1、概率與統(tǒng)計知識點與題型3.1.1 一隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：(1)必然事件：在條件 S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；(2)不可能事件：在條件 S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；(4)隨機事件：在條件 S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；(5)頻數(shù)與頻率：在相同的條件 S下重復(fù)n次試驗，觀察某一事件 A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件 A出現(xiàn)nA的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件 A出現(xiàn)的比例fn(A尸 n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件 A,如果隨著試

2、驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作 P (A),稱為事件A的概率。nA(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值n ,它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若An B為不可能事件，即 An B=6,那么稱事件 A與事件B互斥；(3)若An B為

3、不可能事件，AU B為必然事件，那么稱事件 A與事件B互為對立事件；(4)當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AU B尸P(A)+ P(B);若事件A與B為對立事件，則 AU B為必然事件，所以 P(AUB尸P(A)+ P(B)=1 ,于是有 P(A)=1P(B)2、概率的基本性質(zhì)：1)必然事件概率為1,不可能事件概率為 0,因此0W P(A) & 1;2)當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(AU B)= P(A)+ P(B);3)若事件A與B為對立事件，則AU B為必然事件，所以P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 ,于是有P(A)=1 P(B);4)互斥事件與對立事件的區(qū)

4、別與聯(lián)系，互斥事件是指事件 A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具 體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件 B發(fā)生；（3）事件A 與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件 A 與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形； （1）事 件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 古典概型及隨機數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數(shù)；A包含的基本事件數(shù)求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P （A）=總的基本事件個數(shù)3.3.1 幾何概

5、型及均勻隨機數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體 積）P（ A）=試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體 積）.（1） 幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.一、隨機變量.1 .隨機試驗的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯

6、定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.它就被稱為一個隨機試驗.2 .離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若E是一個隨機變量，a, b是常數(shù).則也是一個隨機變量.一般地，若E是隨機變量，是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數(shù)也是隨機變量設(shè)離散型隨機變量 E可能取的值為：E取每一個值的概率，則表稱為隨機變量E的概率分布，簡稱 E的分布列.有性質(zhì)；.注意：若隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做連續(xù)型隨機變量.例如：即可以取 05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無理數(shù) .3 .二項分布：如果在一次試驗中某事件

7、發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是：其中于是得到隨機變量 E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量 E服從二項分布，記作B (n p),其中n, p為參數(shù)，并記.二項分布的判斷與應(yīng)用.二項分布，實際是對 n次獨立重復(fù)試驗.關(guān)鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復(fù)，且每次試驗只有兩種結(jié)果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布當(dāng)隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結(jié)果，此時可以把它看作獨立重復(fù)試驗，利用二項分布求其分布列4 .幾何分布："”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時，事件第一次發(fā)生，如果把 k次試驗時事

8、件 A發(fā)生記為， 事A不發(fā)生記為，那么.根據(jù)相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量E的概率分布列.123kPqqp我們稱E服從幾何分布，并記，其中5 .超幾何分布：一批產(chǎn)品共有 N件，其中有M (Mk N)件次品，今抽取件，則其中的次品數(shù) 七是一離散 型隨機變量，分布列為.分子是從 M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定時，則k的范圍可以寫為 k=0, 1,，n.超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取 n件(iwnwa+b),則次品數(shù)E的分布列為.超幾何分布與二項分布的關(guān)系 .設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品

9、數(shù)E服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把個產(chǎn)品編號，則抽取n次共有個可能結(jié)果，等可能：含個結(jié)果，故，即我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有 b種選法可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個數(shù)不多時，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣二、數(shù)學(xué)期望與方差.1 .期望的含義：一般地，若離散型隨機變量E的概率分布為P則稱為E的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機變量取值的平均水平.2 .隨機變量的數(shù)學(xué)期望:當(dāng)時，即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.當(dāng)時，即隨機變量E與常數(shù)之和的期望

10、等于 E的期望與這個常數(shù)的和01Pqp當(dāng)時，即常數(shù)與隨機變量乘積的期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積單點分布：其分布列為：兩點分布：，其分布列為：（p + q = 1 ）二項分布： 其分布列為.（P為發(fā)生的概率）幾何分布：其分布列為.（P為發(fā)生的概率）3 .方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機變量 E的分布列為時，則稱為 E的方差.顯然，故為E的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機變量E的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機變量E取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.越小， 穩(wěn)定性越高，波動越小4 .方差的性質(zhì).01pqp隨機變量的方差.（a、b均為常數(shù)）單點分布：其分布列為兩點分布：其分布列為：（p + q = 1 ）二項分

