1、實(shí)數(shù)章節(jié)涉及的20個(gè)必考點(diǎn)考點(diǎn)1平方根與立方根的定義解決此類問題關(guān)鍵是掌握一個(gè)正數(shù)的正的平方根叫做這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根；一個(gè)正數(shù)的平方根有2個(gè)；任意一個(gè)數(shù)的立方根只有1個(gè).例題1 下列說法中，正確的是（）A. -5是（-5）2的算術(shù)平方根B. 16的平方根是±4C. 2是-4的算術(shù)平方根D. 27的立方根是±3【分析】利用平方根、立方根的性質(zhì)判斷即可.【解析】、5是（-5） 2的算術(shù)平方根，不符合題意；B、16的平方根是±4,符合題意;C、2是4的算術(shù)平方根，不符合題意：D、27的立方根是3,不符合題意.故選：B.【小結(jié)】此題考查了立方根，平方根，以及算術(shù)平方根，熟

2、掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.變式1 下列結(jié)論中，貝中正確的是（）A. 81的平方根是±9 B. 100 =±10C.立方根等于本身的數(shù)只有0.1 D. Vz6 = -6【分析】根據(jù)平方根，立方根的左義逐項(xiàng)汁算可判斷求解【解析.阿：=9, 9的平方根為±3, .H的平方根為±3,故原說法錯(cuò)誤；5.100 = 10,故原說法錯(cuò)誤；C.立方根等于本身的數(shù)只有0, -1, 1,故原說法錯(cuò)誤：DyrZ6 = -z6,故原說法正確.故選：D.變式2下列說法：±3都是27的立方根；:的算術(shù)平方根是±7 （3）-Vz8=2;后的平方根是164

3、77;4： ®-9是81的算術(shù)平方根，貝中正確的有（）A1個(gè)B. 2個(gè)C3個(gè)D. 4個(gè)【分析】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根的左義找到錯(cuò)誤選項(xiàng)即可.【解析】3是27的立方根，原來的說法錯(cuò)誤：:的算術(shù)平方根是;原來的說法錯(cuò)誤；(3)-V8=2是正確的：164(4)16=4, 4的平方根是±2,原來的說法錯(cuò)誤：9是81的算術(shù)平方根，原來的說法錯(cuò)誤.故其中正確的有1個(gè).故選：/.【小結(jié)】考查立方根，平方根，算術(shù)平方根的知識(shí)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：一個(gè)正數(shù)的正的平方根叫做這個(gè)數(shù) 的算術(shù)平方根：一個(gè)正數(shù)的平方根有2個(gè)；任意一個(gè)數(shù)的立方根只有1個(gè).變式3 下列說法正確的是()A.若 =-,則

4、 <0B.若 Va2=a,貝 >0C. a48 =CrbAD. 3的平方根是齒【分析】根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的左義分別對(duì)每一項(xiàng)進(jìn)行分析，即可得岀答案.【解析】/、若-a,則aM0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若Va =a,則a20,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、=a1b故本選項(xiàng)正確；D、3的平方根是±5,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤：故選：C.【小結(jié)】此題考査了平方根和算術(shù)平方根，熟練掌握平方根和算術(shù)平方根定義是解本題的關(guān)鍵.考點(diǎn)2算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律解決此類問題關(guān)鍵是掌握一個(gè)被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)兩位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地 向左或向右移動(dòng)1位：例題2 由3 1.732,得300 17

5、.32,則O3, 30000 .從以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向左或向右移動(dòng)1位.【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的立義進(jìn)行解答即可.【解析】丁 約7.32, 03 0.1732, 30000 173.2,從以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向左或向右移動(dòng)兩位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向左或 向右移動(dòng)1位：故答案為:0.1732, 173.2,兩.【小結(jié)】此題考查了算術(shù)平方根的怎義，掌握算術(shù)平方根的定義是本題的關(guān)鍵.變式4 如表所示，被開方數(shù)a的小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)和它的算術(shù)平方根匹的小數(shù)點(diǎn)位置移動(dòng)規(guī)律符合一肚的 規(guī)律，若Va =180,且-3.24

6、 = -1.8,則被開方數(shù)a的值為.a OOOOOOI0.011100IOOOOIOOOOOO0.0010.1110100 1000【分析】根據(jù)題意和表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，可以求得d的值.【解析】=180,且一324 = -l,. .24=1.&32400 =180, .=32400,故答案為：32400【小結(jié)】本題考查算術(shù)平方根，解答本題的關(guān)鍵是明確算術(shù)平方根的泄義，求出相應(yīng)的的值.變式5 若2536 =5.036, 253 =15.906,則253600 =()A. 50.36B. 503.6C 159.06D 1.5906【分析】根據(jù)已知等式，利用算術(shù)平方根泄義判斷即可得到結(jié)果.

