1、 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 頻域分析法頻域分析法頻率特性及其表示法頻率特性及其表示法典型環節的頻率特性典型環節的頻率特性穩定裕度和判據穩定裕度和判據頻率特性指標頻率特性指標 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 引言引言1. 為什么要對系統進行頻域分析？為什么要對系統進行頻域分析？ 時域分析法時域分析法：從微分方程或傳遞函數角度求解系統：從微分方程或傳遞函數角度求解系統的時域響應（和性能指標）。不利于工程研究之處：的時域響應（和性能指標）。不利于工程研究之處：p計算量大，而且隨系統階次的升高而增加很大；

2、計算量大，而且隨系統階次的升高而增加很大；p對于高階系統十分不便，難以確定解析解；對于高階系統十分不便，難以確定解析解；p不易分析系統各部分對總體性能的影響，難以不易分析系統各部分對總體性能的影響，難以確定主要因素；確定主要因素；p不能直觀地表現出系統的主要特征。不能直觀地表現出系統的主要特征。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 2. 頻率響應、頻率特性和頻域分析法頻率響應、頻率特性和頻域分析法 頻率響應頻率響應:正弦輸入信號作用下，系統輸出的正弦輸入信號作用下，系統輸出的穩態分穩態分量量。（控制系統中的信號可以表示為不同頻率正弦。（控制系統中的信號

3、可以表示為不同頻率正弦信號的合成）信號的合成） 頻率特性頻率特性:系統頻率響應和正弦輸入信號之間的關系，系統頻率響應和正弦輸入信號之間的關系，它和傳遞函數一樣表示了系統或環節的動態特性。它和傳遞函數一樣表示了系統或環節的動態特性。 數學基礎數學基礎：控制系統的頻率特性反映正弦輸入下系：控制系統的頻率特性反映正弦輸入下系統響應的性能。研究其的數學基礎是統響應的性能。研究其的數學基礎是Fourier變換變換。 頻域分析法頻域分析法:利用系統頻率特性分析和綜合控制系統利用系統頻率特性分析和綜合控制系統的方法。的方法。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 引例

4、引例RC電路電路 對于圖對于圖4-1所示的所示的RC電路，其傳遞函數為電路，其傳遞函數為 式中，式中，T=RC 。( )1)1( )1 ()1oiUsCsUsRCsTs（圖圖4-1 RC電路電路4.1 4.1 頻率特性頻率特性 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 設輸入電壓為正弦信號，其時域和復域描述為設輸入電壓為正弦信號，其時域和復域描述為所以有所以有將其進行部分分式展開后再拉氏反變換將其進行部分分式展開后再拉氏反變換( )siniu tUt22( )iUU ss221( )1oUUsTss2222( )sin() arctan11tToUTUu t

5、etTTT 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） uo(t)表達式中第一項是瞬態分量，第二項是穩態表達式中第一項是瞬態分量，第二項是穩態分量。顯然上述分量。顯然上述RC電路的穩態響應為電路的穩態響應為 結論結論：當電路輸入為正弦信號時，其輸出的穩態：當電路輸入為正弦信號時，其輸出的穩態響應（響應（頻率響應頻率響應）也是一個正弦信號，其頻率和）也是一個正弦信號，其頻率和輸入信號相同，但幅值和相角發生了變化，其變輸入信號相同，但幅值和相角發生了變化，其變化取決于化取決于。22lim( )sin()111 sin11otUu ttTUtj Tj T 第四章第四

6、章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 若把輸出的穩態響應和輸入正弦信號用復數表示，并若把輸出的穩態響應和輸入正弦信號用復數表示，并求其復數比，可以得到求其復數比，可以得到 式中式中 頻率特性頻率特性G(j)：上述電路的穩態響應與輸入正弦信：上述電路的穩態響應與輸入正弦信號的復數比，且號的復數比，且G(j) = G(s)|s=j 。 幅頻特性幅頻特性A()：輸出信號幅值與輸入信號幅值之比。：輸出信號幅值與輸入信號幅值之比。 相頻特性相頻特性 ()：輸出信號相角與輸入信號相角之差。：輸出信號相角與輸入信號相角之差。()1()( )1jG jAej T 2211( )1

