1、1分形幾何概述2內容n分形幾何的發展歷史n分形幾何的研究對象和研究方法n分形幾何的應用3分形幾何產生的背景n經典幾何的研究對象: 規則的圖形，如圓，三角形等n問題：對于不規則的圖形：如海岸線，云的邊界，我們如何研究？如何用計算機去生成？4分形幾何的歷史n萌芽期：十九世紀末，二十世紀初. Cantor集，Weierstrass函數等的提出.n形成期：二十世紀六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英國的海岸線有多長？ 2. 1975年，分形對象：形，機遇和維數. 分形(fractal)這個詞源于這本書. 它是從意思 是“不規則的或者斷裂的”拉丁語“f

2、ractus”派生 出來的.5分形幾何的歷史(續)n發展期：二十世紀八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形與自相似. 給出了自相似集合的數學理論基礎. 2. Mandelbrot, 1982, 自然界的分形幾何. 3. Barnsley, 1988, Fractal everywhere. 4. Falconer, 1990, 分形幾何數學基礎 及其應用.6英國的海岸線有多長?n測量方法： 我們想象一個人沿著一段海岸線揀盡可能短的道路步行，并規定每步長度不超過，設這樣測得的海岸線長度為L().然后重新開始，并使他在海岸線上最長的步長越來越短。 用一只小老鼠代替人測量。

3、用蒼蠅代替小老鼠測量。n測量結論：隨著步長越來越短，我們測量出來的海岸線長度越來越長。7英國的海岸線有多長(續)?nRichardson的經驗數據 L()與成正比，其中的值依賴于具體的海岸線。而且對同一海岸線，對不同的區段，常常得到不同的。在Richardson看來， 沒有什么特別意義。nMandelbrot的貢獻 把的意義挖掘出來，將1+ =D解釋為“分形維數”。 8其它例子9迭代（動力系統）的問題 的復合函數個是設fnffffn輸入：20Rp輸出：點列)(0pfn具有什么樣的性質？問：點列)(0pfn ): ( : 22，或者給定一個函數CCRRff10Julia集的定義是一個復多項式函數

4、， )( :0nkkkzazfCCf集的合的閉包稱為的斥性周期點所組成集 Julia ff)( Julia , )( 2驗證！集為單位圓周的則若fzzf集將非常復雜的時，當則若 Julia 0 , )( 2fCCzzf11Julia集的圖象C = -1C = -0.5+0.5iC=-0.2+0.75 iC=0.64 i12Mandelbrot集集稱為是有界數列Mandelbrot )0(1nncPcMczzPc2)( 令13Mandelbrot集14微積分中的一個問題n如何研究在閉區間上處處連續處處不可導的函數：如Weierstrass函數？. 1 , 0 : 2.s1 , 1 , )sin(

5、 )(1)2(R fxxfkkks15分形幾何的研究對象（一）自相似集n1 Cantor集n2 Sierpinski墊片n3 Koch曲線16Cantor集C17Cantor集C中的點的表示kjkjjaax103我們規定：，其中若；時，取當)000(221kkaaaxa；時，取當)222(1121kkaaaxa記為，：，可用三進制小數展開)(2 , 1 , 03 1 , 0211njjjjaaaxaaxx，或的展開式中，有在的充分必要條件是：，那么設jaxCxxj20 1 , 0 定理18Cantor集C的基本性質n1. “長度”為零.n2. 沒有孤立點.n3. 閉集.n4. 自相似. 則設)

6、()( 3/23/)(，3/)( 定理2121CfCfC，xxfxxf 19Sierpinsk墊片20Sierpinsk墊片的生成過程第0步、第1步21Sierpinsk墊片的生成過程第2步、第3步22Sierpinski墊片的基本性質n與Cantor集類似。n面積等于0.?)(, 問題31321iiSfSfff，使得如何選取合適的：23Koch曲線24Koch曲線的生成過程第0步、第1步25Koch曲線的生成過程第2步、第3步26Koch曲線與雪花曲線連接在一起的三段Koch曲線構成一個雪花曲線27Koch曲線的一些基本性質n Koch曲線具有與Cantor集，Sierpinski墊片類似的