7、【解析】V2536 =5.036, 253600 = 2536 × 10000 =5.036× 100=503.6,故選：B.【小結(jié)】本題考查了算術(shù)平方根.解題的關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根的左義以及算術(shù)平方根的被開方數(shù)小數(shù)點(diǎn) 移動(dòng)的規(guī)律.變式6 設(shè)V5 = m t 7 = n 則V.056可以表示為()mnmnmnmnA. B. C. D.25201510【分析】首先把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，為便于開方根據(jù)分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)，分子分母同時(shí)擴(kuò)大10倍，再根據(jù)二次根式 的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，即可求得結(jié)論.r as>ici /c C“ I 56 I 56060 JI.6x5X74××

8、7 Tnn【解析】v0.056 = AJyQQQ = JIOOOO = oo = 100 = -100 = 25' 故選：【小結(jié)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解決本題的關(guān)鍵是二次根式化簡(jiǎn)時(shí)把小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，注意嘗 試怎樣拆分?jǐn)?shù)據(jù)可簡(jiǎn)便運(yùn)算.考點(diǎn)3算術(shù)平方根的非負(fù)性解決此類問題關(guān)鍵是掌握算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次乘方均具有非負(fù)性.例題3若實(shí)數(shù)X, y滿足-3+T=T=0,則(七)3的平方根為()A. 4B. 8C. ±4D. ±8【分析】利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)得出X，y的值，進(jìn)而利用平方根的左義得出答案.【解析】x 3+yT =0, .x-3 = 0,1

9、= 0, x=3, y=l,則(E，) 3= (3+1) 3 = 64, 64 的平方根是：±8.故選：D.【小結(jié)】此題主要考査了算術(shù)平方根以及絕對(duì)值的性質(zhì)，正確把握相關(guān)上義是解題的關(guān)鍵.變式7 已知實(shí)數(shù)X和;V滿足+ (?+8) 2=0,則x+y的值為()A. 0B. -4C. 0 或-4D. ±4【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求出答案.【解析】由題意可知："-4=0, /+8=o,'x=±2, y= - 2 .9.x+y =O 或故選：C.【小結(jié)】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型.變式8已知(2+b) 2

10、與3b + 12互為相反數(shù),則2/=.【分析】根據(jù)相反數(shù)的槪念列岀算式，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出b的值，計(jì)算即可.【解析】由題意得，(2+b) 2+3b + 12 =0,貝IJ 2a+b=Q, 36+12=0,解得，=2, b= -4, 則戸=(-4) 2=16,故答案為：16.變式9已知：實(shí)數(shù)a、b滿足關(guān)系式(a-2) +3+2009 - C =0,求：ba+c+S的值.【分析】根據(jù)算術(shù)平方根，絕對(duì)值，偶次方的非負(fù)性求解a, b, C的值，再代入計(jì)算即可求解.【解析】由題意得a-2 = 0, b+3 = 0, 2009- c = 0,解得 a=2, b= -3, c=2009, ba+c+8=

11、(-3)2 +2009-8=2020.考點(diǎn)4平方根與立方根性質(zhì)的運(yùn)用解決此類問題關(guān)鍵是注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0;負(fù)數(shù)沒有平方根.立 方根的性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)的立方根是正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根式0.例題4已知4a+l的平方根是±3, b - 1的算術(shù)平方根為2.(1) 求a與b的值：(2)求2a+b - 1的立方根.【解析】(1)4a+l的平方根是土3, .4a+l=9,解得a=2;：b- 1的算術(shù)平方根為2, .b-l=4,解得b = 5.(2) Ta=2, b=5, ：.2a+b- l=2×2+5- 1 = 8, .2a+b -

12、 1 的立方根是：8=2.【小結(jié)】此題主要考査了立方根、平方根、算術(shù)平方根的含義和求法，要熟練掌握.變式10已知4a+7的立方根是3, 2a+2b+2的算術(shù)平方根是4.(1) 求a，b的值；(2)求6a÷3b的平方根.【解析】1).4a÷7的立方根是3, 2a+2fr+2的算術(shù)平方根是4,.4a+7=27, 2a+2b+2=16, .a=5, b=2;(2) 由(1)知 a=5, b=2, .6a+3b=6X5+3X2=36, .6a+3b 的平方根為±6.變式11已知2a+l的平方根是±3, 3a÷2b - 4的立方根是-2,求4a - 56

13、+8的立方根.【分析】先根據(jù)平方根，立方根的左義列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，再代入進(jìn)行計(jì)算求出4a-5b+8 的值，然后根據(jù)立方根的立義求解.【解析】T2a+1的平方根是土3, 3a+2b - 4的立方根是-2,.2a+l=9, 3a+2b-4=-8,解得 a=4, b= - 8,.4a - 56+8=4X4 - 5× ( - 8) +8=64, :Aa - 5b+8 的立方根是 4.變式12 已知3+4+5+6+7十8=165,且+ll的算術(shù)平方根是加，5+2的立方根是n.求nm的平方根.【分析】先由3十4+5+6+7卄8 = 165,即33=165得岀=5,再結(jié)合a+U的算術(shù)