7、1Aj TT1( )arctan1Tj T 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） )()()()()(sVsUsXsXsGio)sin()(tRtxi22)(sRsXi 22)()()()()(sRsVsUsXsGsXio2221)()()(sRpspspssUn(4-1)nppp,21G(s) jsajsapsbsXniiio1)(4-2)對穩定系統對穩定系統 ), 2 , 1(,nibaai和 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） jsajsapsbsXniiio1)(4-2)t)(jG()()()jG jG

8、jG je (4-7)(4-5)(4-6)(4-4)nitpitjtjoiebeaaetx1)(jRjGjsjsjsRjGjssRsGajsjs2)()()()()()(22jRjGjsjsjsRjGjssRsGajsjs2)()()()()()(22因此，系統的穩態響應為：因此，系統的穩態響應為：( )j tj tosxtaeae()()()jG jGjG je 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） sin2jeejj()()( )|()|2|()|sin()sin()j tj tosjtG jjtG jcxtaeaeeeR G jjR G jtG j

9、At|()|; ()cAR G jG j式中，穩態輸出的振幅和相位分別為式中，穩態輸出的振幅和相位分別為 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 幅頻特性幅頻特性：LTI系統在正弦輸入作用下，穩態輸系統在正弦輸入作用下，穩態輸出振幅與輸入振幅之比，用出振幅與輸入振幅之比，用A()表示。表示。 相頻特性相頻特性：穩態輸出相位與輸入相位之差，用：穩態輸出相位與輸入相位之差，用 ()表示。表示。 幅頻幅頻A()和相頻和相頻 ()統稱統稱幅相頻率特性幅相頻率特性。( )()()tG jtG j |()|( )|()| crAG jRAG jAR()()( )|()

10、|() jj G jAeG jeG j 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） RCssGsXsXio11)()()(TjRCjjGjXjXio1111)()()(jssGjG)()(頻率特性系統傳遞函數微分方程js pjps dtdp 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 幾點說明幾點說明 q 頻率特性是傳遞函數的特例，是定義在復頻率特性是傳遞函數的特例，是定義在復 平面虛軸上的傳遞函數，因此頻率特性與平面虛軸上的傳遞函數，因此頻率特性與 系統的微分方程、傳遞函數一樣反映了系系統的微分方程、傳遞函數一樣反映了系 統

11、的固有特性。統的固有特性。 q 盡管頻率特性是一種穩態響應，但系統的盡管頻率特性是一種穩態響應，但系統的 頻率特性與傳遞函數一樣包含了系統或元頻率特性與傳遞函數一樣包含了系統或元 部件的全部動態結構參數，因此，系統動部件的全部動態結構參數，因此，系統動 態過程的規律性也全寓于其中。態過程的規律性也全寓于其中。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） q 應用頻率特性分析系統性能的基本思路：應用頻率特性分析系統性能的基本思路： 實際施加于控制系統的周期或非周期信號實際施加于控制系統的周期或非周期信號 都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉都可表示成由許多諧波分

12、量組成的傅立葉 級數或用傅立葉積分表示的連續頻譜函數級數或用傅立葉積分表示的連續頻譜函數， 因此根據控制系統對于正弦諧波函數這類因此根據控制系統對于正弦諧波函數這類 典型信號的響應可以推算出它在任意周期典型信號的響應可以推算出它在任意周期 信號或非周期信號作用下的運動情況。信號或非周期信號作用下的運動情況。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） q 頻率特性的物理意義頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系：頻率特性表征了系 統或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性；統或元件對不同頻率正弦輸入的響應特性；q ( ( ) )大于零時稱為大于零時稱為相角超前相角超前

13、，小于零時稱，小于零時稱 為為相角滯后相角滯后。tx(t), y1(t), y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2() 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） )(log20jGdB)(L)()(jGlg橫坐標：對數相頻特性的相角橫坐標：對數相頻特性的相角縱坐標：對數幅頻特性的分貝數縱坐標：對數幅頻特性的分貝數 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） )(jG)(jG)()(jG 04.2 4.2 極坐標圖極坐標圖 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） ()()()(

14、)( )jG jG jeUjV 。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） UjV例：例：1T 221( )1AT( )arctan T 1()1G jj T1( )1G sTs-900-63.50.452T-450.7071/T-26.60.891/2T010 A0 A 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） -3-2-10123-5-4-3-2-1012Real AxisImag Axis圖圖4-25 極坐標圖極坐標圖)(ImjG)(RejG)(jG)(123ImRe0 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代

