1、全等三角形證明經(jīng)典50題（含答案）1.已知：AB=4,AC=2,D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求AD延長(zhǎng)AD至ijE,使DE=AD,則三角形ADC全等于三角形EBD即BE=AC=2在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+24<AD<6又AD是整數(shù)，則AD=51-2 .已知：D是AB中點(diǎn)，ZACB=90,求證：CD=AB23 .已知：BC=DE,/B=/E,/C=/D,F是CD中點(diǎn)，求證：/1=/2證明：連接BF和EF。因?yàn)锽C=ED,CF=DF,/BCF=/EDF。所區(qū)角形BCF全等于三角形EDF（邊角邊）。所以BF=EF,/C

2、BF=/DEF。迦E。在三角形BEF中,BF=EF。所以/EBF=/BEF。又因?yàn)?ABC=/AED所以/ABE=/AEB所以AB=AE。在角形ABF和角形AEF中，AB=AE,BF=EF,/ABF=/ABE+/EBF=/AEB+/BEF=N碓F三角形ABF和三角形AEF全等。所以/BAF=/EAF(/1=/2)。4.已知：/1=/2,CD=DE,EF/AB,求證：EF=AC證明：過(guò)E點(diǎn)，作EG/AC，交AD延長(zhǎng)線于G則/DEG=/DCA,CD=DE，/ADdGDE(AAS)/DGE=/2又BEG=AC/EF/AB/DFE=/1/1=/2，/DFE=/DGE-.EF=EGEF=AC5.已知：A

3、D平分/BAC,AC=AB+BD,求證：/B=2/CAC上截取AE=AB,連接ED：AD平分/BAC-.ZEAD=ZBAD又AE=AB,AD=ADAEDEASAS)/AED=/B,DE=DBAC=AB+BDAC=AE+CE，CE=DE，/C=/EDC-/AED=/C+/EDC=2/C，/B=2ZC6.已知：AC平分/BAD,CE±AB,ZB+ZD=180°,求證：AE=AD+BE證明：在AE上取F,使EF=EB,連接CF因?yàn)镃ELAB所以/CEB=ZCEF=喇EB=EF,CE=CE,所以4CEBA婀/B=ZCFE/ZB+ZD=180°,ZCFE+/CFAW180D

4、=/CFOAC平分/BAD所以/DAC=ZFAC0為AC=AC所以ADCAASAS。所以AD=AF所以AE=AF+FE=AD+BE12 .如圖，四邊形ABCD中，AB/DC,BE、CE分別平分/ABC、/BCD,且點(diǎn)E在AD上。求證：BC=AB+DC證明：在BC上截取BF=BA,連接EF.ZABE=/FBE,BE=BE,貝U力ABE/BE(SAS),/EFB=ABAf行于CD,則:ZA+ZD=180°又/EFB+/EFC=180°,貝U/EFC=ZD;又/FCE=/DCE,CE=CE,故力FCEQCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.AB/ED,A

5、E/BD推出AE=BD,又有AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB,13 .已知：AB/ED,ZEAB=ZBDE,AF=CD,EF=BC,求證：/F=/CCACADB減等量）所以：15.P是/BAC平分線腕嚷三角形所以：角B二角C.AD上一點(diǎn),作B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B因?yàn)樯希ㄔ贏C中間，因?yàn)锳B較短）因?yàn)锽'C=AC-AB'=AC-AB,所以PC-PB<AC-ABAC>AB,求證：PC-PB<AC-ABAD是角BAC的平分線，B'在線段PC<PB'+B'C,PGPB'<B'C,而所以：/C=/