14、平方根是 皿5a+2 的立方根是"得出加、“的值，代入求解可得.【解析】3+4+5+6十7+8 = 165,即 33=165, '=5,又卅11的算術(shù)平方根是加，即16的算術(shù)平方根是加，加=4,T5+2的立方根是”，即27的立方根是“，.S=3,則Hm=S4=Sl的平方根為±9.考點(diǎn)5無理數(shù)的概念解決此類問題關(guān)犍是掌握無理數(shù)的定爻，注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理 數(shù).如n, 2, 0. 8080080008-（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式.2 2TT例題5 在以下實(shí)數(shù)3.14159265,36>二中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（）73A1個(gè)B.

15、 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4丿卜【分析】根據(jù)無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，可得答案.22【解析】是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)：3-14159265是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；36 = 6,是整數(shù)，屬于有理數(shù)：無理數(shù)有：V9,工共2個(gè).故選：B.3. .4變式13在16, 一, -5.18, 一0317311731117-,這幾個(gè)數(shù)中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)是（）L7A1B. 2C3D4【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)理解無理數(shù)的概念，一左要同時(shí)理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù) 與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱.即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)由此即可判泄選擇項(xiàng).【解析】16 = 4,是整數(shù)，屬于有理數(shù)：一5.18是循環(huán)小數(shù)

16、，屬于無理數(shù)：士是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)；無理數(shù)有：一紜-V9> 0.317311731117共3個(gè).故選：C72考點(diǎn)6估算無理數(shù)的大小解決此類問題關(guān)靈是掌握無理數(shù)的定狡，注意帶根號(hào)的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理 數(shù).如, 2, 0. 8080080008-（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)0）等形式.例題6 下列整數(shù)中，與6-llM接近的是（）A2B. 3C4D5【分析】用逼近法即可進(jìn)行無理數(shù)大小的估算.【解析V9<ll<16, .3<U<4,V3.52=12.25>ll, .,.3<11 <3.52.5<6-11 <3. .

17、6;與 6-最接近的是 3.故選：B.變式14若<28-7<7+1,其中為整數(shù)，則的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】8-7 = 27-7 = 7, V22<7<32, 2<7<3,V<28-7<z+1,其中 a 為整數(shù)，."=2.故選：B.變式15閱讀下而的文字，解答問題，例如：T曲V7V0,即2<7<3, 7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為（7-2）.請(qǐng)解答：（1）佰的整數(shù)部分是,小數(shù)部分是.（2 ）已知：5-17小數(shù)部分是加，6+17小數(shù)部分是“，且（x+l） 2=zw+“，請(qǐng)求出滿足條件的X的值.【分析】（1

18、）直接利用估算無理數(shù)的大小的方法分別得出答案：（2）直接利用（1）中所求即可得出加，"的值，進(jìn)而得岀X的值.【解析】（1）V16<17<25, 4<17<5,17的整數(shù)部分是：4,小數(shù)部分是：17-4:故答案為：4, 17-4:（2） 5-T7小數(shù)部分是加，6+17小數(shù)部分是”，.*.w = 5-V17, j = 6+V17 10= V17 4,汁" = 1, .,. （x+l） 2=1,解得：X=O 或-2.變式16閱讀下而的文字，解答問題.大家知道1是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此返的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小 明用返-1來表

19、示7的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理，因?yàn)?#169;的 整數(shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分請(qǐng)解答：（1）若的整數(shù)部分為e小數(shù)部分為b,求a-13的值.（2）已知：10+3 =a-+-,其中X是整數(shù)，且O<y<l,求XT的值.【分析】（1）先估算出的范圍，求出a、b的值，再代入求出即可：（2）先估算出苗的范帀，再求出x、Iy的值，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算即可.【解析】（1）V3<13<4, .a = 3, =13-3, +b-13 =32+13-3-13 =6；（2） Vl<3<2,又 V 10+3 =a-

20、+',其中 X 是整數(shù)，且 O <y<l,.x=ll, y=3-b -y=ll - （3-l） =12-3.【小結(jié)】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出,逅的范囤是解此題的關(guān)鍵.考點(diǎn)7實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系例題7 如圖，在數(shù)軸上，JB=HC, J, E兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是5和-1,則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是（）BAC卞A. 23B. 23 -2C. 3+lD. 23+l【解析】-IB=晅（-1） = 3 +1,Y肋=ZIC, 2所表示的實(shí)數(shù)為齒，點(diǎn)C在點(diǎn)ZI的右側(cè)，.點(diǎn)C所表示的數(shù)為：3+ （3+l） =23+l,故選：D.變式17在數(shù)軸上，點(diǎn).4表示實(shí)數(shù)3,以點(diǎn)*為圓心，2+5的長(zhǎng)

