1、2.2.必備結論必備結論 教材提煉記一記教材提煉記一記(1)(1)三角形的內角和定理三角形的內角和定理: :在在ABCABC中中,A+B+C=_,A+B+C=_,其變式有其變式有: :A+B=_, =_A+B=_, =_等等. .(2)(2)三角形中的三角函數關系三角形中的三角函數關系:sin(A+B)=_;:sin(A+B)=_;cos(A+B)=_;cos(A+B)=_;sin =_;sin =_;cos =_.cos =_.-C-CA B2C22sinCsinC-cosC-cosCA B2A B2Ccos 2Csin 2abc=2RsinAsinBsinC正正弦弦定定理理：公式變形式：公

2、式變形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCa=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinCabcsinA=, sinB= sinC=2R2R2R，a:b:c=sinA:sinB:sinCa:b:c=sinA:sinB:sinCa+b+cabc= 2sinA+sinB+sinCsinAsinBsinCR11ABCA:B:C=1:2:3,a:b:c=_ 、在在中中，若若那那么么(1),sinsinABCABabAB中3.利用正弦定理可以實現邊角互化利用正弦定理可以實現邊角互化1、在、在 中，若中，若sinA:sinB:sinC=4:5:6,且且a+b+c=15，則，則a=

3、，b= ，c= 。 ABC(1)若A為直角或鈍角時: ab一解ab 無解思考：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角思考：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角, 解的個數。解的個數。baba已知邊已知邊a,b和角，求其他邊和角和角，求其他邊和角absinA無解無解a=bsinA一解一解bsinAa2 B.x2 B.x2C.2x2 D.2x2 C.2x2 D.2x2x2且且xsin 45xsin 4522，所以所以2x2 .2x2 .2322 2.(2014.(2014綿陽模擬綿陽模擬) )在銳角在銳角ABCABC中，角中，角A A，B B所對的邊所對的邊分別為分別為a,ba,b，若，若2

4、asin B= b2asin B= b，則角，則角A=A= . .【解析】【解析】由正弦定理得由正弦定理得2sin A2sin Asin B= sin B,sin B= sin B,又又sin B0,sin B0,故故sin A= ,sin A= ,又又0 0A A9090，所以，所以A=60A=60. .答案：答案：6060 3332Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：推論：三角形面積公式：三角形面積公式：CabBcaAbcSABCsin21sin21sin21 22

5、22cosbcaacB解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或提煉：設提煉：設a是最長的邊是最長的邊，則，則ABC是鈍角三角形是鈍角三角形222cbaABC是銳角三角形是銳角三角形222cbaABC是直角三角形是直角三角形222cba3 3. .在在ABCABC中，中，a a1515，b b1010，A A6060，則，則cos cos B B等于等于( )( )【解析】【解析】選選D.D.因為因為 所以所以所以所以sin Bsin B又因為又因為a ab b，A A6060，所以，所以B B6060，所以所以cos Bcos B2

6、 22 266A B. C D.3333absin Asin B，1510sin 60sin B，233.323261 sin B.3在銳角在銳角ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分別是三個內角分別是三個內角A,B,CA,B,C的對邊，的對邊，A=2B”,A=2B”,試求試求 的取值范圍的取值范圍. .ab【解析】【解析】由正弦定理得由正弦定理得因為因為ABCABC是銳角三角形，是銳角三角形，所以所以所以所以即即 ，所以，所以所以所以 即即 的取值范圍是的取值范圍是asin Asin 2B2cos B,bsin Bsin BA0,B0,A B222 （）， （），且，2B0,3B22（）

7、 且，B6423cos B2 2cos B322，a23b，2, 3 .考點考點2 2 余弦定理的應用余弦定理的應用【典例【典例2 2】(1)(2014(1)(2014青島模擬青島模擬) ) 已知銳角三角形的邊長分別已知銳角三角形的邊長分別為為1 1，3 3，a a，則，則a a的取值范圍是的取值范圍是( )( )A.8A.8a10 B.2 a10 B.2 a a C.2 C.2 a a10 D. 10 D. a a8 8(2)(2013(2)(2013安徽高考安徽高考) )設設ABCABC的內角的內角A,B,CA,B,C所對邊的長分別為所對邊的長分別為a,b,c.a,b,c.若若b+c=2a

8、,3sin A=5sin B,b+c=2a,3sin A=5sin B,則角則角C=( )C=( )2210235A. B. C. D. 3346【規范解答】【規范解答】(1)(1)選選B.B.若若a a是最大邊，則是最大邊，則所以所以3 3a a ；若若3 3是最大邊，則是最大邊，則所以所以2 a32 a3；當當a=3a=3時符合題意，綜上時符合題意，綜上2 2 a a ，故選，故選B.B.2221 3 a13a ,a 3, 102221 a 31a31 a 3, 2102( (2)2)選選B.B.由題設條件可得由題設條件可得 由余弦定理，得由余弦定理，得所以所以b c 2a,3a 5b,

