1、【復(fù)習(xí)資料、知識(shí)分享】九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納第二十一章一元二次方程知識(shí)點(diǎn)1: 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2,且系數(shù)不為0 ,這樣的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2+bx+c=0(a W0)。注意：判斷某方程是否為一元二次方程時(shí)，應(yīng)首先將方程化為一般形式。知識(shí)點(diǎn)2: 一元二次方程的解法1 .直接開(kāi)平方法：對(duì)形如(x+a) 2=b (b>0)的方程兩邊直接開(kāi)平方而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程的方法。X+a=. bx1 =-a+ b bX2 =-a- b2 .配方法：用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(k W0)的一般步驟是：化為一般形式

2、；移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；化二次項(xiàng)系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a) 2=b的形式；如果b>0就可以用兩邊開(kāi)平方來(lái)求出方程的解；如果 b<0,則原方程無(wú)解.3 .公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通過(guò)配方推導(dǎo)出來(lái)的.一元二次方程的求根公式2一 b b 4ac 22.是x (b2-4ac>0) 0步驟：把萬(wàn)程轉(zhuǎn)化為一般形式；確定a, b, c的值；求出b24ac的值,2a當(dāng)b2 4ac> 0時(shí)代入求根公式。4 .因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分

3、解法.理論根據(jù)：若ab=0,則a=0或b=0o步驟是：將方程右邊化為0;將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；令每個(gè)因式等于0,得到兩個(gè)一元一次方程乘積的形式，解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5 . 一元二次方程的注意事項(xiàng)： 在一元二次方程的一般形式中要注意，強(qiáng)調(diào) aw0.因當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程. 應(yīng)用求根公式解一元二次方程時(shí)應(yīng)注意：先化方程為一般形式再確定a, b, c的值；若b2-4ac<0,則方程無(wú)解. 利用因式分解法解方程時(shí)，方程兩邊絕不能隨便約去含有未知數(shù)的代數(shù)式.如一2(x+4)2 =3

4、 (x+4)中，不能隨便約去x+4。(4)注意：解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法(除特別要求外)但又必須熟練掌握，解一元二次方程的一般順序是： 開(kāi)平方法一因式分解法一公式法.6 . 一元二次方程解的情況b2-4ac>0 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；b2 - 4ac=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；b2 4ac < 0 方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。解題小訣竅：當(dāng)題目中含有“兩不等實(shí)數(shù)根”“兩相等實(shí)數(shù)根” “沒(méi)有實(shí)數(shù)根”時(shí)，往往首先考慮用b24ac解題。主要用于求方程中未知系數(shù)的值或取值范圍。知識(shí)點(diǎn)3:根與系數(shù)的關(guān)系：韋達(dá)定理bc對(duì)于方程 ax2+ bx+c=0（a w0）來(lái)說(shuō)，x1 +x2 = a ,

5、x1 x2= a。222利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如x1 x2 （x1 x2） 2x1x211 xi x2xi x2xi x2o解題小訣竅：當(dāng)一元二次方程的題目中給出一個(gè)根讓你求另外一個(gè)根或未知系數(shù)時(shí)，可以用韋達(dá)定理。知識(shí)點(diǎn)4: 一元二次方程的應(yīng)用一、考點(diǎn)講解：i .構(gòu)建一元二次方程數(shù)學(xué)模型，常見(jiàn)的模型如下：與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用：如幾何圖形面積模型、勾股定理等； 有關(guān)增長(zhǎng)率的應(yīng)用：此類(lèi)問(wèn)題是在某個(gè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上連續(xù)增長(zhǎng)（降低）兩次得到新數(shù)據(jù)，常見(jiàn)的等量關(guān)系是 a（i ±x）2=b,其中a表示增長(zhǎng)（降低）前的數(shù)據(jù)，x表示增長(zhǎng)率（降低率），b表示后來(lái)的數(shù)據(jù)。注意：所得解