21、為半徑畫弧，交數(shù)軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C表示 的實(shí)數(shù)是（）A. 5+5B. l-5C.曲一1 或 5+島 D. l-5 5+5【解析】根據(jù)題意得：3+2+5 =5+5, 3- （2+5） =l-5,則點(diǎn)C表示的實(shí)數(shù)是5+5c l-5,故選：D.變式18如圖，數(shù)軸上點(diǎn)丿所表示的實(shí)數(shù)是（）%、I*ry 廠十 q I I . 2-1012A 5B. Vz5-lC. 2-5D 2【解析】由勾股左理，得斜線的為喬= ,由圓的性質(zhì)得：點(diǎn)J表示的數(shù)為-1+K,即5-l.故選：B.變式19如圖所示，四邊形肋CQ是邊長(zhǎng)為2的正方AP=AC.則數(shù)軸上點(diǎn)P所表示的數(shù)是（）A. 22B. -22C 2運(yùn)一1D 1 - 2【解

22、析UdBCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，.C=25,9：AP=AC, :P=2晶P點(diǎn)表示的數(shù)是12L故選：D.考點(diǎn)8實(shí)數(shù)大小比較例題8 比較下列實(shí)數(shù)的大小（填上>、V或=）3.14159；SG4:-.【分析】根搖實(shí)數(shù)大小比較的法則進(jìn)行比較即可.【解析】>3.14159: V4= V64.V50<4:IW、 1，竺>空.故答案為：>；<：>.()2=； () 2= 1, 222332323變式20 5-2, 2+宇，2+V的大小關(guān)系是(A 2+2>2+>5-2C. 2+>5-2>2+2B.D.5-2>2+>2+25-2>

23、2+2>2+【解析】V5<8> ,5<8, -<2, 2+-<2+2,2 / (5-2) - (2+運(yùn))=3 -22>0, 5-2>2+2>2 + ;故選:D.變式21已知OVYI,則點(diǎn)、2、,、詢大小關(guān)系是<）A- S<v2<x< B. x<x2<i<T C. -2<x<<iD.i <x<k2<xXXX込X表示取三個(gè)數(shù)中最小的那個(gè)數(shù)，例如：當(dāng)x=9, miny, XIf x=ww9, X2, x=靠時(shí)'則X的值為（）A. 土16【解析】當(dāng)=時(shí)，當(dāng)U時(shí),B

24、.-82 x<冬,不合題意；x=±扌，當(dāng)X=舟時(shí)，XVX2，不合題意；當(dāng)X=；時(shí)，仮=£ jr<x<x,符合題意;2. QVX,不合題意，故選：C.X=當(dāng)X=君時(shí)，X2=【小結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)大小比較，算術(shù)平方根及英最值問題，解決此題時(shí)，注意分類思想的運(yùn)用【分析】根據(jù)0VxVl,可得：OVx2Vx v<1,丄>1,據(jù)此判斷即可.X【解析】V0<x<h 0<x2<x<<b i>b a-2<x<<-.故選：C. X%變式22已知min>992, 9=3當(dāng)価五、考點(diǎn)9實(shí)數(shù)的運(yùn)算（含解

25、方程）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算吋，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從商級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減, 有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范國(guó)內(nèi) 仍然適用.正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.例題9（1）計(jì)算：癥XjI-心（2）求下列式子中的X的值: 4 （-2） 2=49；（X-I） 3=64.【分析】（1）直接利用立方根以及二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案： 直接利用立方根以及二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案；（2）直接利用平方根的定義化簡(jiǎn)得出答案：直接利用立方根的定義化簡(jiǎn)得岀答案.【解析】（1）原式=-×-2= -2:原式=3 -5+3-3 +扌

26、=-彳；（2） T4 （x - 2） =49,.（兀一2）2=穿,.*.x 2 = +1, ,x = 2 + p ：尤=孕或尤= T （X-I） 3=64, .-l=4, x=5.【小結(jié)】此題主要考査了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵.變式23（1）計(jì)算:V=27+3-2-J; （2> 求X 的值：（2- 1） 2=9.9【分析】（1）先計(jì)算27的立方根、-的算術(shù)平方根，并化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再加減求值:4（2）按直接開平方法求出X的值即可.【解析】(1)原式=-3+2- = V3；(2) (2x 1) 2=9,兩邊開平方得 2-l = ±3. 2a = 1±3. '

27、x=罟 xi= =2, %2=打三=1即 xi=2, XI= - 1.變式24計(jì)算：(1) (z3)2+l-3- (3-4) - ( -42)； (2) 4 (x+l) 2 - 64=0.【分析】(1)首先計(jì)算乘方、開方，然后從左向右依次計(jì)算，求出算式的值是多少即可.(2) 根據(jù)平方根的含義和求法，求出X的值是多少即可.【解析】(1) 丁(一3)2+|1_逅| - (3-4) - ( -42) =3+3 -l-3 +2+16 = 20(2) V4 (x+l) 2 - 64=0, 4 (x+l) 2=64, /. (x+l) 2=16, x+1 = ±4,解得X= -5 或 3【小結(jié)】

