1、二次函數二次函數 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點對稱軸對稱軸: 頂點頂點:24(,)24bacbaa 2bxa 24,)4acbya 24(,4acbya (,2bxa 時遞減時遞減,)2bxa 時遞增時遞增(,2bxa 時遞增，時遞增，(,2ba時遞減時遞減2.二二次次函函數數的的圖圖象象與與性性質質圖象圖象函數性質函數性質定義定義域域xR(個別題目有限制的個別題目有限制的,由解析式確定由解析式確定)值域值域a0a0a0) 實根分布問題實根分布問題憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點方程方程 f(x)=0 f(x)=0 有兩正根有兩正根

2、方程方程 f(x)=0 有兩負根有兩負根 方程方程 f(x)=0 有一正根一負根有一正根一負根 12120,0,0bxxacx xa 0,02(0)0baf 12120,0,0bxxacx xa 0,02(0)0baf 0ca 0c 憶憶 一一 憶憶 知知 識識 要要 點點記記 f(x)=ax2+bx+c(a0)1. 二次方程二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 實根分布問題實根分布問題根的分布根的分布圖象圖象充要條件充要條件02( )0bkaf k 12xxk 02( )0bkaf k 12kxx ( )0f k 12xkx 根的分布根的分布圖象圖象充要條件充要條件121202()0()0

3、bkkaf kf k 1122kxxk ()0( )0( )0( )0f mf nf pf q 1mxn 2pxq m n p q 根的分布根的分布圖象圖象充要條件充要條件兩個實根有兩個實根有且僅有一根且僅有一根在區間在區間 內內12( )( ) 0f kf k 1121()022f kkkbka 12 ,k k2122()022f kkkbka 2. 二次函數圖象和性質二次函數圖象和性質二次函數二次函數 y=ax2+bx+c (a0)224().24bacba xaa (1)開口方向開口方向: a0時時,開口開口_,a0時，與時，與x軸兩交點的橫坐標軸兩交點的橫坐標x1、x2分別是分別是方程

4、方程ax2 bxc0的兩根且的兩根且|x1-x2|=_; 當當0時時,與與x軸切于一點軸切于一點_; 當當0=00)的圖象的圖象方程方程ax2+bx+c=0的根的根ax2+bx+c0(a0)的解集的解集ax2+bx+c0)的解集的解集有兩不等實有兩不等實根根x1, x2x|xx2有兩相等有兩相等實根實根x1=x2無實根無實根x|xx1R3.二次函數、一元二次方程、一元二次不等式二次函數、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關系三者之間的關系x|x1x0 恒成立問題恒成立問題 ax2+bx+c0 ax2+bx+c0在在R R上恒成立上恒成立 f(x)=ax2+bx+c0(a0) f(x)=ax

5、2+bx+c0(a0) 在在 m, n m, n 上恒成立上恒成立 f(x)min0(xm, n) 2040abac 00abc 或或 ax2+bx+c0 ax2+bx+c0在在R R上恒成立上恒成立 2040abac 00abc 或或2()0bmaf m 2( )0bnaf n 或或2240bmnabac 或或f(x)=ax2+bx+c0) f(x)=ax2+bx+c0) 在在 m, n m, n 上恒成立上恒成立()0( )0f mf n 對勾函數對勾函數1yxx 定定義義域域：（， ）（ ，）00 增增區區間間 : :， ，減減區區間間 : :， ， ，111 001 值值域域：（， ，

6、) )22 奇偶性奇偶性:奇函數奇函數xyo單調性單調性【例【例1】 知函數知函數 在區間在區間0, 1 上的最大值是上的最大值是2，務虛數，務虛數 a 的值的值.2142ayxax 221()(2),24ayxaa 解解：.2ax 對稱軸為對稱軸為當當0 1，即，即0a2時，時，2a22max11(2)(2)2,44yaaaa ，由由得得a=3或或a=-2,與與0a2矛盾矛盾.不合要求；不合要求；當當 0 0，即，即a0a1 1，即，即a2a2時，時，y y在在00，11上單調遞增，上單調遞增，2a10.3a 解解之之，得得綜上，得綜上，得有有ymax=f(1)=2, 知函數知函數f(x)=

7、-x2+8x,求函數求函數f(x)在區間在區間 t, t+1上的上的最大值最大值h(t). 解：解： f(x) =-x2+8x=-(x-4)2+16. 當當t+14, 即即t4時，時，f(x)在在t,t+1上單調遞減上單調遞減. 此時此時h(t)=f(t)=-t2+8t.2267, (3),( )16,(34),8 ,(4).ttth ttttt 綜上可知綜上可知例例2.設不等式設不等式 mx2-2x- m+10 對于滿足對于滿足|m|2的一切值的一切值都恒成立，務虛數都恒成立，務虛數 x 的取值范圍的取值范圍.解：設解：設 f(m)=mx2-2x-m+1, (2 )0 ,( 2 )0 ,ff