6、中，增長(zhǎng)率不為負(fù)，降低率不超過(guò) 1。經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題：總利潤(rùn) =（單件銷(xiāo)售額單件成本）x銷(xiāo)售數(shù)量；或者，總利潤(rùn)=總銷(xiāo)售額總成本。（4）動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題：此類(lèi)問(wèn)題是一般幾何問(wèn)題的延伸，根據(jù)條件設(shè)出未知數(shù)后，要想辦法把圖中變化的線(xiàn)段用未知數(shù)表示出 來(lái)，再根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程。2.注重解法的選擇與驗(yàn)根：在具體問(wèn)題中要注意恰當(dāng)?shù)倪x擇解法，以保證解題過(guò)程簡(jiǎn)潔流暢，特別要對(duì)方程的解注意 檢驗(yàn)，根據(jù)實(shí)際做出正確取舍，以保證結(jié)論的準(zhǔn)確性.一元二次方程與實(shí)際問(wèn)題1、病毒傳播問(wèn)題2、樹(shù)干問(wèn)題3、握手問(wèn)題（單循環(huán)問(wèn)題）4、賀卡問(wèn)題（雙循環(huán)問(wèn)題）5、圍欄問(wèn)題6、幾何圖形（道路、做水箱）7、增長(zhǎng)率、降價(jià)率問(wèn)題8、利潤(rùn)問(wèn)題（

7、注意減少庫(kù)存、讓顧客受惠等字樣）9、數(shù)字問(wèn)題10、折扣問(wèn)題第二十二章二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：這里1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如 y ax ，一3. y a x h的性質(zhì): bx c （a,b,c是常數(shù)，a 0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a 0,而b, c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).22 .二次函數(shù)y ax bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2.a,b,c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).二、二次函數(shù)的基本形式1 .二次函數(shù)基本形式：y ax2的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越

8、小。a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0x 0時(shí)，y隨x的增大而； x 0時(shí)，y隨x的增大而； x 0時(shí)，y有最 值 .a 0x 0時(shí)，y隨x的增大而； x 0時(shí)，y隨x的增大而； x 0時(shí)，y有最一值22 . y ax c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0x 0時(shí)，y隨x的增大而； x 0時(shí)，y隨x的增大而； x 0時(shí)，y有最值.a 0x 0時(shí)，y隨x的增大而 ； x 0時(shí)，y隨x的增大而; x 0時(shí)，y有最值.左加右減。a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)a 0x h時(shí)，y隨x的增大而； x h時(shí)，y隨x的增大而； x h時(shí)，y有最 值 .a 0x h時(shí)，y隨x的

9、增大而 ；x h時(shí)，y隨x 的增大而 ; x h時(shí)，y有取 值 .2y a x h k的性質(zhì):三、二次 象的平1.平方將拋物線(xiàn)a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)函數(shù)圖移移步驟：法一：解析式轉(zhuǎn)a 0x h時(shí)，y隨x的增大而； x h時(shí)，y隨x的增大而； x h時(shí)，y有最 值 .a 0x h時(shí)，y隨x的增大而； x h時(shí)，y隨x的增大而； x h時(shí)，y有取值 .化成頂點(diǎn)2y a x h k ,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo) 保持拋物線(xiàn)y ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h, k處，具體平移方法如下:-2 y=ax2y=ax 2+k向右（h>0）【或左（h<0）】 平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【

10、或向下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向右（h>0）或左（h<0） 平移|k|個(gè)單位向上（k>0）【或下（k<0）】平移|k|個(gè)單位向右（h>0）或左（h<0）】平移|k|個(gè)單位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k2.平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移概括成八個(gè)字“左 右,上下方法二：yax2bxc沿y軸平移：向上（下）平移m個(gè)單位，yax2 bx c變成y ax2 bx c m （或 y ax2 bx c m）yax2bxc沿軸平移：向左（右）平移 m個(gè)單位，y

11、ax2 bx c變成y a（x m）2 b（x m） c （或,、2y a(x m) b(x m) c)11 / 22四、二次函數(shù)y2y axbx c的比較從解析式上看,2y ax h k與y ax2 bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過(guò)配方可以得到前者，即2by a x 2a24ac b,其中h4ab , 4ac b2,k 2a 4a五、二次函數(shù)y ax2 bx c圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)2.一2y ax bx c化為頂點(diǎn)式y(tǒng) a（x h） k ,確te其開(kāi)口萬(wàn)向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為： 頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,c、以

12、及0,c關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn) 2h,c、與x軸的交點(diǎn) x,0 , x2,0 （若與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).六、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)1 .當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為2bb 4ac b一,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 一，2a2a 4a2 .當(dāng)a增大；當(dāng)x包時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)2a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為b-時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng) 2ab時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)xb時(shí)，y有最小值2a2a2 .畀頂點(diǎn)坐標(biāo)為癡.當(dāng)x 2a時(shí)，2b時(shí)，y有最大值也一b2a4a24ac b4ay隨x的增大而七

