1、復變函數復習重點（一）復數的概念1 .復數的概念：z x iy , x, y 是實數，x Re z , y Im z . i21.注：一般兩個復數不比較大小，但其模（為實數）有大小 2 .復數的表示1）模：z 9y2;2）幅角：在z 0時，矢量與x軸正向的夾角，記為Arg z （多值函數）；主值arg z是位 于（，中的幅角。3 ） arg z與arctan'之間的關系如下： x當 x 0, arg z arctan-y ；x，yy 0,arg z arctan當 x 0,x ;yy 0,arg z arctan x4）三角表示：z z cos i sin ,其中 arg z ；注：中

2、間一定是“ +”號。5）指數表示：z z ei ,其中 argz。（二）復數的運算1.加減法：若乙 xiy1,z2x2iy2,則 4z2x1x2iy1y22 .乘除法：1)若 4 X1iy1,z2X2 iy2 ,則z1z2Xx2互Xiy1z2X2iy2X1iyX2iy2X2iy2X2iy2X1X2y1y2i y1X2y2為2V2-2 °y22)若zzi e 1,z2z2 ei2Z1Z2Zl|Z22；zZ23 .乘幕與方根1)若 z z (cosi sinz ei則znzn (cosn i sin n ) zn ein 。2)若 z z (cosi sinz einz1n cos2ki

3、 sin2k(k 0,1,2L n 1)(有n個相異的值)（三）復變函數1.復變函數：wf z ,在幾何上可以看作把z平面上的一個點集D變到w平面上的一個點集G的映射.2,復初等函數1）指數函數：ezeX cosy isin y ,在z平面處處可導，處處解析；且ezez。注：ez是以2 i為周期的周期函數。（注意與實函數不同）3)對數函數：Lnz ln z i (argz 2k ) (k 0, 1, 2L )(多信函數)；主值：In z In zi argz o (單值函數)Lnz的每一個主值分支lnz在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且1lnz 一 ； z注：負復數也有對數存在。（與實函

4、數不同）3)乘幕與幕函數：abebLna (a 0)； zbebLnz(z 0)注：在除去原點及負實軸的z平面內處處解析，且bb 1z bz oiz iziz iz4) 三角函數 ：sin z-,cos z -, t gz2i2sin z , ,ctgz coszcoszsin zsin z,cos z在 z 平面內解析， 且 sin z cosz, coszsin z注：有界性sin z1, cosz 1不再成立；（與實函數不同）z z4)雙曲函數 shz e,chz 2shz奇函數，chz是偶函數。shz,chz在z平面內解析，且 shzchz, chzshzo（四）解析函數的概念1 .復

5、變函數的導數1)點可導：fZo =lizmof z0zz f z0 ；2）區域可導：f z在區域內點點可導。2 .解析函數的概念 1）點解析：f z在Zo及其zo的鄰域內可導，稱f z在zo點解析;2）區域解析：f z在區域內每一點解析，稱f z在區域內解析； 3）若f（z）在zo點不解析，稱zo為f z的奇點；3 .解析函數的運算法則：解析函數的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數;解析函數的復合函數仍為解析函數；（五）函數可導與解析的充要條件1.函數可導 的充要條件：f z u x,y iv x,y在z x iy可導u x,y和v x, y在x, y可微，且在x,y處滿足C D條件

6、:此時，有f z2.函數解析的充要條件：f z u x, yiv x,y在區域內解析u x,y和v x,y在x, y在D內可微，且滿足C D條件:u _v x yu_vyx此時f z io x x,v x, y在區域D內是可注意：若u x, y ,v x,y在區域D具有一階連續偏導數，則u x, y微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明u,v具有一階連續偏導且滿足 C R條件時，函數f（z） u iv 一定是可導或解析的。3函數可導與解析的判別方法1）利用定義（題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件（函數以f z u x, y iv x, y 形式給出，如第二章習題2）3）利用可

7、導或解析函數的四則運算定理。（函數f z是以z的形式給出，如第二章習題3）（六）復變函數積分的概念與性質n1 復變函數積分的概念：f z dz lim f k zk, c是光滑曲線。cn k1注：復變函數的積分實際是復平面上的線積分。2 復變函數積分的性質1） f z dz 1 f z dz （c1與c的方向相反）； cc12） f z g z dz f z dz g z dz, , 是常數；ccc3） 若曲線c由Ci與C2連接而成，則 f z dz f z dz f z dz。 cc1c 23復變函數積分的一般計算法1）化為線積分：f z dz udx vdy i vdx udy； （常用于

8、理論證明）ccc2）參數方法：設曲線c：z z t （） ，其中 對應曲線c 的起點，對應曲線c 的終點，則 f z dz fz t z(t)dt。 c(七)關于復變函數積分的重要定理與結論1 .柯西一古薩基本定理：設f z在單連域B內解析，c為B內任一閉曲線，則2 .復合閉路定理： 設f z在多連域D內解析，c為D內任意一條簡單閉曲線，Ci,C2,L Cn 是c內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以Ci,C2,L Cn為邊界的區域全含于D 內，Mn？ f z dz ?f z dz, 其中c與均取正向； ck 1 Ck？ f zdz 0,其中 由c及C1(k 1,2,L n)所組成的復合