11、布： 幾何分布：5 .期望與方差的關(guān)系如果和都存在，則設(shè)E和是互相獨立的兩個隨機變量，則期望與方差的轉(zhuǎn)化：（因為為一常數(shù)）.三、正態(tài)分布.1 .密度曲線與密度函數(shù)： 對于連續(xù)型隨機變量 E,位于x軸上方，E落在任一區(qū)間內(nèi)的概率等于它與 x軸.直線與直線所圍成的曲邊梯形的面積（如圖陰影部分）的曲線叫 E的密度曲線，以其作為圖像的函數(shù)叫做 E的密度函數(shù)，由于是必然事件，故密度曲線與 x軸所夾部分面積等于 1.2 .正態(tài)分布與正態(tài)曲線：如果隨機變量 E的概率密度為：.（為常數(shù)，且），稱E服從參數(shù)為的正態(tài)分布，用表示.的表達(dá)式可簡記為，它的密度曲線簡稱為正態(tài)曲線正態(tài)分布的期望與方差：若，則E的期望與方

12、差分別為：.正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直線對稱.當(dāng)時曲線處于最高點，當(dāng)x向左、向右遠(yuǎn)離時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)時，曲線上升；當(dāng)時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線，向x軸無限的靠近.當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定， 越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.3 .標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： 如果隨機變量E的概率函數(shù)為，則稱 E服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.即有，求出，而 P （a<<b）的計算則是.注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的 X取0時，有當(dāng)?shù)腦取大于0的數(shù)時，有.比如則必然小于

13、 0,如圖.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若則E的分布函數(shù)通常用表示，且有.習(xí)題1. 6名同學(xué)排成兩排，每排 3人，其中甲排在前排的概率是A.工121B.一2八1C.一62.有10名學(xué)生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名，恰好2名男生或2名女生的概率是B.215C.D.7153.甲乙兩人獨立的解同一道題,甲乙解對的概率分別是Pl,P2 ,那么至少有1人解對的概率A. PiP2B.PiP2 C. 1 Pi P2D.1(1Pl) (1 P2)4.從數(shù)字 1,2, 3, 4, 5這五個數(shù)中，隨機抽取2個不同的數(shù)則這2個數(shù)的和為偶數(shù)的概率()A. 15B.5.有2n個數(shù)字，其中一半25日衣7&#

14、163;可C.D.5半是偶數(shù)，從中任取兩個數(shù),45則所取的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是A、1 B、122n6.有10名學(xué)生，其中n 1nC 、 d 、2n 12n4名男生，6名女生，從中任選112名學(xué)生，恰好是2名男生或2名女生的概率是A. 245B 125C175D- 37.已知P箱中有紅球1個，白球9個，Q箱中有白球7個,（P、Q箱中所有的球除顏色外完全相同）.現(xiàn)隨意從 P箱中取出3個球放入Q箱，將Q箱中的球充分?jǐn)噭蚝螅購腝箱中隨意取出3個球放入P箱,則紅球從P箱移到Q箱，再從Q箱返回P箱中的概率等于A- 51100C9 2/C10 3 乘以 C9 2/C10 38.已知集合 A=12, 14

15、, 16, 18, 20,B=11 , 13, 15, 17, 19,在A中任取一個元素用ai（i=1 , 2, 3, 4, 5）表示，在 B中任取一個元素用b （j=1 , 2,3, 4, 5)表示,則所取兩數(shù)滿足a>b的概率為（）A、9.在圓周上有10個等分點，以這些點為頂點，每 3個點可以構(gòu)成一個三角形，如果隨機選擇3個點，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是（）直徑有5個1B.3C. 2 D.3個次品全部被抽10 .已知10個產(chǎn)品中有3個次品，現(xiàn)從其中抽出若干個產(chǎn)品，要使這出的概率不小于，則至少應(yīng)抽出產(chǎn)品()個個 個個11 .甲、乙獨立地解決同一數(shù)學(xué)問題，甲解決這個問題的概率是，乙解決這個

16、問題的概率是，那么其中至少有 1人解決這個問題的概率是()A 、 B 、0.52 C 、 D 、12 .某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當(dāng)選為組長的概率是13 .擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為3的概率是 14 .某班委會由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是15 .我國西部一個地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示：年降水量/mm100, 150 )150, 200 )200, 250 )250, 300 概率則年降水量在200 , 300 (m,m)范圍內(nèi)的概率是 S 一16、向面積為 S的 ABC內(nèi)

17、任投一點P,則 PBC的面積小于 ？的概率是。217、有五條線段，長度分別為 1, 3, 5, 7, 9,從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率為18、在等腰RtABC中，在斜邊 AB上任取一點 M則AM的長小于 AC的長的概率為 19 .甲、乙兩名籃球運動員，投籃的命中率分別為與.(1)如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進球的概率；(2)如果每人投籃三次，求甲投進2球且乙投進1球的概率.20 .加工某種零件需要經(jīng)過四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分別為9 8 7 6、一、一、一,且各道工序互不感向10 9 8 7(1)求該種零件的合格率(2)從加工好的

18、零件中任取 3件，求至少取到2件合格品的概率(3)假設(shè)某人依次抽取 4件加工好的零件檢查，求恰好連續(xù)2次抽到合格品的概率(用最簡分?jǐn)?shù)表示結(jié)果)21 .甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為£、刀，e和刀的分布列如下：£012012PP則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品 數(shù)的波動情況，即方差值的大小 . .22 .某商場經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為 300元.表示經(jīng)銷一件該商品的利