1、必備知識 整合 關鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個欄目居中放；只有“考點”的書，只上”考點一“這種簡化標題 學科素養 提升 第五章第五章 平面向量與復數平面向量與復數第三節第三節平面向量的數量積及應用平面向量的數量積及應用必備知識 整合 關鍵能力 突破 學習要求學習要求:1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數量積與向量投影的關系.3.掌握數量積的坐標表達式,會進行平面向量數量積的運算.4.能運用數量積表示兩個向量的夾角,會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.必備知識 整合 關鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做

2、超鏈接，且各個欄目居中放；只有“考點”的書，只上”考點一“這種簡化標題 學科素養 提升 必備知識 整合 1.平面向量的數量積平面向量的數量積(1)向量a與b的夾角:已知兩個非零向量a,b,過O點作=a,=b,則AOB=(0180)叫做向量a與b的夾角.當=90時,a與b相互垂直,記作ab;當=0時,a與b共線且同向;當=180時,a與b共線且反向.OAOB必備知識 整合 關鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個欄目居中放；只有“考點”的書，只上”考點一“這種簡化標題 學科素養 提升 (2)向量數量積的定義:已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為,則稱|a|b|cos為向量a與b的數量積

3、(或內積),記作ab,即ab=|a|b|cos.OAOB(3)規定0a=0.(4)一個向量在另一個向量方向上的投影的數量:設是向量a與向量b的夾角,則|a|cos叫做向量a在向量b上的投影的數量,|b|cos叫做向量b在向量a上的投影的數量.(5)數量稱的幾何意義:兩個非零向量a、b的數量積ab等于a的長度|a|與b在a上的投影的數量|b|cos的乘積.必備知識 整合 關鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個欄目居中放；只有“考點”的書，只上”考點一“這種簡化標題 學科素養 提升 2.向量的數量積的性質向量的數量積的性質設a、b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角

4、,則(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)當a與b同向時,ab=|a|b|;當a與b反向時,ab=-|a|b|.特別地,aa=|a|2.(4)cos=.| |a bab必備知識 整合 關鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個欄目居中放；只有“考點”的書，只上”考點一“這種簡化標題 學科素養 提升 (5)|ab|a|b|.3.平面向量數量積的運算律平面向量數量積的運算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.必備知識 整合 關鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個欄目居中放；只有“考點”的書，只上”考點一

5、“這種簡化標題 學科素養 提升 4.平面向量數量積的坐標表示平面向量數量積的坐標表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),則aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),則|=,這就是平面內兩點間的距離公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b為非零向量,則abx1x2+y1y2=0.22xyAB222121()()xxyy必備知識 整合 關鍵能力 突破 欄目多的在上面加，做超鏈接，且各個欄目居中放；只有“考點”的書，只上”考點一“這種簡化標題 學科素養 提升 知識拓展知

6、識拓展1.向量a,b的夾角為銳角ab0且a,b不共線;向量a,b的夾角為鈍角ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab0且k.22必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 考點一平面向量數量積的運算考點一平面向量數量積的運算關鍵能力 突破 典例典例1(1)已知|a|=|b|=1,若向量a與b的夾角為45,則(a+2b)a=1+.(2)(2020天津,15,5分)如圖,在四邊形ABCD中,B=60,AB=3,BC=6,且=,=-,則實數的值為,若M,N是線段BC上的動點,且|=1,則的最小值為.2ADBCADAB3216MNDMDN132必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析(

7、1)因為|a|=|b|=1,向量a與b的夾角為45,所以(a+2b)a=a2+2ab=|a|2+2|a|b|cos45=1+.(2)以B為原點,BC所在直線為x軸,過B且垂直于BC的直線為y軸建立平面直角坐標系,如圖所示,2必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 則B(0,0),A,C(6,0),則=(6,0)=(6,0),=,=6+0=-9=-,=.=(1,0),D,不妨設M(x,0),N(x+1,0),且x0,5,=,=x-,-.=+=x2-4x+=(x-2)2+,當且僅當x=2時,取最小值.3 3 3,22ADBCAB33 3,22ADAB323 323216AD5 3 3,22

8、DM53 3,22xDN323 32DMDN52x32x23 32154274132DMDN132必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 名師點評名師點評平面向量數量積的三種運算方法(1)當已知向量的模和夾角時,可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos.(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.(3)對于數量積與線性運算的綜合問題,可先運用數量積的運算律,幾何意義等化簡,再進行運算.必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 1.在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且=-4,則的值

