1、 .含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的探究與拓展（含參導(dǎo)數(shù)的三個(gè)基本討論點(diǎn)） 一、導(dǎo)入： 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖像和性質(zhì)的重要工具，自從導(dǎo)數(shù)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)教材以來(lái)，有關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題是每年 高考的必考試題之一。隨著高考對(duì)導(dǎo)數(shù)考查的不斷深入，含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題又是歷年高考命題的熱點(diǎn)。由于含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題在解答時(shí)往往需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，因而它也是絕大多數(shù)考生答題的難點(diǎn)，具體表現(xiàn)在：他們不知何時(shí)開始討論、怎樣去討論。對(duì)這一問(wèn)題不僅高中數(shù)學(xué)教材沒(méi)有介紹過(guò)，而且在眾多的教輔資料中也難得一見，本專題就來(lái)討論這一問(wèn)題，供大家參考。二基礎(chǔ)訓(xùn)練 1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。答案：（1）函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是（-，+）；無(wú)極值點(diǎn)a<0時(shí)，單調(diào)

2、遞增區(qū)間是：（-，單調(diào)遞減區(qū)間是：是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)。2. 若函數(shù)f(x)mx2xln x.在定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍。_.3. 若函數(shù)yx3bx有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是_b0.4. 已知函數(shù)f(x).若關(guān)于x的不等式ln xmx對(duì)一切xa,2a(a0)都成立，求m范圍解：由題m，當(dāng)a時(shí)，m；當(dāng)ae時(shí)，m，當(dāng)ae時(shí)，m.三、 范例解析（一）求導(dǎo)后，考慮導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能否分解因式），從而引起討論。例1（2008年高考廣東卷（理科） 設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性。解：。考慮導(dǎo)函數(shù)是否有實(shí)根，從而需要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論

3、。（一）若，則。由于當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)根，而當(dāng)時(shí)，有實(shí)根，因此，對(duì)參數(shù)分和兩種情況討論。（1） 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；（2） 當(dāng)時(shí)，。由，得，因?yàn)椋浴Ｓ桑茫挥桑谩Ｒ虼耍?dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。（二）若，則。由于當(dāng)時(shí)，無(wú)實(shí)根，而當(dāng)時(shí)，有實(shí)根，因此，對(duì)參數(shù)分和兩種情況討論。（1） 當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上為減函數(shù)；（2） 當(dāng)時(shí)，。由，得；由，得。因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。綜上所述：（1） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（2） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。（3） 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)

4、。練習(xí)1：（2010遼寧文數(shù)）已知函數(shù). （）討論函數(shù)的單調(diào)性； （）設(shè)，證明：對(duì)任意，.解：() f(x)的定義域?yàn)?0,+)，.當(dāng)a0時(shí)，0，故f(x)在(0,+)單調(diào)增加；當(dāng)a1時(shí)，0, 故f(x)在(0,+)單調(diào)減少；當(dāng)1a0時(shí)，令0,解得x=.當(dāng)x(0, )時(shí), 0；x(，+)時(shí)，0, 故f(x)在（0, ）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.()不妨假設(shè)x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1.令g(x)=f(x)+4x,則+4.于是0.從而g(x)在（0，+）單調(diào)減少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+

5、 4x1f(x2)+ 4x2，故對(duì)任意x1,x2(0,+) ，.二、 求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式），但不知導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否落在定義域內(nèi)，從而引起討論。例2 (2008高考浙江卷理科)已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)為在區(qū)間上的最小值。（）寫出的表達(dá)式；（）求的取值范圍，使得。解：（）函數(shù)的定義域?yàn)椋傻谩？紤]是否落在導(dǎo)函數(shù)的定義域內(nèi)，需對(duì)參數(shù)的取值分及兩種情況進(jìn)行討論。（1） 當(dāng)時(shí)，則在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為。（2） 當(dāng)時(shí)，由，得；由，得。因此，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為。（）（）由第（）問(wèn)的結(jié)論可知：（1） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，從而在上單

6、調(diào)遞增，所以。（2） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以： 當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以。 當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以。綜上所述，（）令。若，無(wú)解；若，由解得； 若，由解得。綜上所述，的取值范圍為。練習(xí)2：三求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)（或?qū)Ш瘮?shù)的分子能分解因式）, 導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)也落在定義域內(nèi)，但不知這些零點(diǎn)根的大小關(guān)系，從而引起討論。例3（2007年高考天津理科卷）已知函數(shù)，其中。（）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（）當(dāng)時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為。（）由于，所以。由，得。這兩個(gè)實(shí)根都在定義域R內(nèi)，但不知它們之間的大小。因此，需對(duì)參數(shù)的取值分和