13、、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：y ax2 bx c ( a , b,c為常數(shù),a 0);k為常數(shù),a 0);3.兩根式（兩點(diǎn)式）：y a（x xj（xx2)( a 0,為,x2是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式,只有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，即b2.頂點(diǎn)式：y a(x h) k ( a , h 4ac 0時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1 .二次項(xiàng)系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a 0 . 當(dāng)a 0時(shí)

14、，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，a的值越大,當(dāng)a 0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a的值越小, 總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，開(kāi)口越小，反之 a的值越小，開(kāi)口越大；開(kāi)口越小，反之 a的值越大，開(kāi)口越大.a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大小.2 . 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.在a 0的前提下，當(dāng)b0時(shí)，20,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在 y軸左側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，90,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，旦0,即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在 y軸的右側(cè).2a在a 0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，20,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在 y軸右側(cè)；2a當(dāng)b0時(shí)，20,即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是

15、 y軸；2a當(dāng)b0時(shí)，20,即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在 y軸的左側(cè).2a總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.bab的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸 x 在y軸左邊則ab 0,在y軸的右側(cè)則ab 0 ,概括的說(shuō)就是“左同右異總結(jié)：3 .常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線(xiàn)與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 0； 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線(xiàn)與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a, b, c都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：

16、根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡(jiǎn)便.一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：1 .已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2 .已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（小）值，一般選用頂點(diǎn)式;3 .已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4 .已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式.九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)22y ax bx c關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax bx c ；2.一 一 .2y a x h k關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的

17、解析式是y a x h k;2 .關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)y ax2 bx c關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2 bx c；2.一 2y a x h k關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是 y a x h k ；3 .關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)y ax2 bx c關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是y ax2 bx c；2y a x h k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是4 .關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。）22b2y ax2 bx c關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2 bx c ；2a2y a x h k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是5 .關(guān)于點(diǎn)m, n對(duì)稱(chēng)2a x h 2m 2n k2.一 一 .y a x

18、 h k關(guān)于點(diǎn) m, n對(duì)稱(chēng)后，得到白解析式是 y根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：當(dāng) b2 4ac 。時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)A

19、xi, 0 , B x2 , 0 （xi x?）,其中的x, , x?是一元二次方程2b2 4acax bx c 0 a 0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB & x1 .a當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng) 0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).1'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0；2'當(dāng)a 0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有 y 0 .22 .拋物線(xiàn)y ax bx c的圖象與y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為 （0, c）;3 .二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒?/p>

20、將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式; 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)y ax2 bx c中a, b, c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中 a, b, c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式ax2 bx c（a 0）本身就是所含字母 x的二次函數(shù)；下面以a 00拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次二項(xiàng)式的值可止、可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)/、相等實(shí)根0拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交占 八、二次

21、三項(xiàng)式的值恒為正一兀二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.時(shí)為例，函數(shù)、二 和一元 之間的揭示二次次三項(xiàng)式二次方程 內(nèi)在聯(lián)系：圖像參考:卜一、函數(shù)的應(yīng)用剎車(chē)距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn) 最大面積是多少二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型1 .考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如:已知以x為自變量的二次函數(shù) y (m 2)x2 m2 m 2的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則m的值是2 .綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的 圖像，試題類(lèi)型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)y kx b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y kx2 bx 1的圖像大致是()3 .考查用待

22、定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類(lèi)型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：5已知一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(0,3) , (4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x -,求這條拋物線(xiàn)的解析式。34 .考查用配方法求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：23已知拋物線(xiàn)y ax(2) 【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線(xiàn)的位置與系數(shù)a, b, c之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.例2,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2 , O)、(xb 0),且1<xw2,與y軸的正半軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(O, 2)的下方.下列結(jié)論：a<b<0;2a+c>Q4a+c<Q2a

23、 -b+1>O,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A 1 個(gè)B. 2 個(gè)C. 3 個(gè)D.4個(gè) 會(huì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 例3,已知：關(guān)于x的一元二次方程 ax2+bx+c=3的一個(gè)根為x=-2 ,且二次函數(shù) y=ax2+bx+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn) x=2,則拋 物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()A(2, -3) B.(2,1) C(2,3) D .(3,2) bx c (aw 0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是一 2(1)確定拋物線(xiàn)的解析式；(2)用配方法確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)5 .考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專(zhuān)項(xiàng)壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線(xiàn)的位置確定系數(shù)的符