6、F14.已知：AB=CD,ZA=ZD,求證：/B=ZC證明：設(shè)線段AB,CD所在的直線交于巳（當(dāng)AD<BC時(shí)，E點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn)，當(dāng)AD>BC時(shí)，E點(diǎn)是射線AB,DC的交點(diǎn)）。則：AED等腰三角形。所以：AE=DE而AB=CD所以：BE=CE（等量加等量,求證：AC-AB=2BE16 .已知/ABC=3ZC,/1=/2,BEXAE,/BAC=180-(/ABC+ZC=1804ZC/1=/BAC/2=9O2/C/ABE=90-Z1=2ZC延長(zhǎng)BE交AC于F因?yàn)椋?1=/2,BEXAE所以，A曲等腰三角形AB=AF,BF=2BE/FBC=/ABCABE=3ZG2ZC=/BF=C

7、FAC-AB=AC-AF=CF=BF=2BE17 .已知，E是AB中點(diǎn)，AF=BD,BD=5,AC=7,求DC作AG/BD交DE延長(zhǎng)線于GAGE全等BDEAG=BD=5AGFsCDFAF=AG=5所以DC=CF=218.（5分）如圖，在ABC中,BD=DC,/1=/2,求證：AD±BC.延長(zhǎng)AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/DBC=/角DCB;/1=/2;/DBC+Z1=/愈CB+/2;/ABC=ZACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形ACD;/BAD=ZCADAD是等腰三角形的頂角平分線所以:AD垂直BC19.（5分）如圖，OM平分/POQ,MA±OP,

8、MB±OQ,A>B為垂足，AB交OM于點(diǎn)N.求證：/OAB=/OBA因?yàn)锳OM與MOB都為直角三角形、共用所以MA=MB所以/MAB=ZMBA因?yàn)?OAM=ZOBM=90度OM,且/MOA=ZMOB所以/OAB=90/MAB/OBA=9O/MBA所以/OAB=/OBA20.（5分）如圖，已知AD/BC,/PAB的平分線與/CBA的平分線相交于E,CE的連線交AP于D.求證:AD+BC=AB.AB證明：做BE的延長(zhǎng)線，與AP相交于F點(diǎn)，:PA/BCPAB+ZCBA=180又，AE,BE均為/PAB/CBA勺角平分線EAB+/EBA=90°，/AEAB=弱直角三角形在三角

9、形CDBABF中，AE±BF,SEE為/FAB勺角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC中，/EBC=/DFEB觸EF,/DEF=/CEB,.三角JDEF與三角形BEC為全等三角形，DF=BC.AB=AF=AD+DF=AD+BC21.（6分）如圖，ABC中，AD是/CAB的平分線，且AB=AC+CD,求證：/C=2ZB證明：在AB上找點(diǎn)E,使AE=ACAE=AC,/EAD=/CAD,AD=ADADEAADCDE=CD,/AED=/CAB=AC+CDDE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B=/EDBZC=/B+/EDB=2ZB22. (6

10、分)如圖，E、F分別為線段AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DELAC于E,BF±AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于點(diǎn)M.(1)求證：MB=MD,ME=MF(2)當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：通過(guò)證明兩個(gè)直角三角形全等，即RtDECRtIB網(wǎng)線的性質(zhì)得出四邊形BEDF是平行四邊形.再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論.解答：解：(1)連接BE,DF.DELAgE,BF，AC于F,./DEC=/BFA=90°,DE/BF他EC口RtBFA3,AF=CEAB=CD,RtDECRtBFA,DE=BF.BEDF

11、琥平行四邊形.，MB=MD,ME=MF;(2)連接BE,DF.-DE±ACFE,BF±ACFF,/DEC=/BFA=90°,DE/RtFADEC口RtBFA,AF=CE,AB=CD,RtDECRtBFA,DE=BF.BEDF臊平行四邊形.，MB=MME=MF23. (7分)已知：如圖，DC/AB,且DC=AE,E為AB的中點(diǎn)，(1)求證：AEDzEBC.(2)觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除EBC外，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)與AED的面積相等的三角形.(直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求證明)：(1)DC/AE,且DC=AE,所以四邊形AECD是平行四邊形。于是知AD=EC,且/EAD=

