)系式：流兩過(guò)流斷面的全部流體的能量關(guān)系式：l根據(jù)連續(xù)性方程：根據(jù)連續(xù)性方程：l對(duì)上式在總流兩過(guò)水?dāng)嗝嫔戏e分，可以得到通過(guò)總流兩過(guò)對(duì)上式在總流兩過(guò)水?dāng)嗝嫔戏e分，可以得到通過(guò)總流兩過(guò)流斷面的所有流體所攜帶的總能量之間的關(guān)系流斷面的所有流體所攜帶的總能量之間的關(guān)系l整理得：整理得：22112212()( )22wpupuzgdQzhgdQgggggdQ1122dQu dAu dA12112222211221112223111111322222222()( )22()2()2

16、wAAAAwAAApupuzgu dAzhgu dAggggpugzu dAgdAggpugzu dAgdAghu dAgg第17頁(yè)/共67頁(yè)l1 1、勢(shì)能積分項(xiàng)、勢(shì)能積分項(xiàng)l由于取在漸變流過(guò)流斷面上由于取在漸變流過(guò)流斷面上, ,因此有因此有l(wèi)2 2、動(dòng)能積分項(xiàng)、動(dòng)能積分項(xiàng)l單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)總流過(guò)水?dāng)嗝娴牧黧w動(dòng)能的總和，積分單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)總流過(guò)水?dāng)嗝娴牧黧w動(dòng)能的總和，積分按斷面平均流速計(jì)算，并引入修正系數(shù)按斷面平均流速計(jì)算，并引入修正系數(shù) ：l l動(dòng)能修正系數(shù)動(dòng)能修正系數(shù), , 一般大于一般大于1 1，如果流速分布較，如果流速分布較均勻時(shí)均勻時(shí) 。在圓管層流動(dòng)動(dòng)中。在圓管層流動(dòng)動(dòng)中 ；工程實(shí)際中

17、的紊流運(yùn)動(dòng)常取工程實(shí)際中的紊流運(yùn)動(dòng)常取 。()()()ApppgzudAg zAzgQggg()ApgzudAg232222Aggu dAAgQggg 32Agu dAg1.05 1.1021333322AAAgu dAu dAggAdAg第18頁(yè)/共67頁(yè)l3 3、水頭損失積分項(xiàng)、水頭損失積分項(xiàng)l 為單位重量流體由過(guò)渡斷面為單位重量流體由過(guò)渡斷面1-11-1運(yùn)動(dòng)到運(yùn)動(dòng)到2-22-2的平均機(jī)械的平均機(jī)械能損失。能損失。l因此，總流的伯努利方程為：因此，總流的伯努利方程為：l4、能量方程的限制條件能量方程的限制條件 l1 1）恒定流；）恒定流；l2 2）不可壓縮流體；）不可壓縮流體；l3 3）質(zhì)

18、量力只有重力；）質(zhì)量力只有重力；l4 4）兩過(guò)流斷面應(yīng)為緩變流斷面，而兩斷面之間，可以）兩過(guò)流斷面應(yīng)為緩變流斷面，而兩斷面之間，可以是緩變流也可以是急變流；是緩變流也可以是急變流；l5 5）流量沿程不變；）流量沿程不變；l6) 6) 沿程沒(méi)有能量的輸入輸出。沿程沒(méi)有能量的輸入輸出。wwAghudAgh QwAghudA2211 122 21222wpvpvzzhggggwh第19頁(yè)/共67頁(yè)l6 6、有能量輸入輸出的伯努利方程、有能量輸入輸出的伯努利方程l當(dāng)兩過(guò)流斷面部有水泵、風(fēng)機(jī)或水輪機(jī)、汽輪機(jī)等流體機(jī)當(dāng)兩過(guò)流斷面部有水泵、風(fēng)機(jī)或水輪機(jī)、汽輪機(jī)等流體機(jī)械時(shí)，存在能量的輸入或輸出。此時(shí)的有能量

19、輸入或輸出械時(shí)，存在能量的輸入或輸出。此時(shí)的有能量輸入或輸出的伯努利方程為：的伯努利方程為：l3 3、兩斷面間有合流或分流的伯努利方程、兩斷面間有合流或分流的伯努利方程l分流分流2211 12221222mwpvpvzHzhgg2211 1222121 22233 311 1131 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg211233第20頁(yè)/共67頁(yè)l合流合流2233 311 1131 32233 3222232 32222wwpvpvzzhggpvpvzzhgg112233第21頁(yè)/共67頁(yè)l水頭線水頭線l總水頭線是總水頭的連線，測(cè)壓管水頭線是測(cè)壓管水總水頭線是總水頭的連線，測(cè)壓