9、5ab,37cb,3222222257bbbabc133cos C52ab22b3（）（），2C.33 3.(2014.(2014廈門模擬廈門模擬) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所對的邊分別所對的邊分別為為a,b,ca,b,c，若，若acos B+bcos A=csin C,bacos B+bcos A=csin C,b2 2+c+c2 2-a-a2 2= bc= bc，則，則角角B=B= . .【解析】【解析】由由b b2 2+c+c2 2-a-a2 2= bc= bc，得，得 所以所以A=30A=30. .由正弦定理得由正弦定理得sin Acos B+sin Bco

10、s A=sin Acos B+sin Bcos A=sin Csin Csin Csin C，即，即sin(A+B)=sin Csin C=sin Csin(A+B)=sin Csin C=sin C，解得，解得sin C=1(sin C=0sin C=1(sin C=0舍去舍去) )，所以，所以C=90C=90，所以，所以B=60B=60. .答案：答案：6060 33222bca3bc3cos A2bc2bc2，1.(20141.(2014嘉興模擬嘉興模擬) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所對的邊所對的邊分別為滿足分別為滿足 (1)(1)求角求角C.C.(2)(2)求

11、求 的取值范圍的取值范圍. .a csin A sin B.bsin A sin Ca bc【解析】【解析】(1) (1) 化簡得化簡得a a2 2+b+b2 2-c-c2 2=ab=ab，所，所以以 (2) (2) 因為因為AA（0 0， ），所以），所以所以所以 故故 的取值范圍為的取值范圍為(1,2(1,2. .a csin A sin Ba bbsin A sin Ca c，222abc1cos C,C.2ab23a bsin A sin B22sin A sin(A)csin C332sin(A),6235A( ,)66 6 ，1sin(A) ( ,1.62a bc【規范解答規范解答

12、5 5】正、余弦定理在三角形中的應用正、余弦定理在三角形中的應用【典例】【典例】(12(12分分)(2013)(2013江西高考江西高考) )在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所對所對的邊分別為的邊分別為a a，b b，c c，已知，已知cos C+(cos A- sin A)cos B=0.cos C+(cos A- sin A)cos B=0.(1)(1)求角求角B B的大小的大小. .(2)(2)若若a+c=1a+c=1，求，求b b的取值范圍的取值范圍. .3【解題】【解題】規范步驟規范步驟, ,水到渠成水到渠成(1)(1)在在ABCABC中，因為中，因為A AB BC

13、 C，所以所以-cos(A+B)+cos Acos B-cos(A+B)+cos Acos B- sin Acos B=0 sin Acos B=0，2 2分分即即sin Asin B- sin Acos B=0,sin Asin B- sin Acos B=0,因為因為sin A0sin A0，所以，所以sin B- cos B=0, sin B- cos B=0, 4 4分分cos B0cos B0，所以，所以tan B= ,tan B= ,又又0 0B B，所以所以B B . . 6 6分分33333(2)(2)由余弦定理，有由余弦定理，有b b2 2=a=a2 2+c+c2 2-2ac

14、cos B-2accos B，因為因為a+c=1,cos B= a+c=1,cos B= ，所以，所以c=1-ac=1-a，代入上式整理得，代入上式整理得 9 9分分 又因為又因為c=1-ac=1-a，由，由0 0c c1 1得得0a10a1, ,所以所以 bb2 21 1，即，即 bb1.1.綜上，綜上，b b的取值范圍是的取值范圍是 ，1)1). . 1212分分122211b3(a)24，141212【典例【典例3 3】(1)(2013(1)(2013陜西高考陜西高考) )設設ABCABC的內角的內角A, B, CA, B, C所對的所對的邊分別為邊分別為a, b, c, a, b, c

15、, 若若bcos C+ccos B=asin A, bcos C+ccos B=asin A, 則則ABCABC的形狀的形狀為為( )( )A.A.直角三角形直角三角形 B.B.銳角三角形銳角三角形C.C.鈍角三角形鈍角三角形 D.D.不確定不確定(2)(2013(2)(2013山東高考山東高考) )ABCABC的內角的內角A,B,CA,B,C的對邊分別是的對邊分別是a,b,ca,b,c，若若B=2AB=2A，a=1a=1，b= b= ，則，則c=( )c=( )A.2 B.2 C. D.1A.2 B.2 C. D.1332【規范解答】【規范解答】(1)(1)選選A.A.因為因為bcos C+