12、ZBEC。EAE=BE,所以AEDAEBC。(2)AEC、ACD、ODR相等。24.(7分)如圖，ABC中，ZBAC=90度，AB=AC,BD是/ABC的平分線，BD求證：BD=2CE.AD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò)C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.證明：延長(zhǎng)BA、CE,兩線相交于點(diǎn)FBEXCE,./BEF=/BEC=90£°ABEFBEC中/FBE=/CBEBE=BE,/BEF=/BEC'.BEFABEC(ASAEF=ECCF=2CE./ABD+ZADB=90°,/ACF+/CDE=90/ADB=ZCDE，/ABD=ZACF在ABD和ACF中/ABD=/

13、ACF,AB=AC,/BAD=/CAF=90.ABDAACF（ASA）BD=CFBD=2CE25、（10分）如圖：DF=CEAD=BC/D=/Co求證：AENzBFQ26、（10分）如圖：AEBC交于點(diǎn)MF點(diǎn)在AM止,BE/QF,求證：AM是那BC的中線。證明：BE|CF-.ZE=ZCFM,/EBM=ZFCM-BE=CF.BEMACFMBE=CFBM=CM.1.AM>ABC勺中線.27、（10分）如圖：在ABC中，BA=BQD是AC的中點(diǎn)。求證:BD±AG三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們?nèi)?，所以角以都?0度，BD垂直AC它們的和是180度,BF=CF28、（1

14、0分）AB=ACDB=DCF是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。求證:證明：在A典AC砰AB=ACBD=DCAD=AD.ABDAACD-.ZADB=/ADC，/BDF=叢BD=DC/BDF=ZFDDF=DFFBDAFCD，BF=FC29、（12分）如圖：AB=CDAE=DFCE=FB求證：AF=DEFD計(jì)因?yàn)锳B=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE=三角形CDF為角DCB=角ABFAB=DCBF=CE三角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公園里有一條“Z"字形道路ABCD,如圖所示，其中AB/CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳F,M,且BE=CF

15、,M在BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明三只石凳E,F,M恰好AE證：:AB行CD（已知）B=ZC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）-.-MC在BC的中點(diǎn)（已知）在一條直線上.EM=FM（中點(diǎn)定義）在BM醫(yī)口CM沖BE=CF（已知）ZB=zC（已證）EM=FM（已證）.BMEfCMFSAS）EMB=ZFMC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）./EMF=/EMB+/BMF=/FMC+/BMF=/BMC=180°（等式的性質(zhì)）E,M,F在同一直線上31.已知：點(diǎn)A、F、EC在同一條直線上，AF=CE,BE/DF,BE=DF,求證：ABEACDF.證明：（新題）AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CF-BE/DF/BE

16、A=/DFC又BE=DF./ABEECBASO32.已知：如圖所示，AB=AD,BC=DC,E、F分別是DC、BC的中點(diǎn)，求證：AE=AF。連結(jié)BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等等得：HABC=HADC在結(jié)合已知條件證得：MDEABF腰兩底角相得AE=AF33.如圖，在四邊形ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，/1=/2,/3=/4,求證：/5=/6.因?yàn)榻?=角2/3=/新以角ADC=角ABC.又因?yàn)锳CAAS=>三角形ADC全等于三角形ABC.所以BC等于DC,4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以/5=Z6是公共邊，所以角3等于角34.已知AB/DE,BC正FD

17、,C在AF上，且AD=CF,求證:因?yàn)镈,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因?yàn)锳B平行DE,BC平彳TEF所以角A+角EDF,角BCA=角F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）然后SSA（角角邊）三角形全等35.已知：如圖，AB=AC,BD-L-AC,CE-1-AB,垂足分別為D、E,BD、CE相交于點(diǎn)F,求證：BE=CD.證明：因?yàn)锳B=AC,所以/BEC=ZCDB所以/EBC=ZDCB因?yàn)锽C=CB（公共邊）則有三角形DCB所以BE=CDBEBD±AC,CE±AB角形EBC全等于三36、如圖，在4ABC中，AD為/BAC的平分線，DEXAB于E,DFXAC于F。求證：DE=

