1、3.1.2用二分法求方程的近似解1.1.掌握用二分法求函數零點近似值的步驟掌握用二分法求函數零點近似值的步驟. .2.2.讓學生初步了解逼近思想讓學生初步了解逼近思想, ,體會數學逼近過程體會數學逼近過程, ,感受精度與近感受精度與近似的相對統一似的相對統一. .3.3.根據具體函數的圖象根據具體函數的圖象, ,能夠借助計算器用二分法求相應方程能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解的近似解. .1.1.二分法的定義二分法的定義(1)(1)滿足的條件滿足的條件: :f(xf(x) )在區間在區間a,ba,b 上的圖象上的圖象_._.在區間在區間a,ba,b 端點的函數值端點的函數值_._.(2

2、)(2)操作過程操作過程: :把函數把函數f(xf(x) )的零點所在的區間不斷地的零點所在的區間不斷地_,_,使區間的兩個使區間的兩個端點逐步逼近端點逐步逼近_,_,進而得到零點的近似值進而得到零點的近似值. .連續不斷連續不斷f(a)f(a)f(bf(b)0)0一分為二一分為二零點零點2.2.二分法的步驟二分法的步驟(1)(1)驗證驗證: :確定區間確定區間a,ba,b,驗證驗證_,_,給定精確度給定精確度.(2)(2)求中點求中點: :求區間求區間(a,b(a,b) )的中點的中點c.c.(3)(3)計算計算: :若若f(cf(c)=0,)=0,則則_就是函數的零點就是函數的零點; ;若

3、若f(a)f(a)f(cf(c)0,)0,則令則令b=c(b=c(此時零點此時零點x x0 0_);_);若若f(c)f(c)f(bf(b)0,)0,則令則令a=c(a=c(此時零點此時零點x x0 0_)._).(4)(4)判斷判斷: :若若_,_,則得到零點近似值則得到零點近似值a(a(或或b);b);否則重復否則重復(2)(2)(4).(4).f(a)f(a)f(bf(b)0)0(a,c(a,c) )(c,b(c,b) )|a-b|a-b|0,F(0)=-10,F(0)=-10,所以所以F(-1)F(-1)F(0)0,F(0)0,f(0.532)0,f(0.605)0,f(0.532)0

4、,f(0.605)0,即得到方程的一個近似即得到方程的一個近似解為解為( (精確度為精確度為0.1).0.1).【解析【解析】因為因為|0.605-0.532|=0.0730.1,|0.605-0.532|=0.0730.1,所以所以0.6050.605或或0.5320.532都都可作為方程可作為方程f(xf(x)=0)=0的一個近似解的一個近似解. .答案答案: :0.532(0.532(答案不唯一答案不唯一) )一、二分法的定義一、二分法的定義根據二分法的定義根據二分法的定義, ,思考下列問題思考下列問題: :探究探究1:1:右圖中函數右圖中函數y=f(xy=f(x) )在區間在區間a,b

5、a,b 上的上的零點是否可以用二分法求解零點是否可以用二分法求解? ?提示提示: :可以可以. .因為該函數因為該函數y=f(xy=f(x) )滿足二分法求函數零點的兩個條滿足二分法求函數零點的兩個條件件: :f(xf(x) )在在a,ba,b 上連續不斷上連續不斷; ;f(a)f(a)f(bf(b)0.)0.探究探究2:2:用二分法求函數的近似零點用二分法求函數的近似零點, ,采用什么方法能進一步縮采用什么方法能進一步縮小零點所在的區間小零點所在的區間? ?提示提示: :可采用把區間一分為二即取中點的方法逐步縮小零點所可采用把區間一分為二即取中點的方法逐步縮小零點所在的區間在的區間. .探究