7、性質.n長度等于無窮.28自相似集合的定義n相似壓縮映射的定義：相似壓縮映射的定義： 設f是從Rn到Rn的映射，如果存在常數1c0,使得對于Rn中的任意兩點x,y,有 |f(x)-f(y)|=c|x-y|, 我們稱f是一個Rn上的相似映射，相似比為c.n關于自相似集合的定理及定義：關于自相似集合的定理及定義： 設f1, f2, ,fm 是Rn上的一組相似壓縮映射，則 存在Rn的一個非空子集E，使得 E=fi(E). 我們稱集合E是一個自相似集合.29分形幾何的研究對象（二）n自仿射集（每個映射都是壓縮的仿射映射）。n迭代函數系統的不變集（每個映射都是壓縮映射）。n分形函數（如：Weierstr

8、ass函數）。n隨機分形（如：隨機Koch曲線）。30隨機Koch曲線對海岸線的模擬31分形集合的基本特征 我們很難給出分形的定義，但我們認為一個分形集合E應該有如下的特征：uE具有精細的結構，即有任意小比例的細節。uE是如此的不規則以至它的整體和局部都不能用傳統的幾何語言來描述uE通常具有某種自相似的形式，可能是近似的或是統計的。32分形集合的基本特征（續）u一般地，E的“分形維數”（以某種方式定義）大于它的拓撲維數。u在大多數令人感興趣的情形下，E以非常簡單的方式定義，可能由迭代產生。33分形幾何的研究方法維數和測度我們僅討論維數n傳統意義下的維數： 點是0維的，線是1維的，平面是2維的，

9、 立方體是三維的，n用這個維數去刻畫分形集合時的困難：uCantor集：含有無窮多個點，長度為0.uKoch曲線：長度為無窮，面積為0.uSierpinski墊片：長度為無窮，面積為0.34分形維數的一種定義（1）n換種角度看維數. 把線段放大兩倍后，所得線段可以看成是2個原來個線段疊加而成。 把正方形放大兩倍后，所得正方形可以看成是422個原來的正方形疊加而成。 把立方體放大兩倍后，所得立方體可以看成是823個原來的立方體疊加而成。35分形維數的一種定義（2）n分形維數的一種直觀定義直觀定義(不很確切). 如果我們把集合E放大倍，得到的新集合可以由d個集合疊加而成，則稱集合E的分形維數是d.

10、36幾個典型自相似集的分形維數nCantor集: log2/log3.nSierpinski墊片: log3/log2.nKoch曲線: log4/log3.37自相似集合的分形維數公式n設f1, f2, ,fm 是一組Rn上的相似壓縮映射，fi的相似比為ci, E是對應的自相似集，如果fi(E)是兩兩不交的，那么E的分形維數d由下面的公式給出：c1d+ c2d+ cmd=1.n注：帶下劃線的條件可以放寬到“開集條件”，使得Koch曲線，Sierpinski墊片的維數公式也可由此計算。38迭代函數系-預備知識n度量空間(X;d)n柯西序列n完備度量空間n壓縮映射n不動點nBanach不動點定理

11、：完備度量空間中的壓縮映射必存在唯一的不動點。39迭代函數系-分形空間(H(X);h)nRn中緊集的定義：有界閉集n給定完備度量空間(X;d)，定義H(X)為X的所有非空緊子集所組成的集合。nH(X)上的度量h如下定義：).(,| ),(min),(XHBXxByyxdBxd).(,| ),(max),(XHBAAxBxdBAdBxBxd 0),(BABAd 0),(.),(),(max),(ABdBAdBAhn(H(X);h)是一個完備度量空間40Hausdorff距離計算實例nX=R. A=0,1, B=3,5. 問h(A,B)=?41迭代函數系-定義及其性質上的一族壓縮映射，是完備度量空間設 )( )21( X;d,N,nfn為：定義 )()( XHXHf).( ),()(1XHBBfBfNnn是一個雙曲迭代函數系稱 , 2 , 1,; NnfXn. )( 上的一個壓縮映射是則H(X);hf, XA 存在唯一的非空緊集于是，雙曲迭代函數系.)()( 1，且有使得NnAfAfA).(,)(XHBABfhn42迭代函數系-意義 雙曲迭代函數系中對應的A也稱為吸引子或者不變集，在許多情況下，它是一個分形集合，而自相似集