24、號(hào)c例1 (1) 一次函數(shù)y ax2 bx c的圖像如圖1,則點(diǎn)M (b,)在()aA .第一象限B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限(2)已知二次函數(shù) y=ax2+bx+c (aw0)的圖象如圖2所示，？則下列結(jié)論：a、b同號(hào)；當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；4a+b=0;當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A. 1個(gè) B .2個(gè) C .3個(gè) D .4個(gè)【復(fù)習(xí)資料、知識(shí)分享】例4、如圖(單位：m>,等腰三角形 ABC以2米/秒的速度沿直線(xiàn)L向正方形移動(dòng)，直到 AB與CD重合.設(shè)x秒時(shí),角形與正方形重疊部分的面積為ym2.(1)寫(xiě)出y與x的關(guān)系式；(2)當(dāng)x=2,

25、 3.5時(shí)，y分別是多少？(3)當(dāng)重疊部分的面積是正方形面積的一半時(shí), 三角形移動(dòng)了多長(zhǎng)時(shí)間？求拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)、 對(duì)稱(chēng)軸.例5、已知拋物線(xiàn)y= x2+x-. 22(1)用配方法求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸.(2)若該拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A B,求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).【點(diǎn)評(píng)】本題(1)是對(duì)二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第(2)問(wèn)主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.例6.已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) P(4, 10),交x軸于A(x1,0) , B(x2,0)兩點(diǎn)(x1x2)，交y軸負(fù)半軸于C點(diǎn)，且滿(mǎn)足3AO=OB(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在

26、點(diǎn)M使銳角/MCO脛A CO若存在，請(qǐng)你求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由.例7、 “已知函數(shù)yx2 bx c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （c, 2）2求證：這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=3?！鳖}目中的矩形框部分是一段被墨水污染了無(wú)法辨認(rèn)的文字。（1）根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函數(shù)解析式？若能，請(qǐng)寫(xiě)出求解過(guò)程，并畫(huà)出二次函數(shù)圖象；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）請(qǐng)你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補(bǔ)充完整。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于第（1）小題，要根據(jù)已知和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來(lái)的結(jié)論“函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸是x=3”當(dāng)作已知來(lái)用，再結(jié)合

27、條件“圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （c, 2）”，就可以列出兩個(gè)方程了，而解析式中只有兩個(gè)未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對(duì)于第（2）小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第（1）小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個(gè)任意點(diǎn)的 坐標(biāo)，可以給出頂點(diǎn)的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)等。用二次函數(shù)解決最值問(wèn)題例1某產(chǎn)品每件成本10元，試銷(xiāo)階段每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)x （元）？與產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量 y （件）之間的關(guān)系如下表:x （元）152030y （件）252010若日銷(xiāo)售量y是銷(xiāo)售價(jià)x的一次函數(shù).（1）求出日銷(xiāo)售量y （件）與銷(xiāo)售價(jià)x （元）的函數(shù)關(guān)

28、系式；（2）要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元?【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類(lèi)似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：(1)設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大(或最小、最省)”的設(shè)問(wèn)中，？ “某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；(2) ?問(wèn)的求解依靠配 方法或最值公式，而不是解方程.例2.你知道嗎？平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線(xiàn).如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為 4 m,距地面均為1日學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m 2. 5 m處.繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1

29、. 5 m,則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示) ()A. 1.5 m B. 1. 625 mC. 1 . 66 m D . 1. 67 m弟一十二早旋轉(zhuǎn)分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用一、旋轉(zhuǎn)1 、定義把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn) 。轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)，其中。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。2、性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。二、中心對(duì)稱(chēng)1 、定義把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心。2、性質(zhì)(1)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。(

30、2)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分。(3)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行(或在同一直線(xiàn)上)且相等。3、判定如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。4、中心對(duì)稱(chēng)圖形把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來(lái)的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)店就是它的對(duì)稱(chēng)中心?？键c(diǎn)五、坐標(biāo)系中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特征(3分)1 、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn) P (x, y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 P' (-x, -y)2、關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x

