1、第2講古典概型【考情考向分析】全國卷對古典概型每年都會考查，主要考查實際背景的可能事件，通常與互斥事件、對立事件一起考查.在高考中單獨命題時，通常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，屬于中低檔題；與統(tǒng)計等知識結(jié)合在一起考查時，以解答題形式出現(xiàn)，屬中檔題。畫胃后常事明、夯要著gq知識梳理1 .基本事件的特點(1)任何兩個基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2 .古典概型具有以下兩個特征(1)試驗的所有可能結(jié)果只有有限個，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果.如從1,2,3,，100這100個整數(shù)中任意取出一個整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率(2)每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同.如向上拋

2、擲一枚不均勻的舊硬幣,求正面朝上的概率；3 .如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本事件的概、,一1m率都是1；如果某個事件A包括的Z果有m個，那么事件A的概率P(A)=m.nn事件A包含的可能結(jié)果數(shù)4 .古典概型的概率公式P(A)=試驗的所有可能結(jié)果數(shù)一.微點提醒概率的一般加法公式P(AUB)=P(A)+P(B)P(AAB)中，易忽視只有當(dāng)AAB=U,即A,B互斥日中,P(AUB)=P(A)+P(B),此時P(AAB)=0.II累雋實*1-二二-L；英濟(jì)象魏則求考點一基本事件及古典概型的判斷【例1】袋中有大小相同的5個白球，3個黑子和3個紅球，每球

3、有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球.(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法.因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型.(2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A:摸到白球"，B:摸到黑球"，C:摸1到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均

4、為曲，而白球有5個，第1頁共10頁53故一次摸球摸到白球的可能性為訶，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為fj,顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，故以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型.規(guī)律方法古典概型中基本事件個數(shù)的探求方法：(1)枚舉法：適合于給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的問題(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題，注意在確定基本事件時(x,y)可看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同，有時也可看成是無序的，如(1,2)與(2,1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的基本事件個數(shù)時，可利用排列或組合的知識【變式】甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2、紅桃3、紅桃

5、4、方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1張.(1)寫出甲、乙抽到牌的所有情況.(2)甲、乙約定，若甲抽到的牌的數(shù)字比乙大，則甲勝，否則乙勝，你認(rèn)為此游戲是否公平？為什么？解(1)設(shè)(i,j)表示(甲抽到的牌的數(shù)字，乙抽到的牌的數(shù)字)，則甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4'表示)為(2,3),(2,4),(2,4',)(3,2),(3,4),(3,4',)(4,2),(4,3),(4,4',)(42),(4；3),(4；4),共12種.(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大有(3,2),(4,2

6、),(4,3),(4；2),(4；3),共5種情況，U甲勝的概率p=152，diT，U此游戲不公平.考點二簡單的古典概型的概率3本書的概率為()【例2】(1)兩名同學(xué)分3本不同的書，其中一人沒有分到書，另一人分得(2)設(shè)袋子中裝有3個紅球，2個黃球,1個藍(lán)球，規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍(lán)球得3分，現(xiàn)從該袋子中任取(有放回，且每球取得的機(jī)會均等)2個球，則取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和為3分的概率為2),(1c,2),(2,1a),(2,1b),(2,解析(1)兩名同學(xué)分3本不同的書，基本事件有(0,3),(1a,2),(1b,1c),(3,0),共8個，其中一人沒有分到書，

7、另一人分到3本書的基本事件有2個，U一人沒有分到書，另一人分得3本書的概率p=|=1.84(2)袋子中裝有3個紅球，2個黃球，1個藍(lán)球，規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍(lán)球得3分，現(xiàn)從該袋子中任取(有放回，且每球取得的機(jī)會均等)2個球，基本事件總數(shù)n=6Xd36,取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和為3分，包含第一次抽到紅球，第二次抽到黃球或者第一次抽到黃球，第二次抽第2頁共10頁到紅球，基本事件個數(shù)m=2X3+3X2=12,所以取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和為3分的概率p=m=1|=1.n363規(guī)律方法計算古典概型事件的概率可分三步：(1)計算基本事件總個數(shù)n；(2)計算事件A所包含的基本事

