1、1 我們仍然限定齊次的邊界條件，本節包括兩個主要內容，一是我們仍然限定齊次的邊界條件，本節包括兩個主要內容，一是 在第一節中，我們求解兩端固定的弦的齊次振動方程定解在第一節中，我們求解兩端固定的弦的齊次振動方程定解0|, 0|0 lxxuu求解。求解。法，把非齊次方程的定解問題化為齊次方程的定解問題，然后再法，把非齊次方程的定解問題化為齊次方程的定解問題，然后再傅立葉級數法，直接求解非齊次方程的定解問題。二是沖量定理傅立葉級數法，直接求解非齊次方程的定解問題。二是沖量定理形式的級數，是由邊界條件決定的：形式的級數，是由邊界條件決定的：取決于初始條件的傅立葉正弦級數，采用正弦級數而不是一般取決于

2、初始條件的傅立葉正弦級數，采用正弦級數而不是一般問題，得到的解有傅立葉正弦級數的形式，且系數問題，得到的解有傅立葉正弦級數的形式，且系數An和和Bn2由此啟發，為什么不把解本身直接展開成傅立葉級數？由此啟發，為什么不把解本身直接展開成傅立葉級數？ nnnxXtTtxu)()(),(這里傅立葉級數的基本函數族這里傅立葉級數的基本函數族Xn(x)為該定解問題齊次方程在齊次為該定解問題齊次方程在齊次邊界條件下的本征函數。邊界條件下的本征函數。 由于解是自變量由于解是自變量x和和t的函數，故的函數，故u(x,t)的傅立葉級數系數不是的傅立葉級數系數不是求解定解問題求解定解問題)0(),(|),(|0|

3、, 0|sincos0002lxxuxuuutlxAuautttlxxxxxxtt出出Tn(t)的的常微分方程常微分方程，求解。，求解。常數，而是常數，而是時間時間t的函數的函數，記做，記做Tn(t),將將u(x,t)代入泛定方程，分離代入泛定方程，分離3這里級數展開的基本函數族應該是齊次泛定方程這里級數展開的基本函數族應該是齊次泛定方程02 xxttuau在邊界條件在邊界條件)(|),(|00 xuxutxtx下的本征函數下的本征函數即：即：.)2 , 1 , 0(cos nlxn 由此我們把解展開成傅立葉余弦級數由此我們把解展開成傅立葉余弦級數lxntTtxunn cos)(),(0 代入

4、泛定方程代入泛定方程tlxAlxnTlanTnnn sincoscos02222 左邊是傅立葉余弦級數，把右邊也展開成傅立葉余弦級數，以左邊是傅立葉余弦級數，把右邊也展開成傅立葉余弦級數，以比較系數，分離出比較系數，分離出Tn(t)的常微分方程：的常微分方程：tATlaT sin12221 )1( , 02222 nTlanTnn 比較系數。事實上，右邊已經是傅立葉余弦級數，只有一項比較系數。事實上，右邊已經是傅立葉余弦級數，只有一項n=14把把u(x,t)的傅立葉余弦級數代入初始條件可得：的傅立葉余弦級數代入初始條件可得： 0000cos)(cos)0(cos)(cos)0(nnnnnnnn

5、xlnxxlnTxlnxxlnT 其中，其中，nn ,分別是分別是)(),(xx 的傅立葉余弦級數的第的傅立葉余弦級數的第n個傅立葉個傅立葉系數，上述兩邊都是傅立葉余弦級數，由于基本函數族系數，上述兩邊都是傅立葉余弦級數，由于基本函數族lxn cos的正交性，等式兩邊對應于同一基本函數的傅立葉系數必相等：的正交性，等式兩邊對應于同一基本函數的傅立葉系數必相等： lldlTdlT000000)(1)0()(1)0( )0(cos)(2)0(cos)(2)0(00ndlnlTdlnlTlnnlnn關于關于Tn(t)的常微分方程在上述初始條件下的解為的常微分方程在上述初始條件下的解為:ttT000)

6、(5latallattlalatlaaAltT sincossinsin/1)(1122221 )1 , 0(sincos)( nlatnanllatntTnnn T1(t)的第一項為非齊次常微分方程的特解，滿足零值初始條件。的第一項為非齊次常微分方程的特解，滿足零值初始條件。T1(t)的后兩項之和及的后兩項之和及Tn(t)分別為分別為T1(t)和和Tn(t)的齊次常微分方程的齊次常微分方程的解，滿足非零初始條件。的解，滿足非零初始條件。可得最后所求的解為可得最后所求的解為:lxlatnanllatn tlxtlalatlaaAltxunnncossincos)(cossinsin/1),(1