20、管水頭線是測(cè)壓管水頭的連線頭的連線. .l理想（無(wú)粘性）流體中，總水頭線直線；理想（無(wú)粘性）流體中，總水頭線直線；l實(shí)際流體中，總水頭線總是沿程單調(diào)下降的，下降的實(shí)際流體中，總水頭線總是沿程單調(diào)下降的，下降的快慢可以用水力坡度快慢可以用水力坡度J J來(lái)表示來(lái)表示: :l而測(cè)壓管水頭線則沿程有升有降而測(cè)壓管水頭線則沿程有升有降2211 12221222wppzzhgggg wdhdHJdldl ppdHJdl 第22頁(yè)/共67頁(yè)理想流體總水頭線和測(cè)壓管水頭線理想流體總水頭線和測(cè)壓管水頭線第23頁(yè)/共67頁(yè)l利用能量方程的解題步驟（利用能量方程的解題步驟（“三選一列三選一列”）l（1 1）選擇基準(zhǔn)

21、面）選擇基準(zhǔn)面: :基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡(jiǎn)化計(jì)算基準(zhǔn)面可任意選定，但應(yīng)以簡(jiǎn)化計(jì)算為原則。例如選過(guò)水?dāng)嗝嫘涡模樵瓌t。例如選過(guò)水?dāng)嗝嫘涡模▃ z=0=0），或選自由液面），或選自由液面（p p=0=0）等。）等。l（2 2）選擇計(jì)算斷面：計(jì)算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸）選擇計(jì)算斷面：計(jì)算斷面應(yīng)選擇均勻流斷面或漸變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面。變流斷面，并且應(yīng)選取已知量盡量多的斷面。l（3 3）選擇計(jì)算點(diǎn)：管流通常選在管軸上，明渠流通常）選擇計(jì)算點(diǎn)：管流通常選在管軸上，明渠流通常選在自由液面。對(duì)同一個(gè)方程，必須采用相同的壓強(qiáng)標(biāo)選在自由液面。對(duì)同一個(gè)方程，必須采用相同的壓強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)。準(zhǔn)。l（4

22、 4）列能量方程解題，注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。）列能量方程解題，注意與連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。第24頁(yè)/共67頁(yè)l例例4-44-4：用直徑：用直徑 的水管從水箱引水，如圖所示，的水管從水箱引水，如圖所示，水箱水面與管道出口斷面中心的高差水箱水面與管道出口斷面中心的高差 ，保持恒定，保持恒定，水頭損失水頭損失 水柱，試求管道的流量。水柱，試求管道的流量。l基準(zhǔn)面：基準(zhǔn)面：0-00-0斷面斷面l計(jì)算斷面：計(jì)算斷面：1-11-1斷面，斷面，2-22-2斷面斷面l計(jì)算點(diǎn)：計(jì)算點(diǎn)： 1-11-1斷面自由水面（斷面自由水面（ ），）， 2-22-2斷面中心軸斷面中心軸上上l采用相對(duì)壓強(qiáng)采用相對(duì)壓強(qiáng)100

23、dmm4Hm3whm10第25頁(yè)/共67頁(yè)l解：應(yīng)用伯努利方程解：應(yīng)用伯努利方程l基準(zhǔn)面：基準(zhǔn)面：0-00-0斷面斷面; ;l計(jì)算斷面：計(jì)算斷面：1-11-1斷面，斷面，2-22-2斷面斷面; ;l計(jì)算點(diǎn)：計(jì)算點(diǎn)： 1-11-1斷面自由水面（斷面自由水面（ ），）， 2-22-2斷面中心軸斷面中心軸上上l因此有因此有l(wèi)采用相對(duì)壓強(qiáng)采用相對(duì)壓強(qiáng)l則：則：l取取l則流速為則流速為l流量流量2211 12221222wppzzhgggg 124 ,0zHm z2222wHhg 21.02322210.035m /s4QAd120pp22 ()4.43m/swg Hh10第26頁(yè)/共67頁(yè)l例例4-5

24、4-5：離心泵由吸水池抽水，已知抽水量：離心泵由吸水池抽水，已知抽水量 ，泵的安裝高度泵的安裝高度 ，吸水管直徑，吸水管直徑 ，吸水，吸水管的水頭損失管的水頭損失 ，試求水泵進(jìn)口斷面，試求水泵進(jìn)口斷面2-22-2的真的真空度空度 。l解：選擇基準(zhǔn)面為解：選擇基準(zhǔn)面為1-11-1斷面列出斷面列出1-11-1斷面，斷面，2-22-2斷面伯努斷面伯努利方程利方程l計(jì)算點(diǎn)：計(jì)算點(diǎn)：1-11-1斷面自由水面，斷面自由水面， l2-22-2斷面中心軸上斷面中心軸上l可采用相對(duì)壓強(qiáng)也可采用絕對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算可采用相對(duì)壓強(qiáng)也可采用絕對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算l本題采用相對(duì)壓強(qiáng)，由以上條件知本題采用相對(duì)壓強(qiáng)，由以上條件知5.56 /