15、機械控制工程）現代機械控制工程） 4.2.1 典型環節的極坐標圖典型環節的極坐標圖 用頻域分析法研究控制系統的穩定性和動用頻域分析法研究控制系統的穩定性和動態響應時，是根據系統的開環頻率特性進態響應時，是根據系統的開環頻率特性進行的，而控制系統的開環頻率特性通常是行的，而控制系統的開環頻率特性通常是由若干典型環節的頻率特性組成的。由若干典型環節的頻率特性組成的。 本節介紹六種常用的典型環節。本節介紹六種常用的典型環節。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） ReImKKsG)()G jK( )AK0)(1 比例環節比例環節比例環節的奈氏圖比例環節的奈氏圖

16、4.2.1 典型環節的極坐標圖典型環節的極坐標圖 ()jG jKUjVAe ( )UK( )0V 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） ( )2 1AReIm01( )G ss積分環節的奈氏圖積分環節的奈氏圖2 積分環節積分環節211()jGjej( )0U1( )V 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 22( )( )1( )21G ssG ssG sss 22()()1()12G jjG jjG jj 微分環節的頻率特性微分環節的頻率特性3 微分環節微分環節 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控

17、制工程）現代機械控制工程） 純微分環節：純微分環節：jjG)(純微分環節的奈氏圖純微分環節的奈氏圖ReIm0( )( )2A ( )0( )UV 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 一階微分環節的奈氏圖一階微分環節的奈氏圖ReIm0 一階微分：一階微分：()1G jj 22()1()arctanA ( )1UV 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 二階微分環節的頻率特性二階微分環節的頻率特性 二階微分環節：二階微分環節： 2222(1)(2)A 22()1()2UV 22()12G jj 222221arcta

18、n1( )21arctan1 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 慣性環節的奈氏圖慣性環節的奈氏圖1( )1G sTs1()1G jj T22221( )1( )1UTTVT 001(0)0(0)1(0)0APQ：，時1111( )( )4521111( )( )22ATTTUVTT：，時( )0( )90( )0( )0AUV ：，時0T14 慣性環節慣性環節221( )1( )arctanATT 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 2221111()UVTU22211()( )22UV011TK1211)(

19、jjG22221( )1( )1UTTVT UTV 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 2222222222222212( ),( )(1)4(1)4TTUVTTTT 2222221( )( )(1)(2)AUVTT222221arctan( )1( )arctan21( )arctan1TUTTTVTT 振蕩環節的頻率特性振蕩環節的頻率特性222221( )212nnnG sT sTsss01221()(1)2G jTjT5 振蕩環節振蕩環節 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 振蕩環節的奈氏圖振蕩環節的奈氏

20、圖07 . 0, 1, 1Tk14 . 11)(2sssG 01, ( )0( )1, ( )0AUV ，當時222222221()(1)4TUTT 22221(1)(2)ATT2222222()(1)4TVTT ，時當T1 1, ( );22A 1( )0, ( )2UV 222221arctan1( )21arctan1TTTTTT 0, ( )( )0, ( )0AUV ，當時00 0V 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 振蕩環節的奈振蕩環節的奈氏圖氏圖 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 001延遲環

21、節的奈氏圖延遲環節的奈氏圖( )TsG se()jTG je1)(jG()T 6 延遲環節延遲環節 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 小小 結結q 比例環節的極坐標圖比例環節的極坐標圖q 積分環節的極坐標圖積分環節的極坐標圖q 微分環節的極坐標圖微分環節的極坐標圖有三種形式：純微分、一有三種形式：純微分、一 階微分和二階微分。階微分和二階微分。q 慣性環節的極坐標圖慣性環節的極坐標圖q 振蕩環節的極坐標圖振蕩環節的極坐標圖q延遲環節的極坐標圖延遲環節的極坐標圖 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 設其開環傳遞

22、函數由若干個典型環節相串聯設其開環傳遞函數由若干個典型環節相串聯12( )( )( )( )nG sGs GsGs其開環頻率特性：其開環頻率特性： 12()()()()nG jGjGjGj12( )( )( )( )12( )( )( )( )njjjjnAeAeAeAe 4.2.2 繪制乃氏圖的一般規律繪制乃氏圖的一般規律 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 所以，系統的開環幅頻和相頻分別為：所以，系統的開環幅頻和相頻分別為：1212( )( )( )( )( )( )( )( )nnAAAA 開環系統的開環系統的幅頻特性幅頻特性是各串聯環節幅頻特性