28、此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)的要先算括號(hào)里而 的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范囤內(nèi)仍然適用.變式25計(jì)算:(l)i×+i×-V(27÷J2l-()1:(3) 解方程：4 (2x- 1) 2=36： (4)解方程：-8 (x-3) 3=27.【解析(I) J × V25 + -X “0.49 = - × - + - x.7=和 + 冷=篇(3) 4 (2X- 1) 2=36 貝 IJ

29、 (2X- 1) 2=9,故 2x - 1 = ±3,解得：x=2, Xl= - 1；（4）-8 （-3） 3=27 則（X 3） ?=-尋,故x-3=號(hào)，解得：X=【小結(jié)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.考點(diǎn)10 實(shí)數(shù)的性質(zhì)綜合例題10如圖是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，體積為8.（1）求出這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)：（2）圖中陰影部分是一個(gè)正方形4CD,求岀陰影部分的而積及英邊長(zhǎng).（3）把正方形A5CZ）放到數(shù)軸上，如圖，使得點(diǎn)月與-1重合，那么點(diǎn)Z）在數(shù)軸上表示的數(shù)為ClBIQ川IIIIII,-5-4-3-2 -1012345圖圖【解析】（1）設(shè)魔方的棱長(zhǎng)為X，

30、則a-3 = 8,解得：X=2：（2）棱長(zhǎng)為2,.每個(gè)小立方體的邊長(zhǎng)都是1,正方形曲CZ）的邊長(zhǎng)為：2,°S iniABCD= （V2）2 =2：（3）正方形-15CD的邊長(zhǎng)為點(diǎn)Zt與-1重合，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為：-1返，故答案為： 1返.【小結(jié)】本題主要考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、立方根的綜合應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是能求出每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng).變式26如圖，4X4方格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1.（1）直接寫岀圖（1）中正方形JECD的而積及邊長(zhǎng)；（2）任圖（2）的4X4方格中，畫一個(gè)而積為8的格點(diǎn)正方形（四個(gè)頂點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)上）：并把圖（2）中的數(shù)軸補(bǔ)充完整，然后用圓規(guī)在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)逅【解

31、析】（1）正方形的邊長(zhǎng)是：5,而積為：5×5=5.（2）見圖：在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)応,變式27如圖甲，這是由8個(gè)同樣大小的立方體組成的魔方，總體積為64e.（1）這個(gè)魔方的棱長(zhǎng)為.（2）圖甲中陰影部分是一個(gè)正方形/BCD,求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng):（3）把正方形,毎CD放置在數(shù)軸上，如圖乙所示，使得點(diǎn)Zl與數(shù)1重合，則D在數(shù)軸上表示的數(shù)為A甲£IIDIIAI I-3-2-1O12乙【解析】（1）設(shè)魔方的棱長(zhǎng)為"加，根據(jù)題意得 = 64=4故答案為4.（2）設(shè)小正方體的棱長(zhǎng)為加”，根據(jù)題意得863=64 Ad=2所以根據(jù)勾股定理得CZ>2=22CD=8:這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)

32、是逅.（3）由（2）知,AD=E點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)的絕對(duì)值是8-l, V點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)是負(fù)數(shù)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)是1 -8,故答案為1 -8.變式28如圖1,紙上有五個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的圖形紙，我們可以把它剪開拼成一個(gè)正方形/、V圖3（1）拼成的正方形的邊長(zhǎng)為（2）如圖2,以數(shù)軸的單位長(zhǎng)度的線段為邊作一個(gè)直角三角形，以數(shù)軸上表示的-1點(diǎn)為圓心，直角三角形的最大邊為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于點(diǎn)/，那么點(diǎn)2表示的數(shù)是.（3）如圖3,網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,若能把陰影部分剪拼成一個(gè)新的正方形，求新的正方形的 面積和邊長(zhǎng).【分析】（1）設(shè)拼成的正方形的邊長(zhǎng)為e根據(jù)總而積列方程可解答;（2）結(jié)合（1）,并根據(jù)

33、圓中半徑相等，結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)可解答：（3）根據(jù)圖形求岀陰影部分的而積，即為新正方形的而積，開方即可求出邊長(zhǎng).【解析】（1）設(shè)拼成的正方形的邊長(zhǎng)為G則，=5, =5,即拼成的正方形的邊長(zhǎng)為苗，故答案為：5:（2）由（1）得點(diǎn)表示的數(shù)為5-l,故答案為：5-l;（3）根據(jù)圖形得：SR=2X2X2x*+2X2x*=4+2=6,即新的正方形的而積為6,新正方形的邊長(zhǎng)為后.考點(diǎn)11二次根式的有關(guān)概念二次根式的有關(guān)概念：（1）二次根式的定狡：一般地，我們把形如右（a0）的式子叫做二次根式，理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個(gè)式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定艾確定被開方數(shù)中的字 母取值范