8、件的個數(shù)m；(3)代入公式求出概率p.【變式1】同學(xué)聚會上，某同學(xué)從愛你一萬年十年父親單身情歌四首歌中選出兩首歌進(jìn)行表演，則愛你一萬年未被選取的概率為()1125A-B-C-D-3236【變式2】用1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，若用a1，a2,a3,a4,a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位數(shù)字，則出現(xiàn)a1<a2<a3>a4>a5的五位數(shù)的概率為.解析(1)從四首歌中任選兩首共有C2=6種選法，不選取愛你一萬年的方法有C2=3種，故所求的概為小31率為P=6=2.(2)用1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，基本事件總數(shù)n=a5,用a1,a2

9、,a3,a4,a5分別表示五位數(shù)的萬位、千位、百位、十位、個位數(shù)字，出現(xiàn)a1<a2<a3>a4>a5的五位數(shù)有：12543,13542,23541,34521,6124531,14532,共6個，U出現(xiàn)a1<a2<a3>a4>a5的五位數(shù)的概率p=-5=A520考點三古典概型的交匯問題卜士多維探究角度1古典概型與平面向量的交匯例1設(shè)平面向量a=(m,1),b=(2,n),其中m,nU1,2,3,4,記au(ab)”為事件A,則事件1BZ1D.2解析有序數(shù)對(m,n)的所有可能情況為4X016個,由aU(ab)得m22m+1n=0,即n=(m1)2

10、.A發(fā)生的概率為()1C.3由于m,nU1,2,3,4,故事件A包含的基本事件為(2,1)和(3,4),共2個，所以P(A)=;2=.168角度2古典概型與解析幾何的交匯【例2】將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a,b,則直線ax+by=0與圓(x2)2+y2=2有公共點的概率為解析依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a,b)有6XQ36種，其中滿足直線ax2a217=3612.+by=0與圓(x2)2+y2=2有公共點，即滿足-J=R2,即a。的數(shù)組(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),a2+b2(1,4),，(6,6),共6+5+4+3+2+1=21種，因此所求

11、的概率為角度3古典概型與函數(shù)的交匯第3頁共10頁1C【例3】已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b2x+1,若a是從1,2,3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0,1,23個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為7A.91B.35C.92D.3解析f'x)=x2+2ax+b2,由題意知f'x)=0有兩個不等實根,即A=4(a2-b2)>0,Ua>b,有序數(shù)對(a,b)所有結(jié)果為3X3=9種,其中滿足a>b有(1,0),(2,0),(3,0),(2,1),(3,1),(3,2)共6種，故所求概率p=6=|.93角度4古典概型與統(tǒng)計的交匯【例4】某中學(xué)組織了一次數(shù)

12、學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測試，學(xué)校從測試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成0.IJ4醉州距90,100)小排也%生一成細(xì)5因為樣本容量與總體中的個體數(shù)的比是1.，一,，,1.115,所以樣本中包含的男生人數(shù)為30*15=2,女生人績進(jìn)行統(tǒng)計分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖(注:分組區(qū)間為60,70),70,80),80,90),(1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少?(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.解(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100X(0.01+0.02)X1030,

13、女生優(yōu)秀人數(shù)為100X(0.01升0.03)X1045.,1數(shù)為45X=3.15則從5人中任意選取2人共有C5=10種，抽取的2人中沒有一名男生有C2=3種，則至少有一名男生有C5C2=7種.故至少有一名男生的概率為p=10'即選取的2人中至少有一名男生的概率為十.規(guī)律方法求解古典概型的交匯問題，關(guān)鍵是把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，然后利用古典概型的有關(guān)知識解決，一般步驟為:(1)將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件；(2)判斷事件是否為古典概型;(3)選用合適的方法確定基本事件個數(shù);(4)代入古典概型的概率公式求解第4頁共10頁8人.已知x與y均為A等級的概率是0.07.(1)設(shè)在該樣本中，數(shù)

