1、1.2.1幾個常用幾個常用函數的導數函數的導數高二數學高二數學 選修選修2-2 第一章第一章 導數及其應用導數及其應用 一、復習： 導數的概念和幾何意義1.y =f (x)的導數2.y =f (x)在點x0處的導數的幾何意義是曲線y=f(x)在點Px0,f(x0)處的切線的斜率.極限 叫f(x)在點x0處的導數或變化率）。 叫平均變化率。3.物體的運動規律是S=St），則物體在時刻t的瞬時速度為 即瞬時速度是位移S對時間t 的導數。xxfxxfxyxfxx)()()(limlim00ttsttsVt)()(lim0 xxfxxfxfx)()()(0000limxy4.用定義法求函數y=fx在點

2、x0處的導數的方法步驟：（1求y （2求 （3取極限xylim0txy測試一下你對定義法求導掌握了沒有？（試一試下測試一下你對定義法求導掌握了沒有？（試一試下題：）題：）(1) 一球沿斜面自由滾下，其運動方程是一球沿斜面自由滾下，其運動方程是s=s(t)=t2位移單位：位移單位：m，時間單位：，時間單位：s）.求小球在求小球在t=5時的瞬時的瞬時速度用定義法求）時速度用定義法求）解：解：s=s(5+t)-s(5)=(5+t)2-52=t2+10t 10tts10)10(limlim00ttsvtt(2)設fx為可導函數，那么的為（ ） B. 2 C. -2 D.0 （3設fx在x=x0處可導，

3、且 等于（ ）1 B. 0 C. 3 D.（4在 中，x不能（ ）A. 大于0 B.小于0 C. 等于0 D.小于0或等于0hhxfhxfh)()(000lim)(0 xf )(0 xf )(0 xf )(, 1)()3(0000limxfxxfxxfx則31xxfxxfxfx)()()(0000limCDB思考與練習思考與練習 函數 在某點 處的導數)(xf0 x)(0 xf )(xf 區別:)(xf 是函數 ,)(0 xf 是數值;聯絡:0)(xxxf)(0 xf 注意注意:有什么區別與聯系 ? )()(00 xfxf？與導函數00()( )( )limlimxxyf xxf xf xyx

4、x 在不致發生混淆時，導函數也簡稱導數函數導函數 當x=x0時, f (x0) 是一個確定的數.那么,當x變化時,便是x的一個函數,我們叫它為f (x)的導函數.即:00()6f xx( )6f xx2( )3f xxf(x)在x=x0處的導數f (x)的導函數x=x0時的函數值關系關系求函數求函數f(x)=2的導數；的導數；xyo022)()( xfxxfy 解：根據導數定義，解：根據導數定義，. 00limlim2)(00 xxxyxf(2) 求函數求函數f(x)=0的導數；的導數；(3) 求函數求函數f(x)=-2的導數的導數.00).(01為為常常數數公公式式CC ,)(Cxfy 證證

5、明明：()( )=0yf xxf xCC , 0 xy 0( )lim 00.xfxC (1) y=x的導數的導數求下列函數的導數求下列函數的導數,)()(xxxxxfxxfy 解解：根根據據導導數數定定義義，00limlim1 ( )1=xxyxxf (2) y=x2的導數的導數,2)()()(222xxxxxxxfxxfy 解解：根根據據導導數數定定義義，00lim( )2 .lim(2)xxyfxxxxx (3) y=x3的導數的導數.3)()(23xxxf 220021)1(limlim1)()(11)()(xxxxxyyxxxxxxxxxxxxxxxxfxxfxyxx 所以所以解：因

6、為：解：因為：的的導導數數求求函函數數xy1)4( ( )yf xx（5函數 的導數xyxxxxxx 解：1yxxxx 0011limlim.2xxyyxxxxx 考慮：用定義求導數有些麻煩！你有什考慮：用定義求導數有些麻煩！你有什么期望？么期望？匯總以上公式，可以得到統一的公式：匯總以上公式，可以得到統一的公式： 請注意公式中的條件是請注意公式中的條件是 ,但根據我們所掌握但根據我們所掌握的知識的知識,只能就只能就 的情況加以證明的情況加以證明.這個公式稱為這個公式稱為冪函數的導數公式冪函數的導數公式.事實上事實上n可以是任意實數可以是任意實數. Qn *Nn 公式公式2: .)()(1Qn