6、探究3:3:用二分法求函數的零點時用二分法求函數的零點時, ,決定二分法步驟結束的條件決定二分法步驟結束的條件是什么是什么? ?提示提示: :根據二分法的步驟和題目精確度的要求根據二分法的步驟和題目精確度的要求, ,若出現若出現f(cf(c)=0,)=0,則步驟結束則步驟結束, ,否則需要零點所在區間的兩個端點值之差的絕對否則需要零點所在區間的兩個端點值之差的絕對值小于精確度值小于精確度時時, ,二分法的步驟結束二分法的步驟結束. .【探究總結【探究總結】1.1.對二分法定義的兩點說明對二分法定義的兩點說明(1)(1)二分法就是通過不斷地將零點所在區間一分為二二分法就是通過不斷地將零點所在區間

7、一分為二, ,逐步逼近逐步逼近零點的辦法零點的辦法, ,找到零點附近足夠小的區間找到零點附近足夠小的區間, ,根據所要求的精確度根據所要求的精確度, ,用此區間的某個數值近似地表示函數的零點用此區間的某個數值近似地表示函數的零點. .(2)(2)二分法是求函數零點的一種常用方法二分法是求函數零點的一種常用方法, ,是是“逐步逼近逐步逼近”的數的數學思想的應用學思想的應用. .2.2.精確度精確度與計算次數即等分區間次數的關系與計算次數即等分區間次數的關系精確度是方程近似解的一個重要指標，它由計算次數決定精確度是方程近似解的一個重要指標，它由計算次數決定. .若若初始區間是初始區間是(a,b(a

8、,b) )，那么經過，那么經過n n次取中點后，區間的長度是次取中點后，區間的長度是 只要這個區間的長度小于精確度只要這個區間的長度小于精確度,那么這個區間內的那么這個區間內的任意一個值都可以作為方程的近似解，因此計算次數和精確度任意一個值都可以作為方程的近似解，因此計算次數和精確度滿足關系滿足關系 即即 其中其中n n只取正整數只取正整數. .nab2，nab2 ，2abnlog，二、用二分法求方程的近似解二、用二分法求方程的近似解如圖為函數如圖為函數y=f(x),y=g(xy=f(x),y=g(x) )的圖象的圖象, ,根據根據圖象回答下列問題圖象回答下列問題: :探究探究1:1:方程方程

9、f(x)=g(xf(x)=g(x) )的解與函數的解與函數y=f(xy=f(x) )與與y=g(xy=g(x) )的交點坐標有何關系的交點坐標有何關系? ?提示提示: :方程方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )的解就是函數的解就是函數y=f(xy=f(x) )與與y=g(xy=g(x) )圖象交點的圖象交點的橫坐標橫坐標. .探究探究2:2:用二分法求方程用二分法求方程f(x)=g(xf(x)=g(x) )在區間在區間a,ba,b 上的近似解的步上的近似解的步驟是什么驟是什么? ?提示提示: :構造構造: :令令F(x)=f(x)-g(xF(x)=f(x)-g(x););定區間定區間:

10、:確定區間確定區間a,ba,b,使使F(a)F(a)F(bF(b)0;)0;求解求解: :用二分法求用二分法求F(xF(x) )在區間在區間a,ba,b 上的零點近似值上的零點近似值. .【探究總結【探究總結】用二分法求方程近似解的四個關注點用二分法求方程近似解的四個關注點(1)(1)解的近似性解的近似性: :所得的解一般是近似解所得的解一般是近似解. .(2)(2)局限性局限性: :只能解決一部分函數的零點問題只能解決一部分函數的零點問題. .(3)(3)精確度問題精確度問題: :精確度決定二分法的步驟次數精確度決定二分法的步驟次數. .(4)(4)解的不唯一性解的不唯一性: :在最終的滿足

11、精確度的區間內的任意一個值在最終的滿足精確度的區間內的任意一個值都是滿足要求的近似解都是滿足要求的近似解, ,一般取左右端點值一般取左右端點值. .類型類型 一一 二分法的定義二分法的定義1.1.下列函數圖象與下列函數圖象與x x軸均有交點軸均有交點, ,但不宜用二分法求交點橫坐標但不宜用二分法求交點橫坐標的是的是( () )2.(20132.(2013攀枝花高一檢測攀枝花高一檢測) )用二分法求方程用二分法求方程f(xf(x)=0)=0在在(1,2)(1,2)內內近似解的過程中得近似解的過程中得f(1)0,f(1.25)0,f(1)0,f(1.25)0,則方程的根所則方程的根所在的區間為在的