7、兩種情況進(jìn)行討論。（1） 當(dāng)時(shí)，則。易得在區(qū)間，內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間為增函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)在處取得極大值。（2） 當(dāng)時(shí)，則。易得在區(qū)間，內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間為減函數(shù)。故函數(shù)在處取得極小值；函數(shù)在處取得極大值。 練習(xí)3：（07高考山東理科卷改編）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)的極值點(diǎn)。解：由題意可得的定義域?yàn)椋姆帜冈诙x域上恒為正，方程是否有實(shí)根，需要對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行討論。（1）當(dāng)，即時(shí)，方程無(wú)實(shí)根或只有唯一根，所以在上恒成立，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上無(wú)極值點(diǎn)。（2）當(dāng)，即時(shí)，方程，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根：。這兩個(gè)根是否都在定義域內(nèi)呢？又需要對(duì)參數(shù)的取值分情況作如下討論：

8、（）當(dāng)時(shí)，所以。此時(shí)，與隨的變化情況如下表：0遞減極小值遞增由此表可知：當(dāng)時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)。（）當(dāng)時(shí)，所以。此時(shí)，與隨的變化情況如下表：遞增極大值遞減極小值遞增由此表可知：當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)。綜上所述：（1）當(dāng)時(shí)，有唯一極小值點(diǎn)；(2)當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)。以上三點(diǎn)即為含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的三個(gè)基本討論點(diǎn)，在求解有關(guān)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題時(shí)，可按上述三點(diǎn)的順序?qū)?shù)進(jìn)行討論。因此，對(duì)含參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的討論，還是有一定的規(guī)律可循的。當(dāng)然，在具體解題中，可能要討論其中的兩點(diǎn)或三點(diǎn)，這時(shí)的討論就更復(fù)雜一些了，需要靈活把握。 作業(yè)：1（2010山東理數(shù)）已知函

9、數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；()當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，存在，使，求實(shí)數(shù)取值范圍.解：（）因?yàn)椋?，令 ， 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； 當(dāng)， 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，由于， ，,此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)、單調(diào)遞減；函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；函數(shù)單調(diào)遞增.（）因?yàn)閍=，由（）知，=1，=3，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在（0，2）上的最小值為。由于“對(duì)任意，存在，使”等價(jià)于“在上的最小值不大于在（0

10、,2）上的最小值”（*）又=，所以當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)與（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑯优c（*）矛盾當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋獠坏仁?-4b，可得綜上，b的取值范圍是。 2.（2010北京理數(shù)）已知函數(shù)()=ln(1+)-+(0)。()當(dāng)=2時(shí)，求曲線=()在點(diǎn)(1，(1)處的切線方程；()求()的單調(diào)區(qū)間。解：（I）當(dāng)時(shí)， 由于， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為 即 （II），. 當(dāng)時(shí)，. 所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)，由，得， 所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，得，.所以沒(méi)在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，

11、故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是 3.（07高考山東理科卷改編）設(shè)函數(shù)，其中，求函數(shù)的極值點(diǎn)。4已知函數(shù)f(x)aln x+(a為常數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線x2y50垂直，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)x1時(shí)，f(x)2x3恒成立，求a的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0，f(x).又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與直線x2y50垂直，所以f(1)a12，即a1.(4分)(2)由f(x)(x0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0，得0x- ，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)

12、間為；由f(x)0，得x - ，所以f (x)的單調(diào)減區(qū)間為.(10分)(3)設(shè)g(x)aln x2x3，x1，)，則g(x)2.h(x)在1，)上是減函數(shù)，h(x)h(1)a10，所以g(x)0，g(x)在1，)上是減函數(shù)，所以g(x)g(1)0，即f(x)2x23恒成立當(dāng)a1時(shí)，令h(x)2x2ax10，得x11，x20，當(dāng)x1，x1)時(shí)，h(x)0，即g(x)0，g(x)在1，x1)上是增函數(shù)；當(dāng)x(x1，)時(shí)，h(x)0，即g(x)0，g(x)在(x1，)上是減函數(shù)所以0g(1)g(x1)，即f(x1)2x13，不滿足題意綜上，a的取值范圍為a1.5.（2010江蘇卷）設(shè)是定義在區(qū)間上

13、的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為。如果存在實(shí)數(shù)和函數(shù)，其中對(duì)任意的都有>0，使得，則稱函數(shù)具有性質(zhì)。(1)設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。(i)求證：函數(shù)具有性質(zhì)； (ii)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。(2)已知函數(shù)具有性質(zhì)。給定設(shè)為實(shí)數(shù)，且，若|<|，求的取值范圍。解析 本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力。滿分16分。（1）(i)時(shí)，恒成立，函數(shù)具有性質(zhì)；(ii)（方法一）設(shè)，與的符號(hào)相同。當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，所以此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對(duì)稱軸，而，對(duì)于，總有，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；（方法二）當(dāng)時(shí)，對(duì)于， 所以，故此時(shí)在區(qū)間上遞增；當(dāng)時(shí)，圖像開口向上，對(duì)稱軸，方程的兩根為：，而 當(dāng)時(shí)，故此時(shí)在區(qū)間 上遞減；同理得：在區(qū)間上遞增。綜上所述，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上遞增； 當(dāng)時(shí)，在上遞減；在上遞增。(2)（方法一）由題意