9、為.BDDCAEACABADAE311解析解析由=2得=+,所以=(-)=-+-,又=32cos60=3, =9,=4,所以=-3+-2=-5=-4,解得=.BDDCAD13AB23ACADAE1233ABACACAB13ABAC132AB232AC23ABACABAC2AB2ACADAE83113311必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 2.(2020上海交大附中期末)如圖,已知O為矩形ABCD內一點,且OA=2,OC=4,AC=5,則=-.OBOD52必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析以A為坐標原點,AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標系,如

10、圖所示,設O(m,n),B(a,0),D(0,b),則C(a,b),OA=2,OC=4,AC=5,22222225,4,()()16,abmnambn必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 整理可得am+bn=.又=(a-m,-n),=(-m,b-n),=m(m-a)+n(n-b)=m2+n2-(am+bn)=4-=-.132OBODOBOD13252必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 考點二平面向量數量積的性質及應用考點二平面向量數量積的性質及應用角度一平面向量的模角度一平面向量的模典例典例2(1)(2020課標理,14,5分)設a,b為單位向量,且|a+b|=1,則|a

11、-b|=.(2)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是DC上的動點,則|+3|的最小值為5.3PAPB必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析(1)由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2ab=1,而|a|=|b|=1,故ab=-,|a-b|=.(2)建立平面直角坐標系,如圖所示,則A(2,0),設P(0,y),C(0,b),則B(1,b),=(2,-y),=(1,b-y),所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),所以|+3|=(0yb),所以當y=b時,|+3|取得最小值5.122|ab22ab2a b1

12、1 1 3PAPBPAPBPAPB225(34 )by34PAPB必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 角度二平面向量的夾角角度二平面向量的夾角典例典例3(1)(2020課標理,6,5分)已知向量a,b滿足|a|=5,|b|=6,ab=-6,則cos=()A.-B.-C.D.(2)(2020浙江,17,4分)已知平面單位向量e1,e2,滿足|2e1-e2|.設a=e1+e2,b=3e1+e2,向量a,b的夾角為,則cos2的最小值是.313519351735193522829D必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析(1)由題意得cos=.故選D.(2)由題可知從而(

13、)| |aabaab222|2aa baaba b25652536 1219351212,3aeebee12,23,2baeabe1,231,23522baabba| 2,|3| 2,|35 | 2 2baabba必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 由可得代入可得a2,從而cos=2=2=22,所以cos2,故cos2的最小值為.22222224,964,253098,aa bbaa bbaa bb 2222,43,a baba 72|a ba b22|aa b|ab22|43|aa2143|a72928292829必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 角度三平面向量的垂

14、直問題角度三平面向量的垂直問題典例典例4(1)已知|=3,|=2,=m+n,若與的夾角為60,且,則實數的值為()A.B.C.6D.4(2)(2020課標,13,5分)已知單位向量a,b的夾角為45,ka-b與a垂直,則k=.OAOBOCOAOBOAOBOCABmn161422A必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析(1)|=3,|=2,=m+n,與的夾角為60,=32cos60=3,=(-)(m+n)=(m-n)-m+n=3(m-n)-9m+4n=-6m+n=0,=,故選A.(2)因為(ka-b)a=ka2-ab=0,且單位向量a,b的夾角為45,所以k-=0,即k=.OA

15、OBOCOAOBOAOBOAOBABOCOBOAOAOBOAOB2OA2OBmn162222必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 名師點評名師點評1.求平面向量的模的方法(1)公式法:利用|a|=及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的運算轉化為數量積運算;(2)幾何法:利用向量的幾何意義,即利用向量線性運算的平行四邊形法則或三角形法則作出所求向量,再利用余弦定理等方法求解.a a必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 2.求平面向量的模的最值(取值范圍)的方法(1)代數法:把所求的向量的模表示成關于某個變量的函數,再用求最值的方法求解;(2)幾何法(數形結合法)

16、:弄清所求的向量的模表示的幾何意義,結合動點表示的圖形求解.必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 3.求平面向量的夾角的方法(1)定義法:由平面向量數量積的定義可知,cos=,其中兩個向量的夾角的范圍為0,求解時應求出ab,|a|,|b|的值或找出這三個量之間的關系;(2)坐標法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cos=.|a ba b121222221122x xy yxyxy4.兩個向量垂直的充要條件abab=0|a-b|=|a+b|(其中a0,b0).必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 1.(多選題)(2020青島高三檢測)ABC是邊長為2的等邊三角形,

