1、 習題習題1.1序列序列x(n)示意如圖示意如圖T1-1,請用各延遲單位脈沖序列的請用各延遲單位脈沖序列的幅度加權和表示幅度加權和表示012332-4 -3 -2-14 56-2-1X(n)3(2) 1(3)()3(2)(nnnnnx解：1.4已知人的腦電波的頻率范圍市已知人的腦電波的頻率范圍市045Hz，對其進行，對其進行數字處理的最大采樣周期是多少？數字處理的最大采樣周期是多少？解：腦電波的頻率范圍解：腦電波的頻率范圍045Hz , 所以所以 由采樣定理：由采樣定理： 所以最大采樣周期：所以最大采樣周期：Hzfc45Hzffcs902sfTs01111. 090111.8設一連續時間信號頻

2、普包括直流設一連續時間信號頻普包括直流,1kHz,2kHz, 和和3kHz 等頻率分量，它們的幅度分別為等頻率分量，它們的幅度分別為0.5:1:0.5:0.25,相位頻譜相位頻譜為零。設對該連續信號進行采樣的采樣率為為零。設對該連續信號進行采樣的采樣率為10kHz,畫出畫出經過采樣后的離散信號頻譜。包括從直流到經過采樣后的離散信號頻譜。包括從直流到30kHz的所的所有頻率分量。有頻率分量。分析分析知識點：時域采樣，頻域周期延拓。知識點：時域采樣，頻域周期延拓。0 1 2 35f(kHz)(jfa0.510.50.254 5 6 7 8 9 100 1 2 310.50.50

3、.25f(kHz)(jfa1.9有限頻帶信號f(t)的最高頻率為100Hz，若對下列信號進行時域采樣，求最小采樣頻率.解：f(t) 的最高頻率為100Hz.HzffHzftfcsc6002300)3() 1 (1) f(3t)(3)f(t)*f(2t)2)()2(tf2)()()4(tftfHzffHzftfcsc4002200)()2(2時域卷積，頻域相乘)2()()3(tftfHzffHzfHzfcccc100200100121取最小值Hzffcs2002HzfHzftftfsc400200)()()4(2取頻帶范圍大的，則1.5一頻普從直流到100Hz的連續時間信號延續2分鐘，為了進行計

4、算機處理，需將此信號轉換為離散形式，試求最小的理想采樣點數。解：信號時域總記錄時間： 信號頻域頻率范圍：f=0100Hz 由采樣定理： 所以最少采樣點數：)(120602sTpssfTff12點24000200120sppfTTTN 1.10有限頻帶信號 ,式 中， 。 用 的沖激函數序列 進行取樣.(1)畫出f(t)及采樣信號 在頻率區間(-10kHz, 10kHz) 的頻譜圖。 (2)若由 恢復原信號，理想低通濾波器的截止頻率應如何選擇。)4cos()2cos(25)(11tftftfkHzf11kHzfs5)(tT)(tfscf)(tfs解：012-2-15f)(jfF112121幅值相

5、對大小012-2-15f)(jfF11212121212111553467(2)若由 恢復原信號，理想低通濾波器的截止頻率：)(tfskHzffxc252 1.11有限頻帶信號)4cos()2cos(25)(11tftftf,式中.用Hzfs800的沖激函數序列)(tT進行取樣。（請注意)1ffs(1)畫出f(t)及采樣信號在頻率區(-2kHz,2kHz)的頻普圖。)(tfs(2)若將采樣信號)(tfs輸入到截止頻率,500Hzfc幅度為T的理想低通濾波器，即其頻率響應為畫出濾波器的輸出信號的頻普，并求出輸出信號y(t). HzfHzfTfjHjH5000500)2()(Hzf100011.1

6、1解：kHzftftftf14cos2cos25)(111注幅植大小只表示各頻率成分的相對大小。012-2-15112121f(kHz)( jF1.13今對三個正弦信號ttxttxttxaaa10cos)(,6cos)(,2cos)(321進行理想采樣，采樣頻率為 試求三個采樣輸出序列，.8s比較這三個結果，畫出 的波形及采樣點位置并解釋頻譜混淆現象。)(),(),(321txtxtxaaa4128ssT解：2cos42cos)()()()(4111nntxnTtnTxnxntnaaa)(2cos23cos46cos)()(14122nxnnntxnxantaa)(2cos25cos)(13n