34、國(guó).（2）最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式：（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.（3）同類二次根式的概念：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫同類二次根式，同類二次根式可以合并.例題11在式子,退(x>0), V2» Jy + 1 (y= - 2)> >J-2x (x>O), V5",VX2+ 1，XtF中，二次根式有A2個(gè)B. 3個(gè)C. 4個(gè)D. 5個(gè)【解析】Jl (>o), 2, jt了符合二次根式的泄義.y+ 1 (y=-2),(>O)無意義，不是

35、二次根式.Vf屬于三次根式.Xty不是根式.故選：B.變式29在根式7、T12>冷一、JX _y、J/y中,最簡(jiǎn)二次根式有()A1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)JabJab【解析】IKAVXyX 12匚一.Jx -y、Jx2y中,最簡(jiǎn)二次根式有匚一、JX _ y,共3個(gè), 故選：C.變式30若最簡(jiǎn)二次根式7喬與最簡(jiǎn)二次根式層是同類二次根式.則X的值為()A X=OB. x=lD x=3【解析】I最簡(jiǎn)二次根式盲與最簡(jiǎn)二次根式卮是同類二次根式,x+3 = 2x,解得：x=3,故選：D.變式31若最簡(jiǎn)二次根式"%2x + y - 5和厶一 3y + 11是同類二次根式.(1) 求X

36、, y的值： (2)求J*+y2的值.【解析】根據(jù)題意知解得弋二：；(2) 當(dāng) x=4. y=3 時(shí)，x2 + y2 = 42 + 32 = 25 =5.考點(diǎn)12二次根式有意義的條件(求取值范圍)對(duì)于二次根式有意艾的條件求取值范國(guó)類題型，關(guān)犍是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù) 以及分式分母不為零.例題12若式子一 在實(shí)數(shù)范囤內(nèi)有意義，則加的取值范用是()m-2A 71B.加Wl 且 m2 C.加21 且 m2 D n2【分析】分別根據(jù)二次根式及分式有意義的條件列出關(guān)于加的不等式，求出加的取值范羽即可.【解析】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義嚴(yán)一=鴛解得加勿且2.故選：Cm-2Im- 2 0【小結(jié)】本題考查的

37、是二次根式有意義的條件.熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵.變式32要使2T+-=-意義，則X的取值范圍為（）A*3B-C*<3D +【解析】要使2T +7有意幾貝IJ 2x - 120, 3->0,解得：-x<3.故選：C.變式33若使式子7k 7=T成立，則X的取值范羽是（）A L5WxW2B. x1.5C. lx2D IWXWl.5（2 - % O【解析】由題意可得：%-l O ,解得：lx1.5.故選：D.（2 - % % - 1變式34等式居=君成立的條件是（）A alB. N3 且 H - 1 C. a>l【解析】T等式成匕'-匚O '

38、W故選：D'【小結(jié)】本題考査的知識(shí)點(diǎn)為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù).考點(diǎn)13二次根式有意義的條件（被開方數(shù)互為相反數(shù)）對(duì)于解決此類型的題目關(guān)鍵從被開方數(shù)中找出一對(duì)相反數(shù)，利用二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行求解即可.例題13已知，x、y是有理數(shù)，且y= yx-2 + yj2-x -4.則2x+3y的立方根為 【解析】由題意得：；二當(dāng)，解得：x=2,則y=-4,2x+3y=2×2+3× （-4） =4-12=-8.所以Vz8= -2.故答案是：-2.變式35若a, b為實(shí)數(shù),且=29fl2 + 4,則卅b的值為（）A-1B. 1C. 1 或7D

39、7【解析】Vb= >P-+JE+4, .-9=0 且 a+3H0,解得 a=3, b=0+4=4,則 a+b=3+4=7.故選：D.變式36 已知J2x+y-3 + Jx-2y-4 = a + b-2020 × 2020-a - b,（1）求d+b的值；求7x+*°2°的值.【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義即可求出答案.（2）根據(jù)二次根式有意義的條件列出方程組求出X與）,的值即可求出答案.【解析】(I)由題意可知:on202>解得:2020. <ZUZU O 0(2)由于7a + b 2020 X “2020 b =0,e=-17x02°