7、002222傅立葉級數法傅立葉級數法6傅立葉級數法傅立葉級數法關鍵在于分離出關鍵在于分離出Tn(t)的常微分方程，不能的常微分方程，不能lxn cos正是相應的齊次方程，齊次邊界條件下用分離變量法求得的正是相應的齊次方程，齊次邊界條件下用分離變量法求得的 對于齊次振動方程和齊次輸運方程問題也可以用傅立葉級對于齊次振動方程和齊次輸運方程問題也可以用傅立葉級綜上所述，對于振動問題和輸運問題，不論齊次綜上所述，對于振動問題和輸運問題，不論齊次還是非齊次方程定解問題，傅立葉級數法結合分還是非齊次方程定解問題，傅立葉級數法結合分離變數法都可利用，而分離變數只能用于齊次方離變數法都可利用，而分離變數只能用

8、于齊次方程定解問題。程定解問題。更容易求解。更容易求解。數法（結合分離變量）求解，此時常微分方程為齊次方程，數法（結合分離變量）求解，此時常微分方程為齊次方程，本征函數，故可以分離出本征函數，故可以分離出Tn(t)的常微分方程。的常微分方程。含有含有x，這里級數展開的基本函數，這里級數展開的基本函數7 應用沖量定理法有個前提，即初始條件取零值，可以把非零應用沖量定理法有個前提，即初始條件取零值，可以把非零)(|),(|0|, 0|),(0002xuxuuutxfuautttlxxxxtt 泛定方程和定解條件都是泛定方程和定解條件都是線性線性的，滿足的，滿足疊加原理疊加原理),(),(),(11

9、1txutxutxu ),(),(111txutxu分別滿足分別滿足 )(|),(|0|, 0|00101101121xuxuuuuautttlxxxxtt 0|, 0|0|, 0|),(0110111101111211tttlxxxxttuuuutxfuau兩邊的式子對應相加，就是原來的定解問題，就轉化成求解兩邊的式子對應相加，就是原來的定解問題，就轉化成求解U1方程是非齊次的，但初始條件化為零，即符合沖量定理要求。方程是非齊次的，但初始條件化為零，即符合沖量定理要求。和和U11,U1的初始條件為非零，方程是其次，分離變數求解，的初始條件為非零，方程是其次，分離變數求解，U11初始條件化成零

10、值初始條件：初始條件化成零值初始條件：8下面用沖量定理法來研究弦的非齊次振動方程定解問題：下面用沖量定理法來研究弦的非齊次振動方程定解問題：0|, 0|0|, 0|),(0002 tttlxxxxttuuuutxfuau對于上述定解問題，作用在單位弦長上的外力對于上述定解問題，作用在單位弦長上的外力),(),(txftxF從時刻零持續到時刻從時刻零持續到時刻t，我們求解的是在力，我們求解的是在力F（x，t）作用下，）作用下，時刻時刻t時，各處的位移時，各處的位移u（x，t） 我們可以把持續作用力看成許多瞬時力的作用之和，把持我們可以把持續作用力看成許多瞬時力的作用之和，把持ttdtxftxfd

11、txFtxF00)(),(),()(),(),( 續力引起的振動看成瞬時力引起的振動的疊加：續力引起的振動看成瞬時力引起的振動的疊加：9dtxF)(),(其中其中為作用在很短的時間區間為作用在很短的時間區間),(d上，沖量為上，沖量為dxF),(的瞬時力的瞬時力 該瞬時力引起的振動該瞬時力引起的振動),()(txu則此定解問題為：則此定解問題為：0|, 0|0|, 0|)(),()(),(0)(0)()(0)()(2)(tttlxxxxttuuuudttxfdtxFuau瞬時力瞬時力dtxF)(),(作用在時間區間作用在時間區間),(d上，上，時刻零直到時刻時刻零直到時刻0還沒有起作用，弦仍然

12、靜止還沒有起作用，弦仍然靜止0|, 0|0)(0)(tttuu到時刻到時刻該力開始作用，到該力開始作用，到d結束，這短時間內，弦來不及位移，故在時刻結束，這短時間內，弦來不及位移，故在時刻d0|)(dtu位移位移10又根據沖量定理，從時刻又根據沖量定理，從時刻0d到到單位弦的動量變化單位弦的動量變化等于瞬時力等于瞬時力 的沖量，則有：的沖量，則有：dtxF)(),(dxfdxFuuttdtt),(),(|0)()(故速度故速度dxfudtt),(|)(若該用時刻若該用時刻d作為初始時刻，考查瞬時力作為初始時刻，考查瞬時力dtxF)(),(在時刻在時刻d以后引起的振動以后引起的振動),()(tx

13、u此時瞬時力作用已過，此時瞬時力作用已過，弦不受外力，滿足齊次方程，其定解問題為：弦不受外力，滿足齊次方程，其定解問題為：),(|, 0|0|, 0|0)()()(0)()(2)(dtxfuuuuuaudttdtlxxxxtt此定解問題與原來此定解問題與原來 的定解問題等價。同時可以看出的定解問題等價。同時可以看出),()(txu必含有因子必含有因子d記記dtxvtxu);,(),()(則滿足以下定解問題：則滿足以下定解問題：110|, 0|0|, 0|),(02dttdtlxxxxttvvvvdtxfvavdtxfvvvvvavtttlxxxxtt),(|, 0|0|, 0|002由于時間由