7、xnnnxaa)()()(321nxnxnxaaa10)(6)(2)(:332211cacacatxtxtx最高頻率最高頻率最高頻率頻域1.14一個理想采樣系統，如圖T1-2所示，采樣頻率為 8s采樣后經理想低通 還原。)( jH4044/1)( jH今有兩輸入 問輸出信號 有沒有失真？為什么失真？,5cos)(,2cos)(21ttxttxaa)(),(21tytyaaT)( jH)(txa)(tya)( txacsacsatyty2)(4)(21因為采樣頻率有失真輸出信號因為采樣頻率無失真輸出信號解：1.18判斷下列系統的線性和時不變性。mmxnynxnynnxnynxny)()()4()

8、()() 3()6/7/2sin()()()2(3)(2)() 1 (2解: (1)線性:)()(3)(2)(23)()( 2)()(21212121nbynaynbxnaxnbxnaxnbxnaxT非線性時不變性：)(3)(2)(3)(2)()()(00000nnxTnnxnnynnxnnxTnynxT時不變系統。（2）線性:)()()672sin()()()()()672sin()()()672sin()()(2121212211nbynaynnbxnaxnbxnaxTnnxnynnxny線性系統時不變性：)()672sin()()()672sin()()()()(00000nnxTnnn

9、xnnynnnxnnxTnxTny時變系統（3）線性:)()()()(2)()()()()()(212122221222121nbynaynxnabxnxbnxanbxnaxnbxnaxT非線性時不變性：)()()()()()()()(02002002nnxTnnxnnynnxnnxTnxnxTny時不變系統（4）線性:)()()()()()()()()()(2121212211nbynaymbxmaxnbxnaxTmxnymxnymmm線性時不變性：)()()()()()()()()(000000nnxTmxnmxnnymxnmxnnxTnxTnymnmmm時不變系統1.19判斷下列各系統是

10、否為: ( 1) 穩定系統；(2)因果系統；(3)線性系統。并說明理由。bnaxnxTenxTnnxnxTkxnxTkxnxTngnxngnxTnxnnnnknnk)()()6()()5()()()4()()()3()()()2()();()()() 1 ()(0000有界這里解 : (1)線性 因果 穩定knkximlMnxnn)()()2(0非穩定時）非因果（線性Mnkxkxnnnnknnnnk000002)()()3(線性非因果穩定穩定系統時，非因果系統時，因果系統；當當線性00)4(00nn1.21討論一個輸入為x(n)和輸出為y(n)的系統，系統的輸入輸出關系由下列兩個性質確定： 1

11、)0()2()() 1()() 1 (ynxnayny試問：(1)判斷該系統是否為時不變的： (2)判斷該系統是否為線性的：(3)假設差粉方程保持不變，但規定y(0)植為零， ( 1)和(2)的答案是否改變?解：判斷線性時不變性可通過設輸入信號： 來檢驗；) 1()()(),1()(32nnnxnnx和),()(1nnx)() 1()(1)0(),()() 1 (1111nnaynyynnx)()(1nuanyn可得：) 1() 1()(1)0(),1()()2(2222nnaynyynnx)() 1()1 ()(12nnuaanyn可得：系統時變并結合時變性定義得：比較) 1()()2(),

12、1 (12nyny) 1()() 1()(1)0(),1()()()()()3(33213nnnaynyynnnxnxnx)1()()1()()(33nTnTnnTny：由情況非線性系統)()()(213nynyny)() 1()1 ()(13nnuaanyn可得：0)0(),() 1()()4(ynxanyny若差分方程不變：線性系統時變系統)()()() 1()(21312nynynynyny) 1()1()()() 1()1()()(0)()()(1312211nuannTnynuannxTnynnxTnynn則此時：1.34研究一個線性時不便系統，其脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別為

13、：（1)直接計算x(n)和h(n)的離散卷積，求輸出y(n).(2)把輸入和單位脈沖響應的Z變換相乘,計算乘積的Z反變換,求輸出y(n).000)(nnanhn解（1）直接卷積1011102110101)1 (111)()()()()()()(NmNNnmnNnnnmnmnNnmNmmnNmmaaaaaaaaaamnuamnhmnhmxnhnxny其他0101)(Nnnx（2）通過Z變換計算：1)1(111111100111111111)()()(11)(11)(aZZaZZaZZZaZZZHZYZZZzaZZaZHNNNNnnnnnaZ 11)()1() 1()(1111)(100)1(11