40、;= 14+1 = 15.【解析】T0, ">0, V0, - a I- = -Vat 故選：B.變式 37【知 3x + y- z-8+x + y- z = r+y- 2019 + 丿2019 -X-y,求(y)'的值.【解析】由題中方程等號(hào)右邊知：t + y-2019有意義,則x+y-20190,即Xt心2019, 2019-%-y 有意義，則 2019-X-Q0,即 x÷y2019 ,即： ； ；£ ；寫，°E=2019x + y-2019 = 0. 2019-% - y = 0'原題中方程右邊為0原題中方程左邊也為0即3x

41、+ y-z-8 + x + y-z = 0.°： J3x + y z 8 0, JX + y z 0. "3x+y -Z- 8=0, x+y - z=0.X = 4 y = 2015. z = 20193x + y- z- 8 = 0又 Xty=2019, /. X + y - z = 0 + y = 2019(2 T) 2= (2019 - 2015) 2=42=16.考點(diǎn)14 二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)（根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）對(duì)于解決此類型的題目關(guān)鍵根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)確定相關(guān)字母的符號(hào)，利用二次根式的性 質(zhì)即可化簡(jiǎn).例題14已知“H0且a<b.化簡(jiǎn)二次根式丙的正確結(jié)果

42、是A afabB. - aabC. a-abD-aj-ab【解析】由題意：-0> 即 bWO, <b, J.a<Q<b, 所以原式= IaV-Qb = -a-ab,故選：D.變式38與根式-X的值相等的是（）B-X27【解析】.J有意義，.V0, >0,x = Vx» 故選：D. -X變式39化簡(jiǎn)雄的結(jié)果是（）A. B. D yfa【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件判斷的取值范用，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可.變式40把代數(shù)式(-1) J石中的4-1移到根號(hào)內(nèi)，那么這個(gè)代數(shù)式等于()A. -y 1 B. 1C. 1 D-Va 【解析】( - 1)J

43、(IZa) = -( 1 - ) JIta= >/1 a.故選：1考點(diǎn)15二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)(根據(jù)字母取值范圍或數(shù)軸)例題15若lx4,則|1一劉一丁仗一 4)2化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A 2- 5B. 3C 3-2XD-3【解析】Vlx4, 原式=1-4=-1 (4-) =X-I- 4+x=2X 5,故選：/變式41實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)(a + l)2+(b-l)2 -J(a-b)2的結(jié)果是()a Ib-73-2 r -1 01 * i F"A. -2B. 0C-2D. 2b【解析】由數(shù)軸可知-2V<l, l<<2, t7÷l<0

44、> b-l>0, a - b<0. J( + 1)2 + Je 一 1)2 J( b)2 = +l+b II-Ia-b =(+l) + (b- 1) + (-b)=1+bl+b= - 2故選：2變式42若a、b、C為三角形的三條邊,則y(a+b-c)2+b-a-c=()A. 2b-2cB. IaC. 2 (a十b-c)D. 2a - 2c【解析】 J、b、C為三角形的三條邊,a+b>c, a+c>b,"原式=Ia+b c+a+c b-ab c+a+c b = 2a故選：B變式43已知實(shí)數(shù)G b, C在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位巻如圖所示，化簡(jiǎn)后+ |+J(b_c

45、)2_|b|.CaQ【解析】由數(shù)軸可知：c<a<0<b9 .a - c>0t b - c>0»'原式=Ial+a - c+b -Cl- Ibl= - a+ (a - c) + (b C) - b= - 2c.考點(diǎn)16二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘、除法.加、減法的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng) 注意以下幾點(diǎn)： 觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除， 最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的： 在運(yùn)算過程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式S多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作是“多

46、項(xiàng)式”：例題 16（1）計(jì)算：3 × 12 + 6 ÷ 2 - 27；（2）化簡(jiǎn)：Vl8x + 等 + % ÷【分析】（I）根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算：（2）先進(jìn)行二次根式的除法法則運(yùn)算，然后把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后合并即可.【解析】(1)原式=3 X 12 +-33 =6+3 -33 =6 - 23:s2(2)原式= 35+x忑 =3亦+后+后=5后變式44(1)計(jì)算：12×+4÷6.(2)計(jì)算：(5+l)2-(+¾(5-¾.1 37【解答】(1)解：原式=4 X 12 X 3 + 4 +6 = +2 2:(2)解：原

47、式=5 + 2屆+3-(5-2) = 8 + 2屆一3 = 5 + 215.變式45計(jì)算：(1) (23-1) 2+ (3+2) (3-2)：(2) vz48 ÷23 - 27 X+4J【解析】（1）原式=12-475+1+34=12-4方；(2)原式=*48 + 3 - 扌27 X 6 +2=2 3逅+25=2-5.變式46計(jì)算：(1) (y3 2) (+2) (V-I) ?+5：(2) (2Jy-l715) ÷ 爭(zhēng)【解析】(1)原式=(3-4) - (3 -23+l) +5= - 1 - 3+23-l+5=23;(2)原式=(扌応一5卮)÷ = -i-= =

