1、一.階乘1 .階乘是基斯頓卡曼于1808年發明的運算符號。階乘，也是數學里的一種術語。2 .階乘的計算方法階乘指從1乘以2乘以3乘以4一直乘到所要求的數。例如：求4的階乘，就是式子：1X2X3X4,積24就是4的階乘。例如：求6的階乘，就是式子：1X2X3XX6,積720就是6的階乘。例如：求n的階乘，就是式子：1X2X3Xxn,積是x就是n的階乘。3 .表水方法任何大于1的自然數n階乘表示方法：n!=1X2X3Xxn=nx（n-1）!n的雙階乘：當n為奇數時表示不大于n的所有奇數的乘積。如：7!=1X3X5X7當n為偶數時表示不大于n的所有偶數的乘積（除0外）如：8!=2X4X6X8-可編輯

2、修改-小于0的整數-n的階乘表示：（-n）!4.20以內的數的階乘0!=1,注意（0的階乘是存在的）1!=1,4!=24,7!=5,040,10!=3,628,8002!=2,5!=120,8!=40,32011!=39,916,800=1/(n+1)!3!=6,6!=720,9!=362,88012!=479,001,60014!=87,178,291,20016!=20,922,789,888,00018!=6,402,373,705,728,00020!=2,432,902,008,176,640,000另外，數學家定義，0!=1,所以0!=1!5.定義范圍通常我們所說的階乘是定義在自然

3、數范圍里的，小數沒有階乘，像0.5!,0.65!,0.777!都是錯誤的。二.排列組合1.排列組合是組合學最基本的概念。排列就是指從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序。組合就是指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素，不考慮排序。排列組合的中心問題是研究13!=6,227,020,80015!=1,307,674,368,00017!=355,687,428,096,00019!=121,645,100,408,832,000排列組合公式-可編輯修改-給定要求的排列和組合可能出現的情況總數。公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列。N-元

4、素的總個數R要選擇的元素個數感嘆號！表示階乘：9!=987X54X2X1從N倒數r個，表達式應該為nxn-1)X(n-2).(n-r+1),因為從nU(n-r+1)個數為n(n-r+1)+1=r2 .定義及公式排列的定義及其計算公式：從n個不同元素中，任取m(m。)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(m。)個元素的所有排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號P(n,m)表示組合的定義及其計算公式：從n個不同元素中，任取m(m。)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(m

5、句)個元素的所有組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號C(n,m)表示。C(n,m)=P(n,m)/m!=n!O(n-m)!m!3 .基本計數原理A.加法原理和分類計數法1.加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有-可編輯修改-P(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!(n-m)!ml種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+mn種不同方法。2 .第一類辦法的方法屬于集合A1,第二類辦法的方法屬于集合A2,，第n類辦法的方法屬于集合An,那么完成這件事的方法屬于

6、集合A1UA2UUAn。3 .分類的要求： 每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務； 兩類不同辦法中的具體方法，互不相同（即分類不重）；完成此任務的任何一種方法，都屬于某一類（即分類不漏）。B.乘法原理和分步計數法1 .乘法原理乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1xm2xm3x）mn種不同的方法。2 .合理分步的要求任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務；各步計數相互獨立；只要有一步中所采取的方法不同，則對應的完成此事的方法也不同。4 .

7、例題分析例：有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數？分析：123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P”計算范疇。-可編輯修改-上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現988,997之類的組合，我們可以這么看，百位數有9種可能，十位數則應該有9-1種可能，個位數則應該只有9-1-1種可能， 最終共有9X8M個三位數。 計算公式=P(3,9)=9X8M,(從9倒數3個的乘積)例：有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯盟”，可以組合成多少個“三國聯盟”？分析：213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要

8、求順序的，屬于“組合C”計算范疇。上問題中，將所有的包括排列數的個數去除掉屬于重復的個數即為最終組合數C(3,9)=(9X87)/(3X2X1)例.從1、2、3、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有多少個？分析：首先要把復雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。設a,b,c成等差，.=2b=a+c,可知b由a,c決定，又2b是偶數，a,c同奇或同偶，即：分別從1,3,5,19或2,4,6,8,，20這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，A(10,2)*2=90*2,因而本題為180。例.某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的

9、間距相同，若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法？-可編輯修改-分析：對實際背景的分析可以逐層深入：（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法；（三）事實上，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右；從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數。本題答案為：C（8,3）=56。例.在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A,B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A,B兩種作物的間隔不少于6壟,不同的選法共有多少種？分析：條件中要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不