12、區間為( () )A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)A.(1.25,1.5) B.(1,1.25) C.(1.5,2)C.(1.5,2) D.D.不能確定不能確定【解題指南【解題指南】1.1.觀察所給函數的圖象觀察所給函數的圖象, ,根據圖象特點判斷能否根據圖象特點判斷能否利用二分法求交點橫坐標利用二分法求交點橫坐標. .2.2.按照二分法判斷零點的方法按照二分法判斷零點的方法, ,看函數值在哪個區間內符號相看函數值在哪個區間內符號相反反. .【自主解答【自主解答】1.1.選選B.B.因因B B不滿足二分法的條件不滿足二分法的條件, ,在零點的兩側函在零點的兩側函數值都是正值數值都

13、是正值, ,故應選故應選B.B.2.2.選選A.A.由題意知由題意知f(1.25)f(1.25)f(1.5)0,f(1.5)0,所以方程的根在區間所以方程的根在區間(1.25,1.5)(1.25,1.5)內內, ,故選故選A.A.【規律總結【規律總結】1.1.二分法的局限性二分法的局限性(1)(1)二分法一次只能求一個零點二分法一次只能求一個零點. .(2)(2)在在(a,b(a,b) )內有零點時內有零點時,f(a),f(a)f(bf(b)0)0未必成立未必成立, ,而這樣的零點而這樣的零點不能用二分法求解不能用二分法求解. .(3)(3)二分法計算量較大二分法計算量較大, ,常要借助計算器

14、完成常要借助計算器完成. .2.2.利用二分法求函數零點必須滿足的兩個條件利用二分法求函數零點必須滿足的兩個條件(1)(1)圖象圖象: :函數圖象在零點附近是連續不斷的函數圖象在零點附近是連續不斷的. .(2)(2)函數值函數值: :函數在該點兩側的函數值符號相反函數在該點兩側的函數值符號相反. .【變式訓練【變式訓練】(2013(2013南陽高一檢測南陽高一檢測) )已知已知f(xf(x) )的圖象是一條連續不斷的曲線的圖象是一條連續不斷的曲線, ,且在區間且在區間(a,b(a,b) )內有唯一零點內有唯一零點x x0 0, ,用二分法求得一系列含零點用二分法求得一系列含零點x x0 0的區

15、間的區間, ,這些區間滿足這些區間滿足:(a,b:(a,b) ) (a(a1 1,b,b1 1) ) (a(a2 2,b,b2 2) ) (a(ak k,b,bk k),),若若f(af(a)0,)0,則則f(bf(bk k) )的符號為的符號為( () )A.A.正正 B.B.負負C.C.非負非負 D.D.正、負、零均有可能正、負、零均有可能【解析【解析】選選A.f(aA.f(a)0,)0,根據二分法的定義根據二分法的定義, ,取到含零點取到含零點x x0 0的區間的區間(a(ak k,b,bk k) )時時, ,應有應有f(bf(bk k)0.)0.類型類型 二二 用二分法求方程的近似解或

16、求函數的零點用二分法求方程的近似解或求函數的零點1.1.在用二分法求方程的近似解時在用二分法求方程的近似解時, ,若初始區間是若初始區間是(1,5),(1,5),精確度精確度是是0.1,0.1,則對區間則對區間(1,5)(1,5)至多二等分的次數是至多二等分的次數是. .2.2.利用計算器或計算機用二分法求方程利用計算器或計算機用二分法求方程x x2 2-2x=1-2x=1的一個正值近的一個正值近似解似解( (精確度精確度0.1).0.1).【解題指南【解題指南】1.1.根據計算精確度與區間長度和計算次數的關系根據計算精確度與區間長度和計算次數的關系確定確定. .2.2.先畫出函數圖象的簡圖先