7、nxxnn 21)( )2)( ),3)( ),14)( ),yf xCyf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x圖象上每一點處的切線圖象上每一點處的切線斜率都為斜率都為1這又說明什么這又說明什么?0y 表示表示y=C圖象上每一點處的切線圖象上每一點處的切線斜率都為斜率都為0這又說明什么這又說明什么?探究：探究：畫出函數畫出函數y=1/x的圖像。根據圖像，的圖像。根據圖像，描述它的變化情況。并求出曲線在描述它的變化情況。并求出曲線在點點1,1處的切線方程。處的切線方程。x+y-2=0：求下列函數的導數：求下列函數的導數11234533(1)(2)1(3)(4)1(5)

8、(6)yxyxyyxxxyxyx算一算算一算公式公式3:3:公式公式4:4:xxcos)(sinxxsin)(cos公式公式5:5:對數函數的導數對數函數的導數1(1) (log)(0,1).lnaxaax a1(2)(ln ).xx公式公式6:6:指數函數的導數指數函數的導數(2)().xxee (1) ( )ln (0,1).xxaaa aa注意注意: :關于關于 是兩個不同是兩個不同的函數的函數, ,例如例如: :axxa 和 )3)(1 (x )(2(3xaxln323x我們今后可以直接使用的基本初等函數的導數公式我們今后可以直接使用的基本初等函數的導數公式11.( ),( )0;2.

9、( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則不需推導，但要注意符號的運算不需推導，但要注意符號的運算.例例1 1：求下列函數的導數：求下列函數的導數xxxyxy) 2 () 1 (5).2(,) 1 (3fxy求已知213333)(xxxy 解解：12)

10、2 (3) 2 (2f312222)( xxxy解解：2722712) 3 (2) 3 (3f).3(,1)2(2fxy求已知例例2:2:例例3.求下列函數的導數求下列函數的導數)2cos()3(3sin)2()2sin() 1 (xyyxy練習練習(1) 5x4 ;(2) 6x5 ;(3) cost ;(4) -sinx .;3)5(4x .31)6(32x1(7).2yx2.選擇題選擇題（1下列各式正確的是（下列各式正確的是（ ）56.(sin)cos(66. cos )sin.(sin )cos1.()5ABxxCxxD xx 為常數）（C（2下列各式正確的是（下列各式正確的是（ ）1.

11、(log) ln 10.(log) .(3 ) 3.(3 ) 3ln 3aaxxxAxxBxxCxDD3.填空填空(1) f(x)=80，則，則f (x)=_;_;)2(32的導數是的導數是xy _)1(_;)(,)()3(等等于于等等于于則則fxfexfx 03132 xxee_)1()4( xogaaxln1例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲線是曲線y=x2上的兩點，上的兩點，(1)求過點求過點P的曲線的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。(2)求過點求過點Q的曲線的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。(3)求與直線求與直線PQ平行的曲線平行的曲線y=x2的切線方程。的切線方

12、程。三三.典例分析典例分析題型：求曲線的切線方程題型：求曲線的切線方程2yx解(1),(2)：2( 1,1),(2,4)PQyx都是曲線上的點。11|2,xPy 過 點的切線的斜率k22|4,xy過Q點的切線的斜率k12(1),210Pyxxy 過 點的切線方程:即：。44(2),440yxxy過Q點的切線方程:即：。例例1.已知已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲線是曲線y=x2上的兩點，上的兩點，(1)求過點求過點P的曲線的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。(2)求過點求過點Q的曲線的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。(3)求與直線求與直線PQ平行的曲線平行的曲線y=x2的切線方程。的切線方程。三三.典例分析典例分析題型：求曲線的切線方程題型：求曲線的切線方程2yx解(3)：4 11,2 1PQ直線的斜率k11,440214yxxy 與PQ平行的切線方程:即：。00|21,x xyx切線的斜率k01,2x1 1( , )2 4M切點;2)11.yxy例2.已知，1)求求曲線在點（ ， ）處的切線方程12()()yxx解1)：1:1