48、- 13.考點(diǎn)17二次根式的化簡(jiǎn)求值例題 17 若 X, Iy 是實(shí)數(shù)，且 y= 4x - 1 + 1 - 4x + ”,求(Ix+ y4xy) - (x + 25xy )的值.【解析】°°x, V是實(shí)數(shù)，且y= 4x - 1 + 1 - 4% + P4x - 120 且 1 4x20,解得：X= £尸即.*. (-i9X + J4xy)-+ y/25xy)的值.=IjCJHx伐5&=XyJli-3jxy變式47 C知X= 虧亍,y = 虧;-言求下列各式的值:(1) X2 - Ayb2:、y X(2) - + 兀y【解析】k&b,5+,315-

49、3.1Z 2 '廠厲+的 一2 'Elrl2貝IJ Jr - Xyryr= (X-HO 2 - 3xy>=5-號(hào)=與；(2)y +X = =(X+-2Xy = 5 =8. Xy XyXy2變式48 2A- i(5 + 3), X= i(5 - 3),求 X2 - 3a÷>2 的值.【分析】先由小Iy的值計(jì)算岀x-y. Q的值，再代入原式=(-y) 2 - Ay計(jì)算可得.M¥«rJ Vx=i(5+3), J= l(5-3),：.x -y>= (5 + 3) - I(5 - 3)=學(xué)+ 字_學(xué)+字=逅,R= 2(+ V) ×

50、 2 (V _ 3) = × (5-3) = 4 x2= 則原式=(x-y) 2 - xy>= (3) 2-=3-i = 變?nèi)缫阎鍱'尸鬲諾E'求"Fk的值.【分析】根據(jù)分母有理化化簡(jiǎn)X與然后求岀;HT與Xy的表達(dá)式即可求出答案.解析Ja= -=J-j=,尸-=, ：.X= J時(shí)z 尸 J時(shí)z K= 2 + , R= ?，原式='+2Xyty2 - 3廠= (Xty) - 3=2a+b-=2a-考點(diǎn)18分母有理化二次分母有理化就是通過分子和分母同時(shí)乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過程，混合運(yùn)算 中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過

51、分母有理化而進(jìn)行的.例題18閱讀下列材料，然后回答問題.在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如看，J,占一樣的式子，苴實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn):5 _ 5×3 _ 5v3 總 _ (2x3 _ r6 = ", 3 = AJ33 = T23 + l2X(VW-I) = 2(E-1) = R(+l)(3-l) - (¾2-l2 一7 以上這種化簡(jiǎn)的步驟叫做分母有理化32(1)化簡(jiǎn)=(2)化簡(jiǎn)育27S÷v3G)化簡(jiǎn)： + + + " + i33I yj3【解析】(1)荷二鬲荷=E22(rS-f3)(2) 化簡(jiǎn)-7F= = /'； &

52、#39; 一 = 5 _ f3S+3(5+3)(5-3)Vf3+l S + vz3 v7+S2n+l+2n-l變式50閱讀下而計(jì)算過程:=* (V5 1+V5 V3 + V7 V5 H n + 1 2n 1 ) =* (2n + 11)(2 + l)(2-l)v2b1×(3-1)(2)R+H = (7i+)(+-) =Vrl + 點(diǎn)：+5 - (3+)(3-¾ -yy 1=lX('W-2)= r-V÷2(Vs÷2)(-2) 求萬(wàn)麗的值（2） E+57 5為正整數(shù)）的值.(S) 2+l + +2 + 4+3 + ,* + 100+99ll'

53、jf, L【分析】（1）根據(jù)給泄算式，在分式祐后的分母和分子上分別相乘（“-蟲），計(jì)算后即可得岀結(jié)論:（2）根據(jù)給左算式，在分式J芮孑+后的分母和分子上分別相乘（后1-負(fù)），計(jì)算后即可得岀結(jié)論：（3） 根據(jù)（2）的結(jié)論即可得出F _ + _ + + r =（返1） + （3 ） +Vf2+l 3 + 24+vz3l+99（2-3） + （10-99）,由此即可算出結(jié)論. 【解析】（1）亠 =7竺詩(shī)、= 7-:7+W（7+6）（7-6）1l×（n+l-n）+ - + VTOO= <2 -1)+(2-Q ÷(10-99) = IO- 1=9.、“ I S-12運(yùn)一22Vf13-32J莎_42變式51觀察卜列格式丁一兀(I)化簡(jiǎn)以上各式，并計(jì)算出結(jié)果；(2)(3)以上格式的結(jié)果存在一肚的規(guī)律，請(qǐng)按規(guī)律寫出第5個(gè)式子及結(jié)果用含“1的整數(shù))的式子寫岀第"個(gè)式子及結(jié)果，并給出證明的過程. W ,.、歸72E 2(S+1)S-1s+lI25-l2(5-l)(T+l)22r8-2 2r8-2 r8+2=2,28-2 2 2I-32_13-3+