17、畫出函數圖象的簡圖, ,得到零點所在的區間得到零點所在的區間(2,3),(2,3),進而用進而用二分法來解二分法來解. .【自主解答【自主解答】1.1.設需計算設需計算n n次次, ,則則n n滿足滿足 0.1,40.40.由于由于2 25 5=32,2=32,26 6=64,=64,故計算至多故計算至多6 6次就可以滿足精確度要求次就可以滿足精確度要求. .答案答案: :6 6n422.2.原方程即為原方程即為x x2 2-2x-1=0,-2x-1=0,設設f(xf(x)=x)=x2 2-2x-1,-2x-1,先畫出函數圖象的簡先畫出函數圖象的簡圖圖.(.(如圖所示如圖所示) )因為因為f(

18、2)=-10,f(2)=-10,所以在區間所以在區間(2,3)(2,3)內內, ,方程方程x x2 2-2x-1=0-2x-1=0有一解有一解, ,記為記為x x1 1. .取取2 2與與3 3的平均數的平均數2.5,2.5,因為因為f(2.5)=f(2.5)=0.250,0.250,所以所以x x1 1(2,2.5).(2,2.5).再取再取2 2與與2.52.5的平均數的平均數2.25,2.25,因為因為f(2.25)=-0.43750,f(2.25)=-0.43750,所以所以x x1 1(2.25,2.5).(2.25,2.5).如此繼續下去如此繼續下去, ,得到函數的近似解所在的區間

19、得到函數的近似解所在的區間, ,如表如表: :(a,b(a,b) )(a,b(a,b) )的中點的中點f(af(a) )f(bf(b) )(2,3)(2,3)2.52.5f(2)0f(2)0f(3)0f(2.5)0f(2.5)0(2,2.5)(2,2.5)2.252.25f(2)0f(2)0f(2.5)0f(2.25)0f(2.25)0(2.25,2.5)(2.25,2.5)2.3752.375f(2.25)0f(2.25)0f(2.5)0f(2.375)0f(2.375)0(2.375,2.5)(2.375,2.5)2.437 52.437 5f(2.375)0f(2.375)0f(2.5)

20、0f(2.437 5)0f(2.437 5)0(2.375,(2.375,2.437 5)2.437 5)2.406 252.406 25f(2.375)0f(2.375)0f(2.437 5)0f(2.406 25)0f(2.406 25)0abf()2由于由于|2.437 5-2.375|=0.062 50.1,|2.437 5-2.375|=0.062 50.1,所以原方程的近似解可取為所以原方程的近似解可取為2.437 5.2.437 5.【延伸探究【延伸探究】若把題若把題1 1中的中的“精確度是精確度是0.1”0.1”改為改為“精確度是精確度是0.001”,0.001”,結論如結論如

21、何何? ?【解析【解析】設需計算設需計算n n次次, ,則則n n滿足滿足 0.001,4000.4000.由于由于2 21111=2048,2=2048,21212=4096,=4096,故計算至多故計算至多1212次就可以滿足精確度要求次就可以滿足精確度要求. .n42【規律總結【規律總結】二分法求方程近似解的三個關注點二分法求方程近似解的三個關注點(1)(1)有根區間的判斷原則有根區間的判斷原則: :每一次取中點后每一次取中點后, ,若中點函數值為零若中點函數值為零, ,則這個中點就是方程的解則這個中點就是方程的解; ;若中點函數值不等于零若中點函數值不等于零, ,則下一個有則下一個有根區間是區間端點函數值異號的區間根區間是區間端點函數值異號的區間. .(2)(2)知二求一知二求一: :精確度與計算次數、區間長度之間存在緊密的聯精確度與計算次數、區間長度之間存在緊密的聯系系, ,可以根據其中兩個量求得另一個可以根據其中兩個量求得另一個. .(3)(3)列表法列表法: :二分法求解過程中二分法求解過程中, ,每次取中點求值可以采用列表每次取中點求值可以采用列表的方式的方式, ,使計算步數明確使計算步數明確, ,當區間長度小于精確度時當區間長度小于精確度時, ,即為計算即為計算的最