25、QL s5sHmvp100dmm0.25whm12110,0sazzHpp2211 12221222wppzzhgggg 第27頁(yè)/共67頁(yè)l代入伯努利方程得代入伯努利方程得20.708m/sQA222225.28m251.74kPaswvpHhggpp 222202swpHhgg 第28頁(yè)/共67頁(yè)l例例4-6 4-6 文丘里流量計(jì)文丘里流量計(jì)l文丘里流量計(jì)主要用于管道中流體的流量測(cè)量，主要是文丘里流量計(jì)主要用于管道中流體的流量測(cè)量，主要是由收縮段、喉部和擴(kuò)散段三部分組成，它是利用收縮段，由收縮段、喉部和擴(kuò)散段三部分組成，它是利用收縮段，造成一定的壓強(qiáng)差，在收縮段前和喉部分別安裝一根測(cè)造成一

26、定的壓強(qiáng)差，在收縮段前和喉部分別安裝一根測(cè)壓管或用壓管或用U U形管差壓計(jì)測(cè)量出壓強(qiáng)差，從而求出管道中形管差壓計(jì)測(cè)量出壓強(qiáng)差，從而求出管道中流體的體積流量。流體的體積流量。 第29頁(yè)/共67頁(yè)l解：選水基準(zhǔn)面解：選水基準(zhǔn)面0-00-0。列出收縮段進(jìn)口斷面。列出收縮段進(jìn)口斷面1-11-1，喉道斷，喉道斷面面2-22-2的伯努利方程，忽略不計(jì)水頭損失的伯努利方程，忽略不計(jì)水頭損失h hw w，并取，并取1 1= =2 2=1=1，則有，則有 由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程 代入前式，得代入前式，得l若用測(cè)壓管測(cè)勢(shì)能差，則若用測(cè)壓管測(cè)勢(shì)能差，則 為測(cè)壓管為測(cè)壓管水頭差水頭差h h，則流量為，則流量為121

27、1241212 () ()(/)1ppg zzd d1212ppzz2211221222ppzzgggg21121122AdAd2111412142(/)1dQAghK hd d第30頁(yè)/共67頁(yè)21412142(/)1dKgddl其中文丘里管系數(shù)其中文丘里管系數(shù)K K為：為：l若考慮水頭損失，則需乘以一個(gè)流量系數(shù)若考慮水頭損失，則需乘以一個(gè)流量系數(shù)l若用水銀差壓計(jì)測(cè)勢(shì)能差，則有若用水銀差壓計(jì)測(cè)勢(shì)能差，則有QK h1212121212()()()136000(1)(1)12.61000012.6HgpHgppppppppzzzzzzhhhhQKh第31頁(yè)/共67頁(yè)l總流伯努利方程應(yīng)用的補(bǔ)充論述

28、總流伯努利方程應(yīng)用的補(bǔ)充論述l* *1 1、氣流的伯努利方程、氣流的伯努利方程( (自學(xué)自學(xué)) )l氣體是可壓縮的流體，但是對(duì)流速不是很大，壓強(qiáng)變氣體是可壓縮的流體，但是對(duì)流速不是很大，壓強(qiáng)變化不魘系統(tǒng)，如工業(yè)通風(fēng)管道、煙道等，可能應(yīng)用伯化不魘系統(tǒng)，如工業(yè)通風(fēng)管道、煙道等，可能應(yīng)用伯努利方程。努利方程。l用壓強(qiáng)的形式表示則用壓強(qiáng)的形式表示則 l若若 2212112222absabswwwzgpzgpppgh112221()absaabsaappppppg zz2212121222absabswppzzhgggg第32頁(yè)/共67頁(yè)l當(dāng)氣流的密度與外界空氣的密度相同時(shí)當(dāng)氣流的密度與外界空氣的密度相

29、同時(shí) ，或，或兩計(jì)算點(diǎn)的高度相同時(shí)兩計(jì)算點(diǎn)的高度相同時(shí) ，則有，則有l(wèi)當(dāng)氣流的密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外界空氣的密度當(dāng)氣流的密度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于外界空氣的密度 ，則，則有有22121222wppp22121212() ()22awpg zzppa2211221222wppzzhgggg12zza22121212()22wpg zzpp第33頁(yè)/共67頁(yè)l4.54.5動(dòng)量方程動(dòng)量方程l將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理應(yīng)用于流體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，可以導(dǎo)出將質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理應(yīng)用于流體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，可以導(dǎo)出流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程。根據(jù)動(dòng)量定理，流體系統(tǒng)動(dòng)量流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程。根據(jù)動(dòng)量定理，流體系統(tǒng)動(dòng)量的時(shí)間變化率的時(shí)間變化率 等于作用在系統(tǒng)上的外力等