23、的是各串聯環節幅頻特性的幅值之幅值之積積；開環系統的開環系統的相頻特性相頻特性是各串聯環節相頻特性的是各串聯環節相頻特性的相角之相角之和和。結論：結論： 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 對于一般線性定常系統，傳遞函數為：對于一般線性定常系統，傳遞函數為：mn221221(1)21( )(1)21miiinjjjKsssG ssT sT sTs其對應的頻率特性為：其對應的頻率特性為：221221(1) 12()()(1) 121miiinjjjKjjG jjTjTT j 當當0時，稱該系統為時，稱該系統為0 型型系統；系統；當當1時，稱該系統為時，稱

24、該系統為型型系統；系統；當當2時，稱該系統為時，稱該系統為型型系統；系統； 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 有時并不需要繪制得十分準確有時并不需要繪制得十分準確 只需要繪出只需要繪出Nyquist圖的大致形狀和幾個關圖的大致形狀和幾個關鍵點的準確位置（如與坐標軸的交點）就鍵點的準確位置（如與坐標軸的交點）就可以了?？梢粤恕?開環系統典型環節分解和典型環節幅相曲線開環系統典型環節分解和典型環節幅相曲線的特點是繪制的特點是繪制概略幅相特性曲線概略幅相特性曲線的基礎。的基礎。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程）

25、概略繪制乃氏圖的步驟：概略繪制乃氏圖的步驟：00( 0 ) ( 90 ) ( 90 )0KKG j 0()0 (nm)( 90 )nmG jnm 常數確定開環乃氏圖的終點確定開環乃氏圖的終點G(j)確定開環乃氏圖的起點確定開環乃氏圖的起點G(j0+)寫出系統開環傳遞函數的頻率特性寫出系統開環傳遞函數的頻率特性 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 注意：若傳遞函數不存在微分項注意：若傳遞函數不存在微分項（純微分、一階微分、二階微分（純微分、一階微分、二階微分等），則幅相特性曲線相位連續等），則幅相特性曲線相位連續減少；反之，若出現微分環節，減少；反之，若

26、出現微分環節，則幅相曲線會出現凹凸。則幅相曲線會出現凹凸。確定開環幅相曲線與實軸的交點（若有）確定開環幅相曲線與實軸的交點（若有）虛頻虛頻為零或相頻為為零或相頻為n180確定開環幅相曲線與虛軸的交點（若有）確定開環幅相曲線與虛軸的交點（若有）實頻實頻為零或相頻為為零或相頻為n90勾畫出開環幅相曲線勾畫出開環幅相曲線 （0+）的大致曲線）的大致曲線（越精確越好）（越精確越好） 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） UjV0 K2121TTTTK零型系統（零型系統（=0） 例例10,21TTK12( )11KG sTsT s 22221211KATT12(

27、)arctanarctanTT 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） UjV0 K K零型系統（零型系統（=0=0） 例例2 20,321TTTK123( )111KG sT sT sT s 222222123111KATTT123( )arctanarctanarctanTTT 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 零型系統（零型系統（=0=0） 例例3 33421TTTT4321TTTT0,4321TTTTK41231( )111K T sG sTsT sT s 2242222221231111KTATTT12

28、34( )arctanarctanarctanarctanTTTT 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） UjV0 型系統（型系統（=1） 例例40,TKKT( )1KG ss Ts 221KAT( )arctan2T 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 型系統（型系統（=1） 例例5)(21TTK2121TTTKT0,21TTK12( )11KG ss TsT s 22221211KATT12( )arctanarctan2TT 第四

29、章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 型系統（型系統（=2） 例例6 例例70,TK0,21TTK2( )1KG ssTs212( )11KG ssTsT s 2221KAT( )arctanT 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 型系統（型系統（=2） 例例8TT0,TK21( )1KsG ssTs 2222211KAT ( )arctanarctanT 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 第四章

30、第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 加極點和加零點的影響加極點和加零點的影響加極點使相位滯后，加零點使相位超前。加極點使相位滯后，加零點使相位超前。(,0在0,)在0,)在 區域內變化時繪出的乃氏圖區域內變化時繪出的乃氏圖與與區域內變化時繪出的乃氏圖相對實軸對稱，故一般區域內變化時繪出的乃氏圖相對實軸對稱，故一般只考慮只考慮區域內變化的乃氏圖。區域內變化的乃氏圖。當傳遞函數中含有一階微分環節時，相位非單調當傳遞函數中含有一階微分環節時，相位非單調下降，乃氏圖發生彎曲；下降，乃氏圖發生彎曲；當傳遞函數中含有振蕩環節時，上述結論不變。當傳遞函數中含有振蕩環節時，