18、DF.AAS證AADEADF37.已知：如圖，AC_LBC于C,DE-LAC于E,AD-LAB于A,BC=AE.若AB=5，求AD的長(zhǎng)？B角C=角E=90度角8二角EAD=90度-角BACBBC=AEabcjdaeAD=AB=538.如圖：AB=AC,MELAB,MFLAC,垂足分別為E、F,ME=MF。求證：MB=MC證明AB=AC.ABC等腰三角形B=ZC又ME=MF,BEMDCE娓直角三角形.BEM等于CEM.'.MB=MC39.如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：AD=BCAC=BDCE=DE/D=NC/DAB=NCBA.請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需

19、寫(xiě)出一種情況）,并加以證明.已知：求證：證明：已知1,2求證4因?yàn)锳D=BCAC=BDAB,在四邊形ADBC中，連AB所以ADB等于BC慚以角D二角C以4,5為條件，1為結(jié)論。即：在四邊形ABCD中，/D=/C,/A=/B,求證：AD=BC因?yàn)?A+/B+/C+/D=360/D=/C,/A=/B2()WA+ZD)=360°,/A+/D=180°,所以B/DC40.在ABC中，/ACB=90AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD，MN于D,BE-LMN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：AADCiCEB;DE=AD+BE;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置

20、時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由.(1)證明：ACB=90ACD+Z/BCE+/CBE=90°,CDADC=/CEB=90MBABCEAEDHM師于D,BEACD=ZCBE福DG口RtCEB3,/ADC=/CEBZEACD=/CBEAC=CB,RtADgRtAAS)(,AD=CE,DC=BE,DE=DC+CE=BE+AD;(2)不成立，證明:和ADCCEB3,/ADC=/CEB=90/ACD=ZCBEAC=CB,.ADAASCEB(AD=CE,DC=BEDE=CECD=AD-BE;41.如圖所示，已知AE±AB,AHAC,AE=ABAF=A

21、C求證：(1)EC=BF(2)EC±BF(1)證明；因?yàn)锳E垂直AC所以角CAF=角CAB+角BAF=90度所以角EAC=AE=ABAF=AC所以三角形EAC和三角形FAB全等所以垂直AB所以角EAB=角EAC+角CAB=90度因?yàn)锳F角BAF因?yàn)镋C=BF角ECA=角(2)(2)延長(zhǎng)FB與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G因?yàn)榻荅CA=角F(已證)所以角G=角CAF因?yàn)榻荂AF=90度所以EC垂直BF42.如圖：BEXAC,CFXAB,BM=AC,CN=AB。求證:(1)AM=AN;(2)AM±AN。證明：(1)BEXAC,CF±AB-'./ABM+ZBAC=90AC

22、N+ZBAC=90ABM=ZACN-BM=AC,CN=ABABMANAC，AM=AN(2)ABMANAC-.ZBAM=ZN1.ZN+ZBAN=90BAM+/BAN=90即/MAN=90AM±AN證明ABF等于DECSAS),43.如圖，已知/A=4D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證:BC/EF連接BF、CE,然后通過(guò)四邊形BCEF對(duì)邊相等的證得平行四邊形BCEF從而求得BC平行于EF44.如圖，已知AC/BD,EA、EB分別平分/CAB和/DBA,CD過(guò)點(diǎn)E,則AB與AC+BD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由在AB上取點(diǎn)N,使得AN=AC/CAE=/EAN,A的公共邊所以三角形CAE全等三角形EAN所以/ANE=/ACEAC平行BD所以/ACE+ZBDE=180/ANE+/ENB=180所以/ENB=ZBDE/NBE=ZBB的公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如圖，已知：AD是BC上的中線，且DF=DE,求證：BE/CF.求證：ABIICD.證明：AD是中線BD=CDDF=DE4BDE=/CDF/.A46、（10分）已知：如圖，AB=CD,DEXAC,BF±AC,E,F是垂足，DE=BF.BDEACDF，/BED=ZCFD-1.BE|證明：DELAC,BF±AC,./DEC=