30、于作用在系統(tǒng)上的外力 矢量和，矢量和，即即()dKdmuFdtdtdKdtF第34頁(yè)/共67頁(yè)從恒定總流中任取一束元流為控制體積，從恒定總流中任取一束元流為控制體積，d dt t時(shí)間內(nèi)，流體從時(shí)間內(nèi)，流體從1-21-2處流至處流至1 1-2-2處。處。d dt t時(shí)間內(nèi)元流的動(dòng)量變化（恒定流）為時(shí)間內(nèi)元流的動(dòng)量變化（恒定流）為 因?yàn)槭呛愣鳎驗(yàn)槭呛愣鳎琩tdt前后前后 無(wú)變化，則無(wú)變化，則因?yàn)檫^(guò)流斷面為漸變流斷面，各點(diǎn)速度平行，按平行矢量和因?yàn)檫^(guò)流斷面為漸變流斷面，各點(diǎn)速度平行，按平行矢量和的法則，定義的法則，定義 為為 方向的基本單位矢量，方向的基本單位矢量， 為為 方向方向的基本單位矢

31、量的基本單位矢量1 21 21 22 21 11 2()()t dtdKKKKKKK1 2K2 21 122221 11 1dKKKu dtA uu dtAu1i2i1u2u第35頁(yè)/共67頁(yè)則則對(duì)于不可壓縮流體對(duì)于不可壓縮流體 ，并引入修正系數(shù)，并引入修正系數(shù) ，以斷面平均流速以斷面平均流速 代替點(diǎn)流速代替點(diǎn)流速 ，積分得，積分得 稱(chēng)為動(dòng)量修正系數(shù)稱(chēng)為動(dòng)量修正系數(shù)1212, 21222221 11 11AAdKu dtA u iu dtAu iu12, 212222221 11122221 11 1221 1AAdKdtA idtA idtAdtAQdt 222AAu dAu dAAQ第36

32、頁(yè)/共67頁(yè)221 1221 1221 1()()()xxxyyyzzzQFQFQF l根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定值約為根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)定值約為1.021.021.051.05，近似于，近似于l l，所以為計(jì)算，所以為計(jì)算方便，在工程計(jì)算中通常取方便，在工程計(jì)算中通常取 。l由動(dòng)量定理，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上由動(dòng)量定理，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的增量等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系上的外力沖量的外力沖量l得得l投影式為投影式為221 1FdtQdt 1221 1FQ 第37頁(yè)/共67頁(yè)l總流動(dòng)量方程的應(yīng)用條件總流動(dòng)量方程的應(yīng)用條件: : 1 1）恒定流；）恒定流； 2 2）不可壓縮流體；）不可壓縮流體； 3 3）兩過(guò)流斷面應(yīng)為

33、漸變流斷面，而兩斷面之間，可）兩過(guò)流斷面應(yīng)為漸變流斷面，而兩斷面之間，可以是漸變流也可以是急變流。以是漸變流也可以是急變流。第38頁(yè)/共67頁(yè)l使用動(dòng)量方程時(shí)應(yīng)注意：使用動(dòng)量方程時(shí)應(yīng)注意：l1 1）選隔離體，將所研究的兩個(gè)漸變流斷面之間的水體取）選隔離體，將所研究的兩個(gè)漸變流斷面之間的水體取為隔離體；為隔離體； l2 2）選坐標(biāo)系，確定各作用力及流速的投影的大小和方向；）選坐標(biāo)系，確定各作用力及流速的投影的大小和方向； l3 3）作計(jì)算簡(jiǎn)圖：分析隔離體受力情況，并在隔離體上標(biāo)）作計(jì)算簡(jiǎn)圖：分析隔離體受力情況，并在隔離體上標(biāo)出全部作用力的方向；出全部作用力的方向； l4 4）列動(dòng)量方程解題，）列

34、動(dòng)量方程解題，計(jì)算壓力時(shí)，采用相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算計(jì)算壓力時(shí)，采用相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算。 l5 5）正確取好外力與流速的正負(fù)號(hào)。對(duì)于已知的外力和流）正確取好外力與流速的正負(fù)號(hào)。對(duì)于已知的外力和流速方向，凡是與選定坐標(biāo)軸方向相同者取正號(hào)，相反者速方向，凡是與選定坐標(biāo)軸方向相同者取正號(hào)，相反者取負(fù)號(hào)。對(duì)于未知待求量，則可先假定為某一方向，并取負(fù)號(hào)。對(duì)于未知待求量，則可先假定為某一方向，并按上述原則取好正負(fù)號(hào)，代入總流動(dòng)量方程中，進(jìn)行求按上述原則取好正負(fù)號(hào)，代入總流動(dòng)量方程中，進(jìn)行求解。求得的結(jié)果為正值時(shí)，假定方向即為實(shí)際方向，否解。求得的結(jié)果為正值時(shí)，假定方向即為實(shí)際方向，否則相反。則相反。l6 6）注意與能量方