17、已知向量a、b滿足=a,=a+b,則下列結論正確的是()A.|b|=2B.abC.ab=2D.(2a+b)ABACBCAD必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析因為=a,=a+b,所以=-=a+b-a=b,因為ABC是邊長為2的等邊三角形,所以|b|=|=2,A正確;因為=a,=b,所以向量a,b之間的夾角為120,B錯誤;ab=|a|b|cos120=22=-2,C錯誤;因為(2a+b)=(2a+b)b=2ab+b2=2(-2)+22=0,所以(2a+b),D正確,故選AD.ABACBCACABBCABBC12BCBC必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 2.(2

18、020課標文,14,5分)設向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,則m=5.解析解析由ab得ab=0,即m+1-(2m-4)=0,解得m=5.必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 3.已知平面向量a,b的夾角為,且|a|=,|b|=2,在ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D為BC的中點,則|=2.63ABACAD解析解析因為=(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以=4(a-b)2=4(a2-2ab+b2)=4=4,則|=2.AD12ABAC122AD3232 cos46 AD必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 考點三平面向量與三角函數的

19、綜合應用考點三平面向量與三角函數的綜合應用典例典例5 (2019連云港二模)已知向量a=(1,cos2x-sin2x),b=(-1,f(x),且ab.(1)將f(x)表示成關于x的函數,并求f(x)的單調遞增區間;(2)若f()=,求cos2的值.36532必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析(1)向量a=(1,cos2x-sin2x),b=(-1,f(x),且ab,f(x)+(cos2x-sin2x)=0,即f(x)=-cos2x+sin2x=2sin.令2k-2x-2k+,kZ,解得k-xk+,kZ,故函數f(x)的單調遞增區間為k-,k+,kZ.(2)若f()=,即f

20、()=2sin=,33326x2626363652665必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 則sin=.,2-,cos=-=-,cos2=cos=coscos-sinsin=-=-.2635,3 2 65,262621 sin2645266266266453235124 3310必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 名師點評名師點評平面向量與三角函數的綜合問題的解題思路(1)當題中給出的向量坐標中含有三角函數的形式時,先運用向量共線、垂直或等式成立等條件,得到含有三角函數的關系式,然后求解.(2)當給出用三角函數表示的向量坐標,求向量的?；蛳蛄康钠渌磉_式時,其解題思路是

21、先通過向量坐標的運算,再利用三角函數的性質求其值域.必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應的x的值.3必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析(1)因為a=(cosx,sinx),b=(3,-),ab,所以-cosx=3sinx.若cosx=0,則sinx=0,與sin2x+cos2x=1矛盾,故cosx0,所以tanx=-.又x0,所以x=.(2)f(x)=ab=(cosx,sinx)(3,-)=3cosx-sinx=2cos

22、.因為x0,所以x+,從而-1cos,所以當x+=,即x=0時,f(x)取得最大值3;當x+=,即x=時,f(x)取得最小3333563336x67,666x3266656值-2.3必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 微微專題專題數量積在平面幾何中的應用數量積在平面幾何中的應用1.利用平面向量的數量積可以解決很多平面幾何問題,如平面幾何中的夾角問題可以轉化為向量的夾角問題,平面幾何中的垂直問題可以轉化為向量的垂直問題等.2.用向量方法解決平面幾何問題的步驟:平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.學科素養 提升 必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 (1)在ABC中

23、,已知=0,且=,則ABC為()A.等邊三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.三邊均不相等的三角形(2)在平行四邊形ABCD中,AD=1,BAD=60,E為CD的中點,若=1,則AB|ABACABACBC|ABAB|ACAC12ACBE=.12A必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 解析解析(1),分別為平行于,的單位向量,由平行四邊形法則可知向量+所在的直線為BAC的平分線.因為=0,所以BAC的平分線垂直于BC,所以AB=AC.又= cosBAC=,所以cosBAC=,又0BAC,所以BAC=,所以ABC為等邊三角形.|ABAB|ACACABAC|ABAB|ACAC|ABACAB

24、ACBC|ABAB|ACAC|ABAB|ACAC12123必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 (2)在平行四邊形ABCD中,取AB的中點F,則=-,=+,=(+)=+-=+|cos60-=1+|-=1,|=0,又|0,|=,即AB=.BEFDAD12ABACADABACBEADAB12ADAB2AD12ADAB122AB2AD12ADAB122AB1212AB122AB1|2ABABABAB1212必備知識 整合 關鍵能力 突破 學科素養 提升 (1)利用平面向量數量積的幾何意義判斷三角形的形狀,首先要知道,分別為平行于,的單位向量,再利用條件得出向量垂直和向量夾角的大小,即可得到結論.(2)求線段的長度問題可以轉