10、容易用一個包含排列數，組合數的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種。例.從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？（A）240（B）180（C）120（D）60分析：顯然本題應分步解決。（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；（二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；（四）由于選取與順序無關，因（二）（三）中的選法重復一次，因而共240種。或分步-可編輯修改-(1)從6雙

11、中選出一雙同色的手套，有C(1,6)=6種方法(2)從剩下的5雙手套中任選兩雙，有C(2,5)=10種方法(3)從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有C(1,2)XC(1,2)=4種方法。同樣得出共(1)%2)23)=240種。例.身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數為。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有C(6,2)C(4,2)XC(2,2)=90種。例.在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工。現從11人中選出4人

12、當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法？分析： 采用加法原理首先要做到分類不重不漏,標準必須前后統一。以兩個全能的工人為分類的對象,標準。第一類：這兩個人都去當鉗工，第二類：這兩人有一個去當鉗工,第三類：這兩人都不去當鉗工，因而共有185種。例.現有印著0,1,3,5,7,那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數分析：有同學認為只要把0,1,3,5,7,9的排法數乘以2即為所求,-可編輯修改-如何做到這一點？分類的考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類C(2,2)C(5,2)XC(4,4)=10種；C(2,1)XC(5,3)XC(5,4)=100種；C(5,4)XC(6,4)=75種。9

13、的六張卡片，如果允許9可以作6用,但實際上抽出的三個數中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。抽出的三數含0,含9,有32種方法；抽出的三數含0不含9,有24種方法；抽出的三數含9不含0,有72種方法；抽出的三數不含9也不含0,有24種方法。因此共有32+24+72+24=152種方法。例.停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法有多少種？分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有A(9,8)=362880種停車方法。例.六人站成一排，求(1)甲、乙即不再排頭也不在排尾的排法數(2)甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數分析：(

14、1)按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計數第一類：排出首尾和末尾、因為甲乙不再首尾和末尾，那么首尾和末尾實在其它四位數選出兩位進行排列、一共有A(4,2)=12種；第二類：由于六個元素中已經有兩位排在首尾和末尾，因此中間四位是把剩下的四位元素進行排列，共A(4,4)=24種；根據乘法原理得即不再排頭也不在排尾數共12X24=288種。(2)第一類：甲在排尾，乙在排頭，有A(4,4)種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有3公(4,4)種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有3公(4,4)種方法。-可編輯修改-第四類：甲不在排尾也不再排頭，乙不在排頭也不再排尾，有種方法(排除相鄰)。共A(4,

15、4)+3松(4,4)+3用(4,4)+6抬(4,4)=312種。例.對某件產品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能？分析：本題意指第五次測試的產品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測試的有C(4,1)種可能；第二步：前四次有一件正品有C(6,1)中可能。第三步：前四次有A(4,4)種可能。共有576種可能。例,8人排成一隊(1)甲乙必須相鄰(2)甲乙不相鄰(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰分

16、析：(1)甲乙必須相鄰，就是把甲乙捆綁(甲乙可交換)和7人排列A(7,7)刈(2)甲乙不相鄰，A(8,8)-A(7,7)X2。(3)甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A(6,6)X2X26內4,4)-可編輯修改-甲乙必須相鄰且與丙不相鄰A(7,7)X2-A(6,6)2X2(4)甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A(6,6)X2X2(5)甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A(8,8)-A(7,7)X2X2+A(6,6)X2X2例.某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續命中，有多少種不同的情況？分析：:連續命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區別，不必計

17、數。即在四發空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即A(5,2)。例.馬路上有編號為1,2,3,，10十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種？分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。共C(6,3)=20種方法。例.三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形？分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。所求問題的方法數=任意三個點的組合數-共線三點的方法數，共76種。例.正方

18、體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體？分析：所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，共C(8,4)-12=70-12=58個。例.1,2,3,，9中取出兩個分別作為對數的底數和真數，可組成多-可編輯修改-少個不同數值的對數？分析：由于底數不能為1。(1)當1選上時，1必為真數，有一種情況。(2)當不選1時，從2-9中任取兩個分別作為底數，真數，共A(8,2)=56,其中log2為底4=log3為底9,log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.因而一共有56-4+1=53個。例.六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相鄰

19、)，共有多少種不同的方法？如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢？分析：(一)實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數。因而有=360種。(二)先考慮六人全排列；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數重復了種，.共=120種。例.5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法？分析：首先不考慮男生的站位要求，共A(9,9)種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復了次。因而有=9X8X76=3024種。若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種,綜上，有6048種。例.三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法？分析：先認為三個紅球互不相同，共A(5,5)=120種方法。而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共A(3,3)=6變化，因而共A(5,5)/A(3,3)=20-可編輯修改-種。例.10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多