16、ccos B=asin A,bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦所以由正弦定理得定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sinsin Bcos C+sin Ccos B=sin2 2A,A,所以所以sin(B+C)=sinsin(B+C)=sin2 2A,A,sin A=sinsin A=sin2 2A,sin A=1,A,sin A=1,即即A= A= ，所以三角形，所以三角形ABCABC是直角三角形是直角三角形. .(2)(2)選選B.B.由由B=2A,B=2A,則則sin B=sin 2Asin B=sin 2A，由正弦定理知，由正弦定理知即即 所以所以cos

17、A= cos A= ，所以，所以 所以所以C=C=B BA= A= ，所以，所以c c2 2=a=a2 2+b+b2 2=1+3=4=1+3=4，故故c=2.c=2.2ab,sin Asin B1333,sin Asin Bsin 2A2sin Acos A32AB 2A63，2命題角度命題角度2:2:判斷三角形的形狀判斷三角形的形狀【典例【典例4 4】(2013(2013陜西高考改編陜西高考改編) )設設ABCABC的內角的內角A,B,CA,B,C所對的邊所對的邊分別為分別為a,b,c,a,b,c,若若bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,且且sinsin2

18、 2B=sinB=sin2 2C,C,則則ABCABC的形的形狀為狀為( () )A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.銳角三角形銳角三角形C.C.直角三角形直角三角形 D.D.等腰直角三角形等腰直角三角形【解題提示】【解題提示】由正弦定理對題中的兩個等式分別變形判斷由正弦定理對題中的兩個等式分別變形判斷. .【規范解答】【規范解答】選選D.D.因為因為bcosC+ccosB=asinA,bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sinsinBcosC+sinCcosB=sin2 2A,A,所以所以sin(B+C)=sinsin(B

19、+C)=sin2 2A,sinA=sinA,sinA=sin2 2A,A,sinA=1,sinA=1,即即A= ,A= ,又因為又因為sinsin2 2B=sinB=sin2 2C,C,所以由正弦定理得所以由正弦定理得b b2 2=c=c2 2, ,即即b=c,b=c,故故ABCABC為等腰直角三角形為等腰直角三角形. .2課堂互動講練課堂互動講練(本題滿分 12 分)(2009 年高考湖北卷)在銳角ABC 中， a、 b、 c 分別為角 A、B、C 所對的邊，且3a2csinA.(1)確定角 C 的大小；(2)若c 7， 且ABC的面積為3 32，求 ab 的值課堂互動講練課堂互動講練解：(

20、1)由3a2csinA 及正弦定理得，ac2sinA3sinAsinC.2 分sinA0，sinC32.4 分ABC 是銳角三角形，C3.6 分課堂互動講練課堂互動講練(2)法一：c 7，C3.由面積公式得12absin33 32，即 ab6.8 分由余弦定理得a2b22abcos37，即 a2b2ab7.10 分由變形得(ab)23ab7.將代入得(ab)225，故 ab5.12 分課堂互動講練課堂互動講練(1)若若ABC的面積等于的面積等于 ，求，求a，b；(2)若若sinCsin(BA)2sin2A，求求ABC的面積的面積【思路點撥思路點撥】利用余弦定理和三角形面積公式利用余弦定理和三角

21、形面積公式列方程組解方程組得列方程組解方程組得a，b誘導公式、誘導公式、和差角的正弦公式、倍角公式用正弦和差角的正弦公式、倍角公式用正弦定理將角化邊列方程組求定理將角化邊列方程組求a，b，進而，進而求三角形面積求三角形面積課堂互動講練課堂互動講練3課堂互動講練課堂互動講練【解】(1)由余弦定理及已知條件，得 a2b2ab4，又因為ABC 的面積等于 3， 所以12absinC 3，得 ab4.2 分聯立方程組a2b2ab4，ab4，解得a2，b2.4 分課堂互動講練課堂互動講練(2)由題意得 sin(BA)sin(BA)4sinAcosA，即 sinBcosA2sinAcosA.當 cosA0

22、 時，A2，B6，a4 33，b2 33.6 分所以ABC 的面積S12absinC122 334 33322 33；8 分課堂互動講練課堂互動講練當 cosA0 時，得 sinB2sinA，由正弦定理得 b2a，聯立方程組a2b2ab4，b2a，解得a2 33，b4 33.10 分【典例【典例3 3】(2015(2015臺州模擬臺州模擬) )在在ABCABC中中, ,三內角三內角A,B,CA,B,C所對的邊分別為所對的邊分別為a,b,c,a,b,c,已知已知sinC=2sin(B+C)cosB.sinC=2sin(B+C)cosB.(1)(1)判斷判斷ABCABC的形狀的形狀. .(2)(2)設向量設向量m=(a+c,b),