31、上述結論不變。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 繪制開環概略幅相曲線的規律繪制開環概略幅相曲線的規律nm時終點趨向于原點時終點趨向于原點0時起始于原點時起始于原點 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 例例4-14-1 已知系統的開環傳遞函數，繪制系統開環已知系統的開環傳遞函數，繪制系統開環NyquistNyquist圖并求與實軸的交點。圖并求與實軸的交點。Nyquist圖與實軸相交時 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） Matlab繪制的乃氏圖繪制的乃氏圖num=0

32、 0 0 10; %定義分子多項式，定義分子多項式，s的降序排列的降序排列den=0.1 0.7 1 0; %定義分母多項式定義分母多項式nyquist(num,den) 10( )0.510.21G s H ssss 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 要精確地計算和繪制極坐標圖，一般來說比較要精確地計算和繪制極坐標圖，一般來說比較麻煩。因此采用頻率特性的另一種圖示法：麻煩。因此采用頻率特性的另一種圖示法：對數坐對數坐標圖（標圖（Bode 圖）。它不但圖）。它不但計算簡單，

33、繪圖容易，計算簡單，繪圖容易，而且一般能直觀地表明開環增益、時間常數等參數而且一般能直觀地表明開環增益、時間常數等參數變化對系統的影響。變化對系統的影響。1、幅值與頻率的關系、幅值與頻率的關系:幅頻特性曲線幅頻特性曲線2、相位與頻率的關系：相頻特性曲線、相位與頻率的關系：相頻特性曲線4.3 4.3 頻率響應的對數坐標圖頻率響應的對數坐標圖 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖 在工程實際中，常常將頻率特性畫成對數坐標圖形在工程實際中，常常將頻率特性畫成對數坐標圖形式，這種對數頻率特性曲線又稱式，這種對數頻率特性曲線又

34、稱Bode圖，由圖，由對數幅對數幅頻特性和對數相頻特性頻特性和對數相頻特性組成。組成。 Bode圖的橫坐標按圖的橫坐標按lg分度（分度（10為底的常用對數），為底的常用對數），即對數分度，單位為弧度即對數分度，單位為弧度/秒（秒（rad/s） 對數幅頻曲線的縱坐標按對數幅頻曲線的縱坐標按 線性分度，單位是分貝（線性分度，單位是分貝（dB）。）。 對數相頻曲線縱坐標對數相頻曲線縱坐標按按 ()線性分度線性分度，單位是度。，單位是度。 由此構成的坐標系稱為由此構成的坐標系稱為半對數坐標系半對數坐標系。 ( )20lg()20lg ( )LG jA 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控

35、制工程）現代機械控制工程） 對數分度和線性分度對數分度和線性分度 圖圖5-1 對數分度和線性分度對數分度和線性分度 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標（頻率軸）。同一個橫坐標（頻率軸）。 當幅頻特性值用分貝值表示時，通常將它稱為當幅頻特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關系為：增益。幅值和增益的關系為：20lg()增益幅值lg 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 使用對數坐標圖的優點：w可以展寬頻帶

36、；頻率是以可以展寬頻帶；頻率是以10倍頻表示的，因此可倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性。頻特性。w可以將乘法運算轉化為加法運算?？梢詫⒊朔ㄟ\算轉化為加法運算。w所有的典型環節的頻率特性都可以用分段直線所有的典型環節的頻率特性都可以用分段直線（漸進線）近似表示。（漸進線）近似表示。w對實驗所得的頻率特性用對數坐標表示，并用分對實驗所得的頻率特性用對數坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。特性表達式。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械

37、控制工程）現代機械控制工程） num=0 1;den=1 1;bode(num,den) 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 幅頻特性：幅頻特性：0)(KsG)(KjG)(對數幅頻特性和相頻特性：對數幅頻特性和相頻特性： 比例環節的比例環節的bode圖圖4.3.1 4.3.1 典型環節的伯德圖典型環節的伯德圖1 1 比例環節比例環節相頻特性：相頻特性：()20 lg()0LK 圖5-7 比例環節的Bode圖( )AK 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 1()G jj1()Gss積分環節的積分環節的Bode圖圖