14、學(xué)成績的優(yōu)秀率是30%,求a,b的值；(2)已知a>7,b>6求數(shù)學(xué)成績?yōu)锳等級的人數(shù)比C等級的人數(shù)多的概率.(1)由題意知y=0.07,解得n=200,14+a+28_U200x100%30%,解得a=18,易知a+b=30,所以b=12.(2)由14+a+28>10+b+34得a>b+2,又a+b=30且a>7,b>6,貝U(a,b)的所有可能結(jié)果為(7,23),(8,22),(9,21),，(24,6),共18種，而a>b+2的可能結(jié)果為(17,13),(18,12),，(24,6),共8種,則所求概率p=188=9，基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40

15、分鐘)、選擇題1.集合A=2,3,B=1,2,3,從A,B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率是()2A.-31B.21D.6解析從A,B中任意取一個數(shù)，共有C；(3=6種情形，兩數(shù)和等于4的情形只有(2,2),(3,1)兩種，Up216=3.2.設(shè)m,nU0,1,2,3,4,向量a=(-1,-2),b=(m,n),則aUb的概率為()A.25B3b.25D.5解析aUbU2m=nU2m=n,m=0,m=1,所以或n=0n=2m=2,n=4,第5頁共10頁3.某同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次，第一次向上的點數(shù)記為x,第二次向上的點數(shù)記為y,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以（x,y）為坐標(biāo)的點在直線

16、2xy=1上的概率為（）1 151A.T2B.9c.36D.6解析先后投擲一枚骰子兩次，共有6XQ36種結(jié)果，滿足題意的結(jié)果有3種，即（1,1）,（2,3）,（3,5）,31所以所求概率為應(yīng)=高.36124.齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（）1A31118. C.D-456解析分別用A,B,C表示齊王的上、中、下等馬，用a,b,c表示田忌的上、中、下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽有Aa,Ab,Ac,Ba,Bb

17、,Bc,Ca,Cb,Cc共9場比賽，其中田忌馬獲勝的有Ba,Ca,Cb共3場比賽，所以田忌馬獲勝的概率為1.35 .將一個骰子連續(xù)擲3次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）11-11A.12B.9C.15D.i863=216種.落地時向上的點數(shù)依次成解析一個骰子連續(xù)擲3次，落地時向上的點數(shù)可能出現(xiàn)的組合數(shù)為12+6216等差數(shù)列，當(dāng)向上點數(shù)若不同，則為(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,6),(3,4,5),(4,5,6),共有2XQ12種情況；當(dāng)向上點數(shù)相同，共有6種情況.故落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為112.、填空題6 .小明忘記了微信登錄密碼的后

18、兩位，只記得最后一位是字母A,a,B,b中的一個，另一位是數(shù)字4,5,6中的一個，則小明輸入一次密碼能夠成功登陸的概率是.解析小明輸入密碼后兩位的所有情況有C4-3=12種，而能成功登陸的密碼只有一種，故小明輸入一次1密碼能夠成功登陸的概率是2.x2y27 .若m是集合1,3,5,7,9,11中任意選取的一個元素，則橢圓»+彳=1的焦距為整數(shù)的概率為.解析m是集合1,3,5,7,9,11中任意選取的一個元素，U基本事件總數(shù)為6,又滿足橢圓2+=1的焦距為整數(shù)的m的取值有1,3,11,共有3個，U橢圓X+5=1的焦距為整數(shù)的概率p=3=m2628 .某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中

19、任選兩種，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為第6頁共10頁解析甲同學(xué)從四種水果中選兩種，選法種數(shù)有C2,乙同學(xué)的選法種數(shù)為C2,則兩同學(xué)的選法種數(shù)為c44,兩同學(xué)各自所選水果相同的選法種數(shù)為C4,由古典概型概率計算公式可得，甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為P=7-C42=1.C4C46三、解答題9 .如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)，其中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表不'.甲或乙組1101X80(1)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差;(2)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19的概率.解