8、 13117.22x 解解得得 【點評】處理恒成立問題一定要搞清誰是自變量，【點評】處理恒成立問題一定要搞清誰是自變量，誰是參數誰是參數.普通地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰普通地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數的范圍，誰就是參數. 那么那么 f(m)是一個以是一個以m為自變量的一次函數，其圖為自變量的一次函數，其圖象是直線，由題意知該直線當象是直線，由題意知該直線當-2m2時，線段在時，線段在x軸軸下方下方,222230,2210,xxxx 即即所以實數所以實數 x 的取值范圍是的取值范圍是13117.22xx | | 時時，不不等等式式恒恒成成立立，則則實實數數 的的取

9、取值值范范圍圍是是_ _ 當當2122202xaxxa2221,22axx 解解：在在上上恒恒成成立立，min222.uauxx 令令，則則只只需需2111222ux ）又又（，1111,2,24,.222xux 當當從從而而時時，1.2a12a【1】22 2(1)1 1,1yxxxx即即, , 與直線與直線y=k有交點有交點,minmax( )( ),fxkfx (1)( 1).fkf 13.k xy-11Y=k 【2】假設方程】假設方程x2-2x=k在區間在區間-1,1上有解上有解,那那么實數么實數k的取值范圍為的取值范圍為_. 22xx k解解：方方程程= = 在在 - -1 1, ,

10、1 1 有有解解, ,-1k3-1k3由圖象，得由圖象，得,1.1,mm 解解：1(1,2)(1,2),m 又又且且在在上上是是增增函函數數51112,(2, ).22mm 即即 【3】方程】方程x2-mx+1=0的兩根為的兩根為,且且 那么實數那么實數m的取值范圍是的取值范圍是_.0,12, 522m 112,且且01. 52.2m由圖可知，由圖可知，方法方法2:設設f(x)=x2-mx+1, 那么那么 f(0)=1.(0)10,(1)20,(2)520.ffmfm 【3】方程】方程x2-mx+1=0的兩根為的兩根為,且且 那么實數那么實數m的取值范圍是的取值范圍是_.0,12, 522m

11、例例3.知函數知函數f(x)|x24x3|.(1)求函數求函數f(x)的單調區間，并指出其增減性；的單調區間，并指出其增減性；(2)求集合求集合Mm|使方程使方程f(x)mx有四個不相等的實根有四個不相等的實根.(2)由圖象可知，由圖象可知，yf(x)與與ymx圖象有四個不同的圖象有四個不同的交點，直線交點，直線ymx應介于應介于x軸與切線軸與切線l1之間之間.解解:作出圖象如下圖作出圖象如下圖.(1)遞增區間為遞增區間為1,2和和3，)， 遞減區間為遞減區間為(，1和和2, 3.得得 x2(m4)x30.由由0，得，得42 3.m 當當 時，時，42 3m 3(1,3),x 舍去舍去.42

12、3.m (0,42 3).m所以集合所以集合Mm|0m42 .3例例3.知函數知函數f(x)|x24x3|.(1)求函數求函數f(x)的單調區間，并指出其增減性；的單調區間，并指出其增減性；(2)求集合求集合Mm|使方程使方程f(x)mx有四個不相等的實根有四個不相等的實根.那么問題轉化那么問題轉化為為mg(x)min解：解：m-2x2+9x在區間在區間2，3上恒成立，上恒成立，1變量分別法變量分別法(分別參數分別參數)例例4. 關于關于x的不等式的不等式 在區間在區間 2, 3上恒成立上恒成立,那么實數那么實數m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m2( )29 ,2,3,g xx

13、x x 記min( )(3)9,gxg 9.m 【評注】對于一些含參數的不等式恒成立問題，假設可以將【評注】對于一些含參數的不等式恒成立問題，假設可以將不等式中的變量和參數進展剝離，即使變量和參數分別位于不不等式中的變量和參數進展剝離，即使變量和參數分別位于不等式的左、右兩邊，然后經過求函數的值域的方法將問題化歸等式的左、右兩邊，然后經過求函數的值域的方法將問題化歸為解關于參數的不等式的問題為解關于參數的不等式的問題問題等價于問題等價于f(x)max0,解：構造函數解：構造函數2( )29,2,3,f xxxm x 2981( ) 2(),2,3,48f xxmx max( )(3)90,fxfm 9.m23y.xo2轉換求函數的最值轉換求函數的最值例例4. 關于關于x的不等式的不等式 在區間在區間 2, 3上恒成立上恒成立,那么實數那么實數m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m(2)0(3)0ff 那么那么10090mm 解：構造函數解：構造函數2( )29,2,3,f xxxm x9.m23y.xo例例4. 關于關于x的不等式的不等式 在區間在區間 2, 3上恒成立上恒成立,那么實數那么實數m的取值范圍是的取值范圍是_.2290 xxm9m數形結合思想數形結合思想解：據題意，解：據題意，由知得由知得:98189818,44mm不等式解集為：不等