1、13相軌跡的奇點相軌跡上點 處的斜率：( , )x x d( , )dxf x xxx 若相軌跡上某點處不同時滿足( , )0f x x 0 x 及， 則其斜率可唯一確定， 通過該點的相軌跡只有一條，相軌跡不可能在該點處相交。2相軌跡上點 處的斜率：( , )x x d( , )dxf x xxx 若相軌跡上某點處同時滿足( , )0f x x 0 x 及，即 型，d0d0 xx則其斜率不確定，這樣的點稱為奇點奇點。相軌跡有無窮多條，通過該點的若某一條曲線上每一點處都同時滿足( , )0f x x 0 x 及則該曲線上每一點都是奇點，該線稱為奇線。3奇點奇點 系統(tǒng)的平衡點平衡點一般來說，線性系

2、統(tǒng)只有一個奇點；一般來說，非線性系統(tǒng)有多個奇點。4【例例7-5】給定一個二階非線性系統(tǒng)20.630 xxxx求它在相平面（ 平面）內(nèi)的奇點。xx 5【解解】20.630 xxxx20.63xxxx 2d0.63dxxxxxx 62d0.63dxxxxxx 20.6300 xxxx令00 xx或30 xx 奇點0,0或3,074相軌跡通過 軸處的斜率x相軌跡通過 軸處的斜率為 ，x即相軌跡與軸垂直相交。xxx 0d( , )dxf x xxx 85相軌跡的運動方向在相平面的上半平面，0 x ，相軌跡從左向右運動；在相平面的下半平面，0 x ，相軌跡從右向左運動。97.3.3 相平面圖的繪制相平面

3、圖的繪制1解析法所謂解析法就是求得相軌跡方程( )xF x有兩種方法：對斜率方程d( , )dxf x xxx 直接積分，求取相軌跡方程。10【例例7-6】 設系統(tǒng)的微分方程為 ，xM 其中M為常量，初始條件為 ， 。(0)0 x0(0)xx繪制系統(tǒng)的相軌跡圖。11根據(jù)給定的微分方程式分別求出 和 關于時間x xt的函數(shù)關系，然后再從這兩個關系式中消去變量 ，t得到相軌跡方程。繼續(xù)分析上一個例子。繼續(xù)分析上一個例子。12xx 00 x0M xx 00 x0M 202xM xx 132等傾線法等傾線法的優(yōu)點是不必求解微分方程，而通過作圖即可近似地畫出系統(tǒng)的相軌跡。它適合于分析能用數(shù)學解析表達的非

4、線性系統(tǒng)，也適合于分析線性系統(tǒng)。14相軌跡的斜率方程：d( , )dxf x xxx 指定的常數(shù)( , )f x xax 上式表示一條曲線，該曲線上每一點處的相軌跡的a，切線斜率都是這樣的曲線稱為 。等傾線等傾線15xx 0等傾線等傾線切線方向切線方向斜率固定斜率固定相軌跡相軌跡( , )f x xax 16【例例7-7】畫出二階線性系統(tǒng)的相軌跡。220nnxxx特取 ， 。0.51n0 xxxxxx ddxxxxx xxax 11xxa 17xx 01a 1.21.42109400.2111xxa 18注意事項注意事項當?shù)葍A線為曲線時，用等傾線法畫相軌跡是很麻煩的。用等傾線法畫相軌跡一般只適

5、合于等傾線為直線的情形。197.4 相平面圖的分析相平面圖的分析根據(jù)相平面圖可以求出系統(tǒng)動態(tài)過程的時間函數(shù)；可以分析二階線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的動態(tài)品質。超調量振蕩次數(shù)207.4.1 由相平面圖求取系統(tǒng)運動由相平面圖求取系統(tǒng)運動的時間解的時間解由相平面（ - 平面）上的相軌跡，xx 求取 關于xt的函數(shù)關系式 。( )x t本課程介紹兩種方法：【1】 根據(jù) 求時域解xtx xxtxtx （近似式）21xx 0DxCxBxAxABCDABx BCx CDx ABxBCxCDx22xt0CDtBCtABtABCDCDxBCxABx232 根據(jù) 求時域解1dtxxddxxt1ddtxx22111ddt

6、xtxtxx21211dxxttxx24xx 01-11ABAxBxx1x 1-1AxBxAB0257.4.2 線性系統(tǒng)的相平面分析線性系統(tǒng)的相平面分析給定二階線性系統(tǒng)的微分方程220nnxxx在相平面內(nèi)相軌跡的斜率方程為22ddnnxxxxx 顯然，原點（0,0）為奇點。261 無阻尼情形（ ）0j0121nj2nj x0 x 中心點272 欠阻尼情形（ ）01j0121,2ndj x0 x 穩(wěn)定焦點283 過阻尼情形（ ）1j012系統(tǒng)過渡過程單調衰減x0 x 穩(wěn)定節(jié)點294 負阻尼情形10 j0121,2ndj x0 x 不穩(wěn)定焦點301 j012正實特征根21nnxx 不穩(wěn)定節(jié)點031