38、1, ( )0;10( )20LL ，( )2 dBL/ )()(90204020401101001101002 積分環節積分環節 1A( )20lg( )2L 對數幅頻特性為一條斜對數幅頻特性為一條斜率為率為20dB/dec的直線，的直線，此線通過此線通過L()=0，=1的點的點 。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 二重積分：二重積分：21()G jjn重積分重積分?( )40lg( )L 對數幅頻特性為一條斜對數幅頻特性為一條斜率為率為40dB/dec的直線，的直線，此線通過此線通過L()=0，=1的點的點 。dBL/ )()(90204020

39、40110100110100-180對數幅頻特性為一條斜對數幅頻特性為一條斜率為率為20.n dB/dec的直的直線，此線通過線，此線通過L()=0，=1的點的點 。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 1( )1G sTs1()1G jTj3 慣性環節慣性環節221( )1( )arctanATT 對數幅頻特性和相頻特性為對數幅頻特性和相頻特性為22221( )20lg20lg 11( )arctgLTTT 1 ( )0TLdB1 ( )20lgTLT dB 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 慣性環節的慣性

40、環節的Bode圖圖圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。低低通通濾濾波波特特性！性！ 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 1( )21G ssMatlab 繪制的慣性環節的繪制的慣性環節的Bode圖圖 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 慣性環節的慣性環節的Bode圖圖伯德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當當 時，誤差為：時，誤差為：o22120lg 1 T 當當 時，誤差為：時，誤差為：o22220lg 120lgTT 最大誤

41、差發生在最大誤差發生在 處，為處，為To122max020lg 13()TdBT0.1 0.2 0.5 1 2 510L,dB -0.04 -0.2 -1 -3 -7 -14.2 -20.04 漸近線,dB 0 000-6 -14 -20 誤差,dB -0.04 -0.2-1-3-1-0.2-0.04 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 相頻特性： ( )arctanT 作圖時先用計算器計算幾個特殊點：作圖時先用計算器計算幾個特殊點：。時，當時，當時，當2)(;4)1(1; 0) 0(0TT 由圖不難看出相頻特性曲線在半對數坐標系中對于由圖不難看出相頻

42、特性曲線在半對數坐標系中對于( w( w0 0, -45, -45) )點是斜對稱的，這是對數相頻特性的一個特點。點是斜對稱的，這是對數相頻特性的一個特點。當時間常數當時間常數T T變化時，對數幅頻特性和對數相頻特性的形狀都變化時，對數幅頻特性和對數相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據轉折頻率不變，僅僅是根據轉折頻率1/T1/T的大小整條曲線向左或向右平的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。移。慣性環節的波德圖慣性環節的波德圖T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0-0.6-1.1

43、-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45T2.03.04.05.07.0102050100-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 5( )1G ssMatlab 繪制的慣性環節的繪制的慣性環節的Bode圖圖當增益當增益改變時，改變時，相頻特相頻特性不變，性不變，幅頻特幅頻特性上下性上下平移。平移。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 討論討論 時的情況。頻率特性為：時的情況。頻率特性為：01221()(1)2G

44、 jTjT4 振蕩環節（振蕩環節（要重視要重視） 2222221( )( )(1)(2)AUVTT222221arctan( )1( )arctan21( )arctan1TUTTTVTT 2222( )20lg(1)(2)LTT 222221( )212nnnG sT sTsss 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 1T( )0dBL1T2( )20lg()40lg()dBLTT 1 ( )0TLdB21 ( )20lg 40lgTLTT dB 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 第四章第四章 頻率特性分析頻

45、率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 21 2rn該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當該頻率稱為諧振峰值頻率?？梢?，當 時，時， 。當當 時，無諧振峰值。當時，無諧振峰值。當 時，有諧振峰值。時，有諧振峰值。10.70720r121221()21rrMA諧振頻率，諧振峰值諧振頻率，諧振峰值因此在轉折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數與實際曲線可因此在轉折頻率附近的漸近線依不同阻尼系數與實際曲線可能有很大的誤差。能有很大的誤差。 對對 求導并令等于零，可解得求導并令等于零，可解得 的極值對應的頻率的極值對應的頻率