14、)1(111111NnaNnmanyNnuanuanuaaZZZaZZZaZZnyZNmmnnmmnNnnnN反變換得：1.35求以下序列x(n)的頻譜: )(jweX)()7()(sin)6()(cos)5()()4()() 3()2()() 1 (00)()00nRnnuwennuwenuenuennnNanannjwaan1)()() 1 (njwnjwene解：jwaajwajjwajnjwnannjwnanjweeeeeenuee111)()() 3(02)(1)(級數收斂0)0(0)()()()2(jwnmnmjwnjwnjweemennejwjNwjweee11)()7(1111

15、21)()(21)(sin)6()0()0(000wwjawwjajwnjwnjwananeejenueeejnunwe)0()0(000011211121)()(21)(cos)5(wwjawwjaajwnjwnjwananeeenueeenunwe)0(0)0()0(11)()4(jwjwaannjwjwanjwnnjwajweeeee1.38設x(n)的序列傅立葉變換為 試證明),(jweXdweXeXnxnxjwjwn)(*)(21)(*)(dweXeXdwenxeXdweeXnxnxnxjwjwjwnnjwjwnjwnn)()(21)()(21)(21)()(*)(證明：1.39已知

16、 的傅立葉變換如圖T1-5所示，對 進行等間隔采樣而得x(n),，采樣周期為0.25ms,，試畫出x(n)的傅立葉變換 的圖形。),(jweX )(txa)(txa-11af/kHz)( jfXa解：采樣周期T=0.25ms所以采樣頻率HzTfs40001Ta)(jweZ5 . 05 . 025 . 1wTa1.41已知 式中 以采樣頻率 對 進行采樣，得到采樣信號 和時蜮離散信號x(n).試完成下面各題： (1)寫出 的傅立葉變換表示式( 2)寫出 和x(n)的表達式。 (3)分別求出 的傅立葉變換和x(n)序列的傅立葉 變換。)(txa,1000Hzf Hzfs400),2cos(2)(0

17、tftxa)( txa)( txa)(txa)( txa).( jXa)()(2)(cos2)()() 1 (00000函數引入解：dteeedtetdtetxjtjtjtjtjtjsamsfTfnTnxnTtnTnTttxtxsnnaa5 . 212002)cos(2)()()cos(2)()()()2(00005 . 0)2()2(2cos2)()(8002)()(2)()()3(0000000TwkwwkwwenwenxefkkTjkjjknjwnnjwnjwsskssksaa式中：1.44一種用以濾除躁聲的簡單數據處理方法是移動平均。當接收到輸入數據x(n)后，就將本次輸入數據與其前3

18、次的輸入數據（共4個數據）進行平均。求該數據處理系統的頻率響應。解：該數據處理系統：y(n)=(1/4)x(n)+x(n-1)+x(n-2)+x(n-3)2sin2sin41)(41)()()(41)()()(2332321wweeeHeZHeHZZHZZXZYZHZwjwjwjjwjweZjw頻率響應變換通過1.45描述某線性時不變離散系統的差分方程為 設輸入連續信號的角頻率為 ，取樣周期為T；已知 輸入取樣序列 試求該系統的 穩態響應y(n).) 1(2)()2(81) 1(41)(nxnxnynyny).sin(2)(Tnnx解：兩邊取Z變換得：)()(1)(1 26sin2sin2)(

19、8141121)(8141121)()()(6666662211jnjjnjnjnjwjjwjwjweHeeHejnyjeenTnnxeeeeHzzzZXZYZH系統輸出：系統輸入：1.46設 是如圖T1-6所示的x(n)信號的傅立葉變換，不必求出 ，試完成下列計算：)(jweX)(jweXdwdwedXdweXdweXeXjwjwjwjw22)()4()()3()()2()() 1 (01232-4 -3-2-1456-1-2-11111178n由性質可得：316)(2)()4(28)(2)()3(4)0(2)()2(6)()()() 1 (2222730njwnjwjwmnjnjnxdwd

20、wedZnxdweZxdweZnxnxeZ1.50試作出圖T1-9所示諧振器的差分方程，系統函數 零極點圖，單位脈沖響應以及頻響。試問該系統是IIR還是FIR系統？是遞歸還是非遞歸結構？),1zH （X(n)Y(n)ab-11z1z1zNjNjezezzwzwzzbzazZXZYZHnynbynaxnxny222120101211cos21cos111)()()()2() 1() 1()()(極點：系統為一諧振器，則：解：)()2cos()(2cos12cos1)(2cos0221nunNnhIIReeNeNeHNzzwjjwjwjw系統，遞歸結構系統為和零點：1.58一個線性時不變系統的單位