20、(1)當(dāng)X=8時，由莖葉圖可知，乙組四名同學(xué)的植樹棵數(shù)分別是8,8,9,10,故*=8+8+9+10435s2=；x8-2352352354X2+9-7+10-71116.(2)當(dāng)X=9時，記甲組四名同學(xué)分別為A1,A2,A3,A4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,9,11,11;乙組四名同學(xué)分別為B1,B2,B3,B4,他們植樹的棵數(shù)依次為9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué),其包含的基本事件為A1,B1,A1,B2,A1,B3,A1,B4,A2,B1,A2,B2,A2,B3,A2,B4,A3,B1,A3,B2,A3,B3,A3,B4,A4,B1,4,B2,A4,B3,A4,B4,共

21、16個.設(shè)選出的兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)為19”為事件C,則事件C中包含的基本事件為A1,B4,A2,B4,A3,一一一_一，.一一41B2,A4,B2,共4個.故P(C)=n=10 .某市A,B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊.(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率;(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.解(1)由題意，參加集訓(xùn)的男、女生各有6名.參賽學(xué)生全從B中學(xué)抽

22、取(等價于A中學(xué)沒有學(xué)生入選代表隊)的概率為索=會，因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊的概率為1會=舞.C6C6100100100(2)設(shè)參賽的4人中女生不少于2人”為事件A,記參賽女生有2人”為事件B,參賽女生有3人”為事件第7頁共10頁15.C3C23C3c3c.則p（b）=b=5，P（c）=-CF=3144由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(B)+P(C)=-+-=-,故所求事件的概率為-.5555能力提升題組(建議用時：20分鐘)111 .已知函數(shù)f(x)=2ax2+bx+1,其中aU2,4,bU1,3,從f(x)中隨機(jī)抽取1個，則它在(一£-1上是減函數(shù)的概率為()

23、131A.7B.C.7D.0246解析f(x)共有四種等可能基本事件即(a,b)取(2,1),(2,3),(4,1),(4,3),記事件A為f(x)在(8,1上是減函數(shù)，由條件知f(x)是開口向上的函數(shù)，對稱軸是x=bA1,事件A共有三種(2,1),(4,1),a3(4,3)等可能基本事件，所以P(A)=.12 .甲在微信群中發(fā)布6元拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完.若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得最佳手氣”即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()3a.43c.而2DE解析6元分成整數(shù)元有3份，可能性有(1,1,4),(1,2,3),(2,2,2),第一個分法有3種，

24、第二個分法有6種，第三個分法有1種，其中符合最佳手氣”的有4種，故概率為噌=|.13 .從左至右依次站著甲、乙、丙3個人，從中隨機(jī)抽取2個人進(jìn)行位置調(diào)換，則經(jīng)過兩次這樣的調(diào)換后,甲在乙左邊的概率是.解析從左至右依次站著甲、乙、丙3個人，從中隨機(jī)抽取2個人進(jìn)行位置調(diào)換，則經(jīng)過兩次這樣的調(diào)換,基本事件總數(shù)為n=C22=9,從左至右依次站著甲、乙、丙3個人，從中隨機(jī)抽取2個人進(jìn)行位置調(diào)換,U經(jīng)過兩次這樣的調(diào)換后，甲在乙的左邊第一次調(diào)換后，對調(diào)后的位置關(guān)系有三種：甲丙乙、乙甲丙、丙乙甲，第二次調(diào)換后甲在乙的左邊對應(yīng)的m62p=-=-Hn93.關(guān)系有：丙甲乙、甲乙丙；丙甲乙、甲乙丙；甲丙乙、丙甲乙,包含的基本事件個數(shù)m=6,U經(jīng)過這樣的調(diào)換后，甲在乙左邊的概率:14 .某快遞公司收取快遞費用的標(biāo)準(zhǔn)如下：質(zhì)量不超過1kg的包裹收費10元；質(zhì)量超過1kg的包裹，除1kg收費10元之外，超過1kg的部分，每1kg(不足1kg,按1kg計算)需再收5元.該公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計如下表：包裹件數(shù)范圍0100101200201300301400401500包裹彳數(shù)(近似50150250350450第8頁共10頁處