31、軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)中，x相等，y的符號(hào)相反，即點(diǎn) P (x, y)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P' (x, -y )3、關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號(hào)相反，即點(diǎn) P (x, y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P' (-x, y)第二十四章圓一、知識(shí)回顧圓的周長(zhǎng)：C=2Ttr或C=ti d、圓的面積：S=tt r2圓環(huán)面積計(jì)算方法：S=tt R2-兀r2或S=ti ( R2-r 2) (R是大圓半徑，r是小圓半徑)二、知識(shí)要點(diǎn)、圓的概念集合形式的概念:圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;、圓的內(nèi)

32、部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念:1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓;固定的端點(diǎn)。為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧,簡(jiǎn)稱(chēng)弧。2、垂直平分線(xiàn)：到線(xiàn)段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn);3、角的平分線(xiàn)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線(xiàn);4、到直線(xiàn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線(xiàn)且到這條直線(xiàn)的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線(xiàn);5、到兩條平行線(xiàn)距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線(xiàn)且到兩條直線(xiàn)距離都相等的一條直線(xiàn)。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)C在圓內(nèi);C2、點(diǎn)在

33、圓上d r3、點(diǎn)在圓外d r三、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)B在圓上;點(diǎn)A在圓外;1、直線(xiàn)與圓相離2、直線(xiàn)與圓相切dr無(wú)交點(diǎn)；dr有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線(xiàn)與圓相交d r有兩個(gè)交點(diǎn);四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無(wú)交點(diǎn)d R r ；外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)d R r ;內(nèi)含（圖5） 無(wú)交點(diǎn)d R r ;圖4圖5五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1： （1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧;（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

34、以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱(chēng)2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即:AB是直徑 AB CD CE DE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在。中，. AB / CD弧 AC 弧 BD六、圓心角定理頂點(diǎn)到圓心的角，叫圓心角。圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱(chēng)1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論,即： AOB DOE; AB DE ;OC OF ;弧BA弧BD七、圓周角定理頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相

35、交的角，叫圓周角。1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角 AOB 2 ACB2、圓周角定理的推論:推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧;即：在。中，C、 D都是所對(duì)的圓周角 C D推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。21 / 22即：在。中，AB是直徑或C 90C 90AB是直徑于斜邊的一推論3:若三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OBABC是直角三角形或 C 90注：此推論

36、實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線(xiàn)等 半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形 圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在。O中，2 .四邊形 ABCD是內(nèi)接四邊形3 C BAD 180 B D 180DAE C九、切線(xiàn)的性質(zhì)與判定定理(1)切線(xiàn)的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線(xiàn)是切線(xiàn)；兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：: MN OA且MN過(guò)半徑OA外端 MN是。O的切線(xiàn)(2)性質(zhì)定理：切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)。推論2:過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱(chēng)二推一定理: 即

37、：過(guò)圓心；過(guò)切點(diǎn)；垂直切線(xiàn)，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線(xiàn)長(zhǎng)定理 切線(xiàn)長(zhǎng)定理: 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。即：: PA、PB是的兩條切線(xiàn)PA PBAPO平分 BPAH一、圓哥定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線(xiàn)段的乘積相等。即：在。中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P, PA PB PC PD(2)推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線(xiàn)段的比例中項(xiàng)。與圓交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段即：在。中，直徑AB CD ,2CE AE BE(3)切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn) 長(zhǎng)的比例中

38、項(xiàng)。即：在。中，.PA是切線(xiàn)，PB是割線(xiàn)_ 2PA PC PB(4)割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓 兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等(如上圖)。即：在。中，.PB、PE是割線(xiàn) PC PB PD PE十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線(xiàn)垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：O1O2垂直平分 AB。即：Oi、o。2相交于A、B兩點(diǎn) O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線(xiàn) 兩圓公切線(xiàn)長(zhǎng)的計(jì)算公式：(1)公切線(xiàn)長(zhǎng)： Rt 0102c 中，AB2 CO12 JO1O22 CO22 ;(2)外公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之差；內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)：CO2是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算(1)正三角形在O。中 ABC是正三角形,有關(guān)計(jì)算在Rt BOD中進(jìn)行:OD:BD:OB 1:技 2；(2)正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行,OE : AE :OA 1:1:盧:(3)正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在 RtOAB中進(jìn)行,AB:OB:OA 1:、, 3:2.【復(fù)習(xí)資料、知識(shí)分享】卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式3、概率的計(jì)算25 / 221、扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：