9、閉路。3 .閉路變形原理：一個在區域D內的解析函數f z沿閉曲線c的積分，不因c在D內作連續變形而改變它的值，只要在變形過程中 c不經過使f z不解析的奇點。4 .解析函數沿非閉曲線的積分：設f z在單連域B內解析，G z為f z在B內的一個 z2原函數，則 f z dz G z2 G z1(乙,z2 B)zi說明：解析函數f z沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數即可。5。柯西積分公式：設f z在區域D內解析，c為D內任一正向簡單閉曲線，c的內部完 全屬于D , zo為c內任意一點，則n f z dz 2 if z0-cz zo6 .高階導數公式：解析函數f z的導數仍為解析

10、函數，它的n階導數為其中c為f z的解析區域D內圍繞zo的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內部完全屬于D 07 .重要結論：?1dz2 i, n 00(c是包含a的任意正向簡單閉曲線)?(z a)n10, n 08 .復變函數積分的計算方法1)若f z在區域D內處處不解析，用一般積分法f z dz fz t z t dtc2)設f z在區域D內解析，c是D內一條正向簡單閉曲線，則由柯西一古薩定理，？ f z dz 03)c是D內的一條非閉曲線,設f z在區域D內不解析曲線c內僅有一個奇點：曲線c內有多于一個奇點:zi, z2對應曲線c的起點和終點，則有f z dz 2 i f z0z zo f

11、 z?廠1dz?c(z z0)n1n?f z dzck 1?f zck(f (z)在c內解析)dz(G內只有一個奇點zQ或：of z dz 2 i Resf(z),zk(留數基本定理)若被積函數不能表示成f zn1,則須改用第五章留數定理來計算。(z Zo)(八)解析函數與調和函數的關系221 .調和函數的概念：若二元實函數(x,y)在D內有二階連續偏導數且滿足 0, x y(x, y)為D內的調和函數。2 .解析函數與調和函數的關系解析函數f z u iv的實部u與虛部v都是調和函數，并稱虛部v為實部u的共腕調和 函數。兩個調和函數u與v構成的函數f(z) u iv不一定是解析函數；但是若u

12、,v如果滿足柯西一黎曼方程，則u iv一定是解析函數。3 .已知解析函數f z的實部或虛部，求解析函數 f z u iv的方法。1)偏微分法：若已知實部u u x,y ,利用C R條件，得,; x y對-v -u兩邊積分，得 v-udy g x(*)y xx再對(*)式兩邊對x求偏導，得 dy g x (*) x x x由C R條件，上 ，得上一dy g x ,可求出 g x ; y x y x x代入（*）式，可求得虛部v-udy g x 。x2 ） 線積分法：若已知實部u u x,y ,利用C R條件可得, v . v . uudv dx dy dx dy , x y yx故虛部為v-ud

13、x -dy c ;xo, y0yx由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中x0,y0與x,y是解析區域中的兩點。3）不定積分法：若已知實部u u x,y ,根據解析函數的導數公式和 C R條件得知，將此式右端表示成z的函數U z ,由于f z仍為解析函數，故f z U z dz c（c為實常數）注：若已知虛部v也可用類似方法求出實部u.（九）復數項級數1 .復數列的極限1）復數列 n an ibn （n 1,2L ）收斂于復數a bi的充要條件為lim an a, lim bn b （同時成立） nn2）復數歹10收斂 實數歹【an,燈同時收斂。2 .復數項級數1）復數項級數

14、n（ n an ibn ）收斂的充要條件是級數a0與 燈同時收斂;n 0n 0n 02）級數收斂的必要條件是lim n 0。 n n注：復數項級數的斂散性可以歸納為兩個實數項級數的斂散性問題的討論。（十）幕級數的斂散性1 .幕級數的概念：表達式 cn（z z0）n或 cnzn為幕級數。 n 0n 02 .幕級數的斂散性1）幕級數的收斂定理一阿貝爾定理（Abel）:如果幕級數 gzn在Z0 0處收斂，那么對滿 n 0足z Z0的一切z，該級數絕對收斂；如果在Z0處發散，那么對滿足|z |z0|的一切z ,級數必發散。2）幕級數的收斂域一圓域幕級數在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發散；在收斂圓的

15、圓周上可能收斂；也可能發散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑比值法 如果lim cn-10 ,則收斂半徑R T;根值法lim Jcni0 ,則收斂半徑R 1;如果 0,則R ;說明在整個復平面上處處收斂；如果 ，則R 0；說明僅在z z0或z 0點收斂;注：若幕級數有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑(如gZ2n )n 03 .幕級數的性質1）代數性質：設 anZn, bnZn的收斂半徑分別為Ri與R2,記R min RE , n 0n 0則當z R時，有(anbn)znanznbnzn(線性運算)n 0n 0n 0（乘積運算）(anzn)(bnzn)(anb0an ibi La&#