7、5給定二階線性系統(tǒng)的微分方程220nnxxx其特征方程為2220nnss其特征根為2110nn 2210nn 32j012不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)x0 x 鞍點337.4.3 非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的相平面分析1非線性系統(tǒng)的局部特性11122212( ,)( ,)xf x xxfx x非線性系統(tǒng)可以有多個奇點，在每個奇點附近的局部區(qū)域內(nèi)，相軌跡與線性系統(tǒng)的情形十分相似。如果上述非線性系統(tǒng)的奇點為原點， 則應用Taylor公式可展開為：34112112212212( ,)( ,)xaxbxg x xxcxdxgx x在原點附近略去高階項，得近似線性系統(tǒng)112212xaxbxxcxdx非線性系統(tǒng)

8、的局部特性可以由上一小節(jié)分析的線性系統(tǒng)的各種相軌跡來近似。352非線性系統(tǒng)的極限環(huán)在相平面中，極限環(huán)定義為一條孤立的封閉曲線。極限環(huán)的軌跡必須同時具備 和 這兩個封閉性封閉性孤立性孤立性性質。體現(xiàn)周期運動特性體現(xiàn)極限特性36極限環(huán)的分類穩(wěn)定極限環(huán)當 時，t 在極限環(huán)鄰域內(nèi)的所有軌跡都收斂于該極限環(huán)， 這樣的極限環(huán)稱為穩(wěn)定極限環(huán)穩(wěn)定極限環(huán)。它表示系統(tǒng)的運動是一種穩(wěn)定的帶固有周期的自持振蕩。在系統(tǒng)設計時，應盡可能減小極限環(huán)，以滿足穩(wěn)態(tài)精度的要求。37穩(wěn)定極限環(huán)xx 0極限環(huán)外部穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部不穩(wěn)定38不穩(wěn)定極限環(huán)當 時，t 在極限環(huán)鄰域內(nèi)的所有相軌跡都從該極限環(huán)離開，這樣的極限環(huán)稱為不穩(wěn)定極限環(huán)不

9、穩(wěn)定極限環(huán)。39不穩(wěn)定極限環(huán)xx 0極限環(huán)外部不穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部穩(wěn)定40半穩(wěn)定極限環(huán)當 時，t 在極限環(huán)鄰域內(nèi)的某些相軌跡從該極限環(huán)離開，這樣的極限環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán)半穩(wěn)定極限環(huán)。而另一些相軌跡收斂于該極限環(huán)，在系統(tǒng)設計時，應盡可能增大穩(wěn)定區(qū)域。41xx 0極限環(huán)外部不穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部不穩(wěn)定半穩(wěn)定極限環(huán)（情形I）42xx 0極限環(huán)外部穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)部穩(wěn)定半穩(wěn)定極限環(huán)（情形II）43例例7-8分析下述非線性系統(tǒng)的極限環(huán)22121122221212(1)(1)xxx xxxxx xx 443非線性系統(tǒng)的相平面分析這一節(jié)研究含有典型非線性環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)對于不同輸入信號下的系統(tǒng)運動相軌跡。這類非線性系統(tǒng)可以

10、通過幾個分段的線性系統(tǒng)來近似。 整個相平面劃分為若干個區(qū)域，其中每個區(qū)域對應一個線性工作狀態(tài)。45如果一個區(qū)域的奇點位于該區(qū)域之內(nèi)，則稱為實奇點實奇點； 如果位于該區(qū)域之外， 則稱為虛奇點虛奇點。二階非線性系統(tǒng)只能有一個實奇點，而在該實奇點所在區(qū)域之外的其他區(qū)域，都只能有虛奇點。每一個奇點的類別和位置取決于系統(tǒng)在該區(qū)域的微分方程，還取決于輸入信號的形式及大小。46將相鄰區(qū)域的相軌跡根據(jù)在兩區(qū)域分界線上的點應具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來。 這樣便獲得了整個非線性系統(tǒng)的相軌跡。47分析非線性系統(tǒng)的一般步驟分析非線性系統(tǒng)的一般步驟1 將非線性特性用分段的直線特性來表示，寫出相應的數(shù)學表達式。2 在相平面內(nèi)選擇合適的坐標，一般常用誤差 及e其導數(shù) 分別為橫坐標及縱坐標。e 然后將相平面根據(jù)非線性劃分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個區(qū)域內(nèi)都呈現(xiàn)線性特性。483 確定每個區(qū)域的奇點類別和在相平面上的位置。在某些情況下，奇點與輸入信號的