35、程及連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。）注意與能量方程及連續(xù)性方程的聯(lián)合使用。第39頁(yè)/共67頁(yè)l例例4-9 4-9 水平設(shè)置的輸水彎管，轉(zhuǎn)角水平設(shè)置的輸水彎管，轉(zhuǎn)角 ，直徑由，直徑由 變?yōu)樽優(yōu)?。已知轉(zhuǎn)彎前斷面壓強(qiáng)。已知轉(zhuǎn)彎前斷面壓強(qiáng) （相對(duì)壓強(qiáng)），輸水流量（相對(duì)壓強(qiáng)），輸水流量 ，不計(jì)水頭損失，試求水流對(duì)彎管作用力的大小。不計(jì)水頭損失，試求水流對(duì)彎管作用力的大小。解：解： 取控制體由取控制體由1-11-1，2-22-2斷面及管壁圍成的空間，坐標(biāo)系斷面及管壁圍成的空間，坐標(biāo)系如圖。如圖。 分析作用在控制體內(nèi)分析作用在控制體內(nèi)液體上的作用力：液體上的作用力：重力：重力：過(guò)流斷面上的動(dòng)水壓力：過(guò)流斷面上的動(dòng)

36、水壓力：彎管對(duì)水流的作用力：彎管對(duì)水流的作用力：列總流動(dòng)量方程在列總流動(dòng)量方程在x x，y y軸方向軸方向的投影式的投影式1200mmd ,xyR R602150mmd 2118kN/mp 30.1m /sQ 12221 121 1cos60cos60sin60sin60 xyPPRQPRQ 12,P PGxRyRx1vy2P2v1d1P2121第40頁(yè)/共67頁(yè)其中其中列列1-11-1，2-22-2斷面的伯努利方程，忽略水頭損失斷面的伯努利方程，忽略水頭損失2211 12221212121221222222212212222220,144 0.13.185m/s0.244 0.15.66m/

37、s0.157.043kN/m217.0430.15 =0.124kN4ppzzggggzzQdQdppPp A 21111180.2 =0.565kN4Pp A0.538kN()0.597kN()xyRR0.538kN()0.597kN()xyRR水流對(duì)彎管的作用力水流對(duì)彎管的作用力與彎管對(duì)水流的作用與彎管對(duì)水流的作用力大小相等方向相反力大小相等方向相反第41頁(yè)/共67頁(yè)l例例4-10 4-10 水平分岔管路，干管直徑水平分岔管路，干管直徑 ，支管直徑，支管直徑 ，分岔角，分岔角 。已知分岔前斷面的。已知分岔前斷面的壓力表讀值壓力表讀值 ，干管流量，干管流量 ，不計(jì)，不計(jì)水頭損失。試求水流對(duì)分

38、岔管的作用力。水頭損失。試求水流對(duì)分岔管的作用力。解：解： 取控制體由取控制體由1-11-1，2-22-2，3-33-3斷面及管壁圍成的空間，坐斷面及管壁圍成的空間，坐標(biāo)系如圖。標(biāo)系如圖。 分析作用在控制體內(nèi)分析作用在控制體內(nèi)液體上的作用力：液體上的作用力：重力：重力：過(guò)流斷面上的動(dòng)水壓力：過(guò)流斷面上的動(dòng)水壓力：分岔管對(duì)水流的作用力：分岔管對(duì)水流的作用力：列總流動(dòng)量方程在列總流動(dòng)量方程在x x軸方向軸方向的投影式的投影式1600mmd 3023400mmdd270kN/mMp30.6m /sQ xR12322331 1cos30cos30cos30cos3022xQQPPPRQ 123,P P

39、 PG第42頁(yè)/共67頁(yè)其中其中列列1-11-1，2-2(2-2(或或3-3)3-3)斷面的伯努利方程，忽略水頭損失斷面的伯努利方程，忽略水頭損失2211 122212231212122122222221223122322220,144 0.62.12m/s0.622 0.62.39m/s0.469.4kN/m2169.40.4 =8.717kN4ppzzggggzzQdQdpppPPp A 21111700.6 =19.78kN4Pp A4.72kN()xR 4.72kN()xR 水流對(duì)分岔管的作用水流對(duì)分岔管的作用力與分岔管對(duì)水流的力與分岔管對(duì)水流的作用力大小相等方向作用力大小相等方向相反

40、相反第43頁(yè)/共67頁(yè)l例例4-11 4-11 水平方向的水射流，流量水平方向的水射流，流量 ，出口流速，出口流速 ，在，在大氣中沖擊在前后斜置的光滑平板上，射流軸線與平板成大氣中沖擊在前后斜置的光滑平板上，射流軸線與平板成角角 ，不計(jì)水流在平板上的阻力，試求：，不計(jì)水流在平板上的阻力，試求：( 1) ( 1) 沿平板沿平板的的 ；（；（2 2）射流對(duì)平板的作用力。）射流對(duì)平板的作用力。l解：取控制體由解：取控制體由1-11-1，2-22-2，3-33-3斷面及射流表面與平板內(nèi)斷面及射流表面與平板內(nèi)壁，坐標(biāo)系如圖。壁，坐標(biāo)系如圖。 分析作用在控制體內(nèi)分析作用在控制體內(nèi)液體上的作用力：液體上的作