16、176;bn)znn 0n 0n 02）復合性質：設當 r時，f an n ,當z R時， g z解析且g zn 0則當 z R 時，fg z ang z nn 03）分析運算性質：設幕級數anzn的收斂半徑為R 0 ,則其和函數f zanzn是收斂圓內的解析函數;在收斂圓內可逐項求導,收斂半徑不變；且 fn 1znanzn 0在收斂圓內可逐項求積,收斂半徑不變;dz 2 zn 1n 0 n 1（H一）幕函數的泰勒展開1.泰勒展開：設函數f z在圓域R內解析,則在此圓域內fz可以展開成幕級nf zz z0n 0 n!n；并且此展開式是唯一的。注：若f z在zo解析，則f z在zo的泰勒展開式成

17、立的圓域的收斂 半徑R其中R為從到fz的距zo最近一個奇點a之間的距離2.常用函數在z00的泰勒展開式1)1 n-z0 n!2 z2!3L 3!n!2)3)sin z1)nn 0 (2n 1)!2n 1 z3 z3!5 z5!1)n2n 1 z(2n 1)!4)cosz工前1 n 0 (2n)!2 z2!4 z4!1nz2nL(2n)!Zo3.解析函數展開成泰勒級數的方法1）直接法：直接求出 cn f n Z0 ,于是f zcn z z0 n。n!n o2）間接法：利用已知函數的泰勒展開式及幕級數的代數運算、復合運算和逐項求導、逐項 求積等方法將函數展開。（十二）幕函數的洛朗展開1 .洛朗級數

18、的概念：cn z z0 n ,含正幕項和負幕項。n2 .洛朗展開定理：設函數f z在圓環域R z z0 R2內處處解析，c為圓環域內繞zo的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環域內，有 f zCn z zo n ,且展開n式唯一。3 .解析函數的洛朗展開法： 洛朗級數一般只能用間接法展開。*4.利用洛朗級數求圍線積分：設 f z在r z z0 R內解析，c為r z z0 R內的任何一條正向簡單閉曲線，則?c f z dz 2 ic i。其中c i為f （z）在r z z° R內洛朗展開, i 一一一式中的系數。z zo說明：圍線積分可轉化為求被積函數的洛朗展開式中（z zo）1的系數

19、。（十三）孤立奇點的概念與分類1。孤立奇點的定義：f z在zo點不解析，但在zo的0z zo內解析2。孤立奇點的類型：21) 可去奇點：展開式中不含zz0 的負冪項；f zc0c1zz0c2zz0L2) 極點 ：展開式中含有限項z z0 的負冪項；其中 g z Cm C(mi)(z Zo) L Ci(z Z0)m1 c0(z Zo)m L 在 z0 解析，且 g z00, m 1,c m 0；m3) 本性奇點：展開式中含無窮多項z zo的負幕項；(十四) 孤立奇點的判別方法1.可去奇點：lim f z c0常數； z z02極點：lim f zz z03本性奇點：lim f z 不存在且不為。

20、z z04零點與極點的關系1)零點的概念：不恒為零的解析函數f z ，如果能表示成f z ( z z0 )m z ，其中 z在zo解析，z00,m為正整數，稱zo為f z的m級零點；2)零點級數判別的充要條件f n z00, (n 1,2,L m 1)zo是f z的m級零點f m z0013）零點與極點的關系：zo是f z的m級零點 zo是的m級極點;f z4）重要結論若z a分別是z的m級與n級零點，則za是 z g z的m n級零點；當m n時，z a是的m n級零點；當m n時，z a是的n m級極點； z當m n時，z a是一z-的可去奇點； z當mn時，za是 z z的l級零點，l

21、min（m,n）當mn時，za是 z z的l級零點，其中l m（n）（十五）留數的概念1 .留數的定義：設zo為f z的孤立奇點，f z在zo的去心鄰域0 z z0內解析，c1為該域內包含zo的任一正向簡單閉曲線，則稱積分 ? f z dz為f z在zo的留數（或2 i fc1殘留），記作 Res f z ,zo? f z dz 2.留數的計算方法若zo是f z的孤立奇點，則Res fz,z0 Ci,其中Ci為fz在4的去心鄰域內洛朗展開式中(z z°)1的系數。1)可去奇點處的留數：若zo是f z的可去奇點，則Res f z ,z 02) m級極點處的留數法則I若zo是f z的m級極點，則特別地，若zo是f z的一級極點，則Res f z ,zo lim( z z0) f z注：如果極點的實際級數比m低，上述規則仍然有效。P z.一，一法則II設f z , P z ,Q z在zo解析，P 4 O,Q z皿 P z P zoQ 4 o,Q zo o,則 Res,z -Q z o Q zo(十六)留數基本定理設f z在區域D內除有限個孤立奇點z1,z2L ,4外處處解析，c為D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，則 ？ f z dz 2 i Res f z ,zn cn 1說明：留數定理把求沿簡單閉曲線積分的整體問題轉化為求被積函數f z在c內各孤立奇點