21、脈沖響應是 試求這個系統對復指數 的響應。)()31()(nunhn)4/exp()(jnnx4440444003111)31()()()()()31()()()31()(jnjmjmmnjjnjjwjwnnnjwneeeeeHeeHnxnyeeHnunh解：2.3用封閉形式表達以下有限長序列的DFTx(n).)()()4()(sin)()3()(cos)()2()()() 1 (000nnRnxnnRwnxnnRwnxnRenxNNNNnjw) 1( , 1 , 011)(21)2sin(2)2sin(11)()() 1 ()20(010021)20()20()20(10)20(210011

22、NkeekXkNwNkNweeeeeenxDFTkXkNwjNjwNkNwjkNwjNkNwjNnnkNwjknNjNnnjw或：解：)()(21)()()(11112121cos)()2(11212)20(0)20(0102001002kNXkXkXnxRnxDFTeeeeeeewnwkXekNwjNjwkNwjNjwNnknNjnjwnjwNnknN的共軛對稱性求解解法二：由解法一，直接求借解：)20(0)20(03111121)()3(kNwjNjwkNwjNjweeeejkX解：) 1( , 2 , 1102) 1()(01)() 1(1) 1() 1()()() 1(20)() 1(

23、20)(02) 1()(0)()()()4(1011)1(232)1(2101044NkwNkNNkXkwNkXNNwNwNwwwkXwkXwNwwkXwwNwwkXkNNnkXkwnkXnRnnxkNkNNnknNNnknNkNNkNkNkNNkNkNkNkNkNNkNkNNkNnknNN即：時：時：2.5若已知若已知DFTx(n)=X(k)，求：，求：)2sin()()2cos()(mnNnxDFTmnNnxDFT0mNNNNnnmkNjNnnmkNjNnknNjmkXmkXenxenxemnNnxmnNnxDFT)(21)(21)(21)(21)2cos()()2cos()(10)(21

24、0)(2102解：2.6已知序列X(k)是x(n)的6點DFT.（1）若有限長序列y(n)的6點DFT是 求y(n).（2）若有限長序列w(n)的6點DFT等于X(k)的實部，W(k)=ReX(k),求w(n).（3 ）若有限長序列g(n)的3點DFT滿足Q(k)=X(2k)，k=0,1,2.求q(n).),3()2(2) 1(3)(4)(nnnnnx),()(46kXWkYk2,6知識點：知識點：DFT的性質的性質（1）圓周移位：）圓周移位：)5(3)4(4) 1()(2)()4()()()(6646nnnnnRnxnykXWkYk（2）共軛對稱性：）共軛對稱性：)5(23)4()3()2(

25、) 1(23)(4)6()(21)()(21)()()(Re)(nnnnnnnxnxnNxnxnXnwkXkWep)2(2) 1(3)(5)(03 , 0131)3()()(31)(31)2(31)(2 , 1 , 0),2()()3(20)(325020)(32205032262203nnnnqelsemnenxnxemxeemxWkXnqkkXkQkmnkjmkmnkjkmkmjkmjkkn因為：2,11已知復有限長序列f(n)是有兩個實有限長序x(n),y(n)組成f(n)=x(n)+y(n),且DFTf(n)=F(k),求X(k),Y(k)以及x(n),y(n).jNkFbwbawak

26、FkNNkNN1)()2(1111)() 1 (解：由DFT的共軛對稱性：)()()()()()(0kFkYnjykFkXnxpepkNNopkNNepbwbkNFkFjkjFkYawakNFkFkFkX11)()(21)()(11)()(21)()() 1 (101010)(10101010 ,11111)(1)(NkNmNknmkNmknNkmNNmmknNNkkNNNkknNNnWNaWWaNWawaNWkXNnx10,)(10,)(, 0, 1110)(NnbnyNnanxnmnmWNnnNknmkN同理：)(1)()(1)()()(21)(111 21)()(21)(1)()2(10

27、10nNWNNnynWNnxNkNFkFjkYjNjNkNFkFkXjNkFNkknNNkknN2.13若 和 都是長度為N點的序列， 和 分別是兩個序列的N點DFT。試證明：)(1nx)(2kX)(2nx)(1kX10211021)()(1)()(NnNnkXkXNnxnx解：用帕斯維爾定理證明2.14圖T2-2所示為5點序列x(n), （1）計算x(n)與x(n)的線性卷積。（2）計算x(n)與x(n)的5點圓周卷積。 （3）計算x(n)與x(n)的10點圓周卷積。 （4）為了使N點的x(n)與x(n)圓周卷積可以表示其線性卷積，最小的N值為多少？解： （略）2.17 是長度為N點的序列，