41、用力：重力：重力：過(guò)流斷面上的動(dòng)水壓力為過(guò)流斷面上的動(dòng)水壓力為0 0：平板對(duì)水流的作用力：平板對(duì)水流的作用力：列總流動(dòng)量方程在列總流動(dòng)量方程在x,yx,y方向上的方向上的投影投影123,Q Q1QR22233311 111 11 10()cos0(sin )sinQQQRQQ G第44頁(yè)/共67頁(yè)列列1-11-1，2-2,3-32-2,3-3斷面的伯努利方程，忽略水頭損失斷面的伯努利方程，忽略水頭損失2211 1222122233311 1131232222ppzzggggppzzgggg 22233311 123112312130()coscos(1 cos )2(1 cos )2QQQQQ

42、QQQQQQQQ 11 11 10(sin )sinRQQ水流對(duì)平板的作用力水流對(duì)平板的作用力與平板對(duì)水流的作用與平板對(duì)水流的作用力大小相等方向相反力大小相等方向相反,指向平板指向平板第45頁(yè)/共67頁(yè)l4.64.6 無(wú)粘性流體的無(wú)旋流動(dòng)無(wú)粘性流體的無(wú)旋流動(dòng)l 無(wú)粘性無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程無(wú)粘性無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程l無(wú)粘性流體無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程無(wú)粘性流體無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程 l l或或 l物理意義：無(wú)粘性流體恒定無(wú)旋流動(dòng)全流場(chǎng)單位重量流物理意義：無(wú)粘性流體恒定無(wú)旋流動(dòng)全流場(chǎng)單位重量流體的機(jī)械能守恒。體的機(jī)械能守恒。l無(wú)粘性流體無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程與無(wú)粘性流體元流伯無(wú)粘性流體無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程

43、與無(wú)粘性流體元流伯努利方程形式完全一樣，但含義和應(yīng)用范圍不同，元流努利方程形式完全一樣，但含義和應(yīng)用范圍不同，元流伯努利方程在同一條流線上成立，而伯努利方程在同一條流線上成立，而 無(wú)旋流動(dòng)的伯努無(wú)旋流動(dòng)的伯努利方程全流場(chǎng)成立。利方程全流場(chǎng)成立。22puzCgg2222222111upzupz第46頁(yè)/共67頁(yè)l 速度勢(shì)函數(shù)速度勢(shì)函數(shù)l由曲線積分定理可知，無(wú)旋條件式：由曲線積分定理可知，無(wú)旋條件式：l是使表達(dá)式是使表達(dá)式 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的的全微分的充要條件，即全微分的充要條件，即102102102yyxzxxxzzyyyxxzuuuuyzyzuuuuzxzxuuuuxyxy或或或xy

44、zu dxu dyu dz( , , )x y zxyzdu dxu dyu dz第47頁(yè)/共67頁(yè)l比較比較l得得l即：即：l式中：式中： 無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的流速勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的流速勢(shì)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì)函數(shù)勢(shì)函數(shù)。l由此可以得出，無(wú)旋流動(dòng)是有速度勢(shì)的流動(dòng)，反之，有由此可以得出，無(wú)旋流動(dòng)是有速度勢(shì)的流動(dòng)，反之，有速度勢(shì)的即是無(wú)旋流動(dòng)。速度勢(shì)的即是無(wú)旋流動(dòng)。l對(duì)于不可壓縮的平面流體流動(dòng)中，將式對(duì)于不可壓縮的平面流體流動(dòng)中，將式l代入連續(xù)性微分方程代入連續(xù)性微分方程ddxdydzxyz,xyzuuuxyzugrad,xyzuuuxyz0yxzuuuxyz第48頁(yè)/共67頁(yè)l有有l(wèi)即即： l該式是著名的拉普

45、拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)該式是著名的拉普拉斯方程，滿足拉普拉斯方程的函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。所以，調(diào)和函數(shù)的一切性質(zhì)，也是速度勢(shì)是調(diào)和函數(shù)。所以，調(diào)和函數(shù)的一切性質(zhì)，也是速度勢(shì)函數(shù)具有的性。函數(shù)具有的性。222222()()()0 xxyyzzxyz222222220 xyz 第49頁(yè)/共67頁(yè)l平面流動(dòng)與流函數(shù)平面流動(dòng)與流函數(shù)l根據(jù)不可壓縮液體平面流動(dòng)的連續(xù)性微分方程，有根據(jù)不可壓縮液體平面流動(dòng)的連續(xù)性微分方程，有l(wèi)它是使它是使 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微的全微分的充分與必要的條件，則有分的充分與必要的條件，則有l(wèi) l得到得到l 稱(chēng)為不可壓縮液體平面流動(dòng)的稱(chēng)為不可壓縮液體平面流動(dòng)的流函