46、。 Ar A當 ， ， 。001()2A0()20lg2L 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 振蕩環節的伯德圖振蕩環節的伯德圖左圖是不同阻尼系數情況下左圖是不同阻尼系數情況下的對數幅頻特性和對數相頻的對數幅頻特性和對數相頻特性圖。上圖是不同阻尼系特性圖。上圖是不同阻尼系數情況下的對數幅頻特性實數情況下的對數幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差際曲線與漸近線之間的誤差曲線。曲線。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） T0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483

47、.7288.09413.988.0943.7281.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.1370.001.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.000.080.471.412.921.410.470.080.000.00110.0860.341.292.764.306.204.302.761.290.340.086

48、二階振蕩環節對數幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差（dB） 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 3 . 0, 1,10TKTo1DecdB/4016 . 010)(2ssjG 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 微分環節有三種：純微分、一階微分和二階微微分環節有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數分別為：分。傳遞函數分別為：22( )( )1( )21G ssG ssG sss 頻率特性分別為：頻率特性分別為：22()()1()12G jjG jjG jj 微分環節的頻率特性微分環節的頻率特性5 微分環節

49、微分環節 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 純微分環節的伯德圖純微分環節的伯德圖 純微分環節：純微分環節： ( )20lg20lg( )2ALA 其對數幅頻特性為其對數幅頻特性為一條斜率為一條斜率為20dB/dec的直線，的直線，它與它與0dB線交于線交于=1點。點。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 一階微分環節：一階微分環節：相頻特性相頻特性：幾個特殊點如下：幾個特殊點如下10, ()0;, ();, ()42 相角的變化范圍從相角的變化范圍從0到到 。2這是斜率為這是斜率為+20dB/Dec的直線。低

50、、高頻漸進線的交點為的直線。低、高頻漸進線的交點為1低頻段漸進線：低頻段漸進線： 1120lg0AA當時，高頻段漸進線：高頻段漸進線： 1( )20lgAL當時，對數幅頻特性對數幅頻特性（用漸近線近似）：（用漸近線近似）：一階微分環節的伯德圖一階微分環節的伯德圖 221, ( )arctanA 22( )20lg 1L 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 高頻放大！抑制噪聲能力的下降！高頻放大！抑制噪聲能力的下降！0.1/1/10/ 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 一階微分環節的伯德圖一階微分環節的伯德圖一

51、階微分環節伯德圖一階微分環節伯德圖一階慣性環節伯德圖一階慣性環節伯德圖 一階微分環節的一階微分環節的Bode圖與慣性環節的圖與慣性環節的Bode圖關于圖關于橫軸對稱。橫軸對稱。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 幅頻和相頻特性為：幅頻和相頻特性為： 2222222(1)(2) , ( )arctan1A 二階微分環節：22( )21G sss低頻漸進線：低頻漸進線：1( )0L時，高頻漸進線：高頻漸進線：22221( )20lg(1)(2)40lgL 時，轉折頻率為：轉折頻率為： ，高頻段的斜率，高頻段的斜率+40dB/Dec。1o相角相角：10(

52、)0;, ( );, ( )2 當時，可見，相角的變化范圍從可見，相角的變化范圍從0180度。度。二階微分環節的頻率特性二階微分環節的頻率特性2222( )20lg(1)(2)L 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 二階微分環節的波德圖二階微分環節的波德圖二階微分環節伯德圖二階微分環節伯德圖二階振蕩環節伯德圖二階振蕩環節伯德圖 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 傳遞函數：傳遞函數：sesG)(頻率特性：頻率特性：jejG)(幅頻特性：幅頻特性： 1A延遲環節的伯德圖延遲環節的伯德圖6 延遲環節延遲環節對數幅頻

53、特性：對數幅頻特性： 20lg0LA相頻特性：相頻特性：( )()57.3rad 度 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 小 結q 比例環節和積分環節的頻率特性比例環節和積分環節的頻率特性q 慣性環節的頻率特性慣性環節的頻率特性低頻、高頻漸進線，斜率低頻、高頻漸進線，斜率-20，轉折頻率，轉折頻率q 振蕩環節的頻率特性振蕩環節的頻率特性伯德圖：低頻、高頻漸進線，伯德圖：低頻、高頻漸進線，斜率斜率-40，轉折頻率，轉折頻率q 微分環節的頻率特性微分環節的頻率特性有三種形式：純微分、一階有三種形式：純微分、一階微分和二階微分。分別對應積分、一階慣性和振蕩環