28、 是其序列的N點DFT。試證明：)(1nx10211021)(1)(NnNnkXNnx)(1kX證明（略）2.19長度為N的序列x(n)的N點離散傅立葉變換為X(k).（1）證明：若x(n)為奇對稱，即x(n)=-x(N-1-n),則X(0)=0.（2）證明：若x(n)為偶對稱，即x(n)=x(N-1-n),則X(N/2)=0.解： （1）證明：若x(n)=-x(N-1-n)為奇數為偶數NNxnxnxNnNxnxnxnxnxXNNnNnNnNnNNnNnNn1121121012012012120100)21()()()1()()()()()0(0)1()()1()()()()()2/(120)

29、1(212021202122120210NnnjnjnNNNNnnNNNnnNNNNnnNNNnnNNNnenNxenxWnNxWnxWnxWnxWnxNX2.20序列 的傅立葉變換為 已知一有限長序列y(n)除了 外均有y(n)=0,其10點離散傅立葉變換等于 在其主周期內等間隔的10點取樣值。試求y(n).)()2/1 ()(nunxn),(jweX90 n)(jweX)()21(10231024)(2111)21()()21()21()()()21()()()()()(02nRnRnRnRrNnunRrNnxnyeXkYNnNNnrNrNnrNrNnrNkNwjw由頻域采樣定理：解：2.

30、21已知序列 今對其Z變換為X(z)在單位圓上N等分采樣，采樣值為 求有限長序列IDFTX(k)., 10),()(anuanxnkNWzzXkX)()(解： 由頻域采樣定理：)()(nxkXIDFTNNnNNnrNrNnrNrNnnxrNNaanRaanRaanRanRrNnxnx1)(11)()()()()()(00)()(的右邊序列2.22令x(n)表示Z變換為X(z)的無限時寬序列，而 表示長度為N的有限時寬序列，其N點離散傅立葉變換用 表示。如果X(z)和 有如下關系： 式中 試求x(n)和 之間的關系。)(1nx1, 2 , 1 , 0)()(1NkzXkXkNWz.2NjNeW)

31、(1nx)(1kX)(1kX解：頻域采樣定理rNNnRrNnxnRnxnx)()()()()(112.23已知x(n)是長為N的有限長序列，X(k)=DFTx(n),現將長度擴大r倍，得長度為rN的有限長序列y(n). 試求DFTy(n)與X(k)的關系。1010)()(rNnNNnnxny) 10)()()()()(101010rNkrkXWnxWnxWnykYrkNnnrkNNnknrNrNnknrN（解：整數時當2.24已知x(n)是長為N的有限長序列，X(k)=DFTx(n),現將x(n)的每二點補進r-1個零值,得到一個長度rN 的有限長序列y(n). 試求DFTy(n)與X(k)的

32、關系。elseNiirnrnxny01, 1 , 0,)/()()1( , 1 , 0(1010)()()()(rNkNNirnkNrNnknrNkXWixWnynyDFT解：2.25頻譜分析的模擬信號以8kHz被采樣，計算了512個采樣的DFT。試確定頻譜采樣之間的頻率間隔，并予以證明。 解：5128000512,8NffNKHzfss2.26有一調幅信號 用DFT做頻譜分析，要求能分辨 的所有頻率分 量，問： （1）抽樣頻率應為多少赫茲(Hz)? （2）抽樣時間間隔應為多少秒(s)？ （ 3）抽樣點數應為多少點？ （ 4）若用 頻率抽樣，抽樣數據為512點，做 頻譜分析，求X(k)=DFT

33、x(n),512點，并粗略畫出X(k)的幅頻特性 標出主要點的坐標值。)6002cos()1002cos(1 )(tttxa)(txakHzfs3, )(kXHzfHzfHzftxttttttxaa500,700,600)()5002cos(21)7002cos(21)6002cos()6002cos()1002cos(1 )(321含有三個頻率分量：解：點即：141001400)3()(140011)2(14002) 1 (100,700FfNsfTHzffHzFHzfsscsc第三章答案3.1如果一臺通用計算機的速度為平均每臺復乘需100us，每次復加需20us，今用來計算N=1024點的DFTx(n)，問用直接運算需要多少時間，用FFT運算需要多少時？：照這樣計算，FFT進行快速卷積對信號處理時，估計可以實現實時處理的信號最高頻率？解： N=1024=(1)直接計算:(2)FFT計算：(3)快速卷積：)(80864.125) 1(102010100626sNNNTD)(7168. 0log1020log2101002626sNNNNTF要計算一次N點FFT（考慮已計算好存入內存），