46、數(shù)流函數(shù)。實(shí)際上，。實(shí)際上，無(wú)論是無(wú)旋勢(shì)流還是有旋流動(dòng)，無(wú)論是理想液體還是實(shí)無(wú)論是無(wú)旋勢(shì)流還是有旋流動(dòng)，無(wú)論是理想液體還是實(shí)際液體，在不可壓縮液體的平面流動(dòng)中必存在流函數(shù)。際液體，在不可壓縮液體的平面流動(dòng)中必存在流函數(shù)。上式說(shuō)明了，若能確定流函數(shù)一個(gè)未知數(shù)，則也可求得上式說(shuō)明了，若能確定流函數(shù)一個(gè)未知數(shù)，則也可求得uxux與與uyuy。 yxuuxy yxu dxu dy( , )x ydydydxxdyudxudxy,xyuuyx ( , )x y第50頁(yè)/共67頁(yè)l流函數(shù)的性質(zhì)流函數(shù)的性質(zhì) ：l1 1、流函數(shù)等值線、流函數(shù)等值線 就是流線。就是流線。l證明：證明：l得平面流線方程：得平面流

47、線方程：l得證。得證。l2 2、不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，任意兩條流線的流函、不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，任意兩條流線的流函數(shù)之差等于這兩條流線間所通過(guò)的單位寬度流量數(shù)之差等于這兩條流線間所通過(guò)的單位寬度流量dqdq。 ( , )x yC( , )0yxx yCdu dxu dy yxuudxdy第51頁(yè)/共67頁(yè)l現(xiàn)證明如下：如圖所示，在流函數(shù)現(xiàn)證明如下：如圖所示，在流函數(shù)11與與33的兩條流線的兩條流線間有任一曲線間有任一曲線AB(AB(不一定垂直于流線不一定垂直于流線) )，在它上面任取一，在它上面任取一微元線段微元線段 ，其流速為，其流速為 ，假定垂直于流動(dòng)平面的，假定垂直于流動(dòng)平面的寬

48、度等于寬度等于1 1， 則通過(guò)則通過(guò) 流量流量 l故故l式中式中 是微元線段是微元線段 的法向單位矢量；的法向單位矢量；l這一積分與曲線這一積分與曲線ABAB的形狀無(wú)關(guān)，僅決定于的形狀無(wú)關(guān)，僅決定于A A、B B兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的值。由此得證。值。由此得證。dldlcos,cos,xyxyxydqu ndlun xun ydldydxuudlu dyu dxddldl u13BAbaddqqdln第52頁(yè)/共67頁(yè)l3 3、平面無(wú)旋流動(dòng)的等流函數(shù)線（流線）與等勢(shì)線正交、平面無(wú)旋流動(dòng)的等流函數(shù)線（流線）與等勢(shì)線正交l證明：對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)，同時(shí)存在速度勢(shì)和流函數(shù)。證明：對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)，同時(shí)存在速度勢(shì)

49、和流函數(shù)。由流線方程由流線方程l某一點(diǎn)斜率某一點(diǎn)斜率l由等勢(shì)線方程由等勢(shì)線方程l同點(diǎn)等勢(shì)線斜率同點(diǎn)等勢(shì)線斜率l乘積乘積l所以流線與等勢(shì)線正交，故等勢(shì)線也就是過(guò)流斷面線。所以流線與等勢(shì)線正交，故等勢(shì)線也就是過(guò)流斷面線。 0 xydu dxu dy0 xydu dyu dx1yxudymdxu2xyudymdxu 121m m 第53頁(yè)/共67頁(yè)l4 4、平面無(wú)旋流動(dòng)，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)、平面無(wú)旋流動(dòng)，流函數(shù)是調(diào)和函數(shù)l證明：平面無(wú)旋流動(dòng)，有證明：平面無(wú)旋流動(dòng)，有l(wèi)將將 代入代入l得得l l或或l式中式中l(wèi)式說(shuō)明了不可壓縮液體平面勢(shì)流中流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)，式說(shuō)明了不可壓縮液體平面勢(shì)流中流函數(shù)也是調(diào)和

50、函數(shù)，它也滿足拉普拉斯方程。它也滿足拉普拉斯方程。2222()()00 xyyxxy1002yyxxzuuuuxyxy,xyuuyx 2022222xy 第54頁(yè)/共67頁(yè)l對(duì)比式對(duì)比式l和式和式l得得l即柯西即柯西- -黎曼條件，黎曼條件， 為一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)。為一對(duì)共軛調(diào)和函數(shù)。xyyx ,xyuuxy,xyuuyx , 第55頁(yè)/共67頁(yè)l基本平面勢(shì)流基本平面勢(shì)流l1 1、均勻直線流動(dòng)、均勻直線流動(dòng)l速度場(chǎng)：速度場(chǎng)：l速度勢(shì)：速度勢(shì)：l流函數(shù)：流函數(shù)：l當(dāng)流動(dòng)方向平行當(dāng)流動(dòng)方向平行x x軸：軸：l當(dāng)流動(dòng)方向平行當(dāng)流動(dòng)方向平行y y軸：軸：xyu dyu dxadybdx aybx,xyu