54、微分和二階微分。分別對應積分、一階慣性和振蕩環節節q 延遲環節的頻率特性延遲環節的頻率特性T10T10 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 系統開環傳函由多個典型環節相串聯：系統開環傳函由多個典型環節相串聯：1()1()( )rkkrjiiG jAe系統開環對數頻率特性曲線的繪制系統開環對數頻率特性曲線的繪制12( )( )( )( )rG sG s G sG s系統開環對數幅值系統開環對數幅值等于各環節的對數等于各環節的對數幅值之和；相位等幅值之和；相位等于各環節的相位之于各環節的相位之和。和。1212()()()()()()()()nnLLLL 第

55、四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 例4-1 已知系統的開環傳遞函數，試繪制系統的開環Bode圖。系統開環包括了五個典型環節2=2 rad/s4=0.5 rad/s5=10 rad/s 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 例例4-2 繪制開環傳遞函數繪制開環傳遞函數 的零型系統的的零型系統的Bode圖。圖。 解解 系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別系統開環對數幅頻特性和相頻特性分別 ( )(1)(1 10 )KG sss12322( )

56、( )( )( ) 20lg20lg 120lg 1 100LLLLK123( )( )( )( ) arctgarctg10 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 例5-5的Bode圖 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 因此，首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后因此，首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定線段交接頻率（轉折頻率）以及轉折后線段斜確定線段交接頻率（轉折頻率）以及轉折后線段斜率的變化，那么，就可繪制出由低頻到高頻的開環率的變化，那么，就可繪制出由低頻到高頻的開環對數漸近幅頻特性曲線。對數漸近幅頻

57、特性曲線。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） ) 12)(1() 12)(1()()(2222212222211111110sTsTsTssssKasasasbsbsbsbsHsGijnnnnmmmm 依據傳遞函數確定各環節的交接頻率依據傳遞函數確定各環節的交接頻率, ,并將交接頻并將交接頻率由低到高依次標注到半對數坐標紙橫軸上（不率由低到高依次標注到半對數坐標紙橫軸上（不妨設為：妨設為：1 1、2 2、3 3）系統開環對數頻率特性曲線的繪制系統開環對數頻率特性曲線的繪制 控制系統一般由多個環節組成，在繪制系統控制系統一般由多個環節組成，在繪制系統B

58、ode圖前，應先將系統傳遞函數分解為典型環節乘積圖前，應先將系統傳遞函數分解為典型環節乘積的形式。的形式。 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） 低頻段特性取決于低頻段特性取決于 ，直線斜率為，直線斜率為20 dB/dec。為獲得低頻段，還需要確定該直線上的一點，可以為獲得低頻段，還需要確定該直線上的一點，可以采用以下三種方法：采用以下三種方法：nA:A:在在 內任選一點內任選一點0, ,計算其值。計算其值。n（若采用此法，推薦?。ㄈ舨捎么朔?，推薦取01）nB:B:取特定頻率取特定頻率01，則則n C:C:取取 為特殊值為特殊值0，則，則 00lg20l

59、g20)(KLaKLalg20) 1 ()(0aL10KsKmin低頻起始段的繪制低頻起始段的繪制 1)(0aL1K1 1Klg20Klg201 1 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） (1) (1) 0型系統的低頻起始段的繪制型系統的低頻起始段的繪制當處于低頻段時當處于低頻段時0型系統傳遞函數型系統傳遞函數低頻段高度低頻段高度H=20lgK（dB）( )G sK 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） (2) I(2) I型系統的低頻起始段的繪制型系統的低頻起始段的繪制 當處于低頻段時當處于低頻段時I I型系統傳

60、遞函數型系統傳遞函數系統系統Bode圖的低頻段漸近線斜率為圖的低頻段漸近線斜率為- -20dB/dec低頻段漸近線低頻段漸近線或其延長線或其延長線與橫軸相交，與橫軸相交，交點處頻率交點處頻率 =K低頻段漸近線或其延長線在低頻段漸近線或其延長線在 =1=1時的幅值為時的幅值為20lgK( )G sK s 第四章第四章 頻率特性分析頻率特性分析(現代機械控制工程）現代機械控制工程） (3) II(3) II型系統的低頻起始段的繪制型系統的低頻起始段的繪制 當處于低頻段時當處于低頻段時IIII型系統傳遞函數型系統傳遞函數系統系統Bode圖低頻段漸近線的斜率為圖低頻段漸近線的斜率為- -40dB/de