51、a ubxyu dxu dyadxbdy axby0,yuaxay0,xubybx 第56頁(yè)/共67頁(yè)l2 2、源流和匯流、源流和匯流l（1 1）源流：流體從平面上的一點(diǎn)）源流：流體從平面上的一點(diǎn)o o流出，均勻地向四周流出，均勻地向四周徑向直線流動(dòng)。徑向直線流動(dòng)。l速度場(chǎng)：速度場(chǎng)：l速度勢(shì)：速度勢(shì)：l流函數(shù)：流函數(shù)：l等勢(shì)線方程等勢(shì)線方程 ，等勢(shì)線是以，等勢(shì)線是以O(shè) O點(diǎn)為圓心的同心點(diǎn)為圓心的同心圓。圓。l流線方程流線方程 ，流線是由，流線是由O O點(diǎn)引出的射線。點(diǎn)引出的射線。l以直角坐標(biāo)表示以直角坐標(biāo)表示ln22rqqu dru rddrrr,02rquur22rqqu rdu drrdr

52、, c rc, cc22( , )ln2( , )arctan2qx yxyqyx yx第57頁(yè)/共67頁(yè)l（2 2）匯流：；流體從四周沿徑向均勻地流入一點(diǎn)。）匯流：；流體從四周沿徑向均勻地流入一點(diǎn)。l速度勢(shì)：速度勢(shì)：l流函數(shù)：流函數(shù)：l以直角坐標(biāo)表示以直角坐標(biāo)表示l源流和匯流是一種理想化的流動(dòng)，在原點(diǎn)（源點(diǎn)或匯點(diǎn)）源流和匯流是一種理想化的流動(dòng)，在原點(diǎn)（源點(diǎn)或匯點(diǎn)）l 是不可能的，這樣稱(chēng)為奇點(diǎn)。如將原點(diǎn)是不可能的，這樣稱(chēng)為奇點(diǎn)。如將原點(diǎn)附近除外，注水井向地層注水，地下水從四周向汲水井附近除外，注水井向地層注水，地下水從四周向汲水井匯集，可看作是平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯流。匯集，可看作是平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯流。

53、ln2qr 2q 22( , )ln2( , )arctan2qx yxyqyx yx 0,rru 第58頁(yè)/共67頁(yè)l3 3、環(huán)流：流體繞固定點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，且速度與圓周半、環(huán)流：流體繞固定點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，且速度與圓周半徑成反比徑成反比 。l速度場(chǎng)：速度場(chǎng)：l速度勢(shì)：速度勢(shì)：l流函數(shù)：流函數(shù)：l等勢(shì)線方程等勢(shì)線方程 ，等勢(shì)線是由，等勢(shì)線是由O O點(diǎn)引出的射線。點(diǎn)引出的射線。l流線方程流線方程 ，流線是以，流線是以O(shè) O點(diǎn)為圓心的同心圓。點(diǎn)為圓心的同心圓。l以直角坐標(biāo)表示以直角坐標(biāo)表示22ru dru rdrdr0,2ruurln22rqu rdu drdrrr, c rc, cc22( , )a

54、rctan2( , )ln2yx yxx yxy 第59頁(yè)/共67頁(yè)l平面無(wú)旋流動(dòng)的疊加原理平面無(wú)旋流動(dòng)的疊加原理l平面勢(shì)流問(wèn)題歸結(jié)于在具體的邊界條件下求解勢(shì)函數(shù)或平面勢(shì)流問(wèn)題歸結(jié)于在具體的邊界條件下求解勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)所滿足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是線性流函數(shù)所滿足的拉普斯方程。由于拉普拉斯方程是線性的，所以幾個(gè)勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)的線性疊加仍然滿足拉普的，所以幾個(gè)勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)的線性疊加仍然滿足拉普斯方程。這就是說(shuō)，幾個(gè)勢(shì)流疊加后的流動(dòng)仍然是勢(shì)流。斯方程。這就是說(shuō)，幾個(gè)勢(shì)流疊加后的流動(dòng)仍然是勢(shì)流。 l（證明略）（證明略）l勢(shì)流的疊加原理為我們提供了一種求解較復(fù)雜流動(dòng)的方勢(shì)流的疊加原理為我們提供了一種求解較復(fù)雜流動(dòng)的方法，可以將幾種最簡(jiǎn)單的已知?jiǎng)萘鳢B加起來(lái)得到較復(fù)雜法，可以將幾種最簡(jiǎn)單的已知?jiǎng)萘鳢B加起來(lái)得到較復(fù)雜的勢(shì)流。當(dāng)然，疊加的結(jié)果