14、于時間d很短，將很短，將d記作記作關于此定解問題為齊次方程，可用前邊的分離變數或者傅里葉關于此定解問題為齊次方程，可用前邊的分離變數或者傅里葉級數法來求解。級數法來求解。只是前邊初始時刻為零，這里初始時刻為只是前邊初始時刻為零，這里初始時刻為前面得到的解中，前面得到的解中，t應換成應換成t原定解問題原定解問題是線性的，適用疊加原理，外力是一系列瞬時是線性的，適用疊加原理，外力是一系列瞬時力的疊加，則定解問題也是瞬時力引起的振動的疊加，則有：力的疊加，則定解問題也是瞬時力引起的振動的疊加，則有：00)();,(),(),(tdtxvtxutxu此即非齊次振動方程定解問題的解！此即非齊次振動方程定

15、解問題的解！12把持續作用力把持續作用力),(txf看成一系列脈沖力看成一系列脈沖力dtxf)(),(改為求解脈沖力改為求解脈沖力dtxf)(),(從時刻從時刻引起的振動引起的振動dtxv);,(而它滿足齊次振動方程的定解問題，解出而它滿足齊次振動方程的定解問題，解出v之后，之后，對對積分即得原定解問題的解！積分即得原定解問題的解！同時，量綱分析也可以側面證明此法是正確的！同時，量綱分析也可以側面證明此法是正確的！邊界條件邊界條件即要驗證通過積分得到的解即要驗證通過積分得到的解u（x，t）是原非齊次振動方程定）是原非齊次振動方程定解問題的解。解問題的解。首先來驗證邊界條件：首先來驗證邊界條件：

16、0|, 0|0lxxvv故有：故有：0|, 0|0000tlxlxtxxdvudvu初始位移：初始位移：0|000tttdvu13dttdttgdttdttgdttgdtgdtdtttt)()(; )()(;);();()()()()(應用此公式到應用此公式到tdtxvtxu0);,(),(可得：可得：);,();,(),(0ttxvdtxvtxuttt又又0);,(xv故可得故可得tttdtxvtxu0);,(),(則則0|0000dvutttt初始條件初始條件（1）對（對（1）應用求導公式）應用求導公式);,();,(0ttxvdtxvutttttt而而),();,(xfxvt14故故),

17、();,(0 xfdtxvuttttt把它和把它和u（x，t）代入非齊次泛定方程的左邊則有：）代入非齊次泛定方程的左邊則有：),(),(0 ),()(0022txftxfdtxfdvavuauttxxttxxtt即對于非齊次泛定方程來說滿足定解條件。即對于非齊次泛定方程來說滿足定解條件。泛定方程泛定方程至此，數學驗證全部完成，沖量定理在數學上也成立，至此，數學驗證全部完成，沖量定理在數學上也成立，特別特別甚至，甚至，x0和和xl的邊界條件不同類，只要相對應即可！的邊界條件不同類，只要相對應即可！指出指出，這里邊界條件也可以是第二類或第三類齊次邊界條件，這里邊界條件也可以是第二類或第三類齊次邊界

18、條件15將例將例1中的初始條件改為零值，用沖量定理法求解，即中的初始條件改為零值，用沖量定理法求解，即, 0|, 0|0|, 0|sincos0002tttlxxxxxxttuuuutlxAuau應用沖量定理法，先求解：應用沖量定理法，先求解：,sincos|, 0|0|, 0|0002lxAvvvvvavtttlxxxxxxtt考慮到邊界條件，把解展開為傅里葉余弦級數：考慮到邊界條件，把解展開為傅里葉余弦級數：0cos),();,(nnlxntTtxv代入泛定方程：代入泛定方程：0cos02222nnnlxnTlanT16由此可分離出由此可分離出Tn的常微分方程的常微分方程02222nnTl

19、anT此方程的解為：此方程的解為：)()();(000tBAtT)0()(sin)()(cos)();(0nltanBltanAtTnn則解則解v的傅里葉余弦級數為：的傅里葉余弦級數為：lxnltanBltanAtBAtxvnnncos)(sin)()(cos)()()();,(100 系數系數)(),(nnBA由初始條件確定，把上式代入初始條件：由初始條件確定，把上式代入初始條件：17xlxnAlxnlxnBBnnsincoscos)()(100cos)()(10nnlxnAA右邊的右邊的xlxnAsincos也是傅里葉余弦級數，只有一個單項也是傅里葉余弦級數，只有一個單項n1兩邊比較系數可

20、得：兩邊比較系數可得：) 1(0)(,sin)(, 0)(1nBalABAnn由此可得由此可得);,(txvlxltaalAtxvcos)(sinsin);,(則可得泛定方程的一般解為：則可得泛定方程的一般解為：18lxtlatlalaaAldltalxaAldtxvtxuttcossinsin/1)(sinsincos);,(),(222200 在在輸運問題輸運問題中，如泛定方程是非齊次的，也完全可以仿照沖中，如泛定方程是非齊次的，也完全可以仿照沖量定理加以處理，如定解問題：量定理加以處理，如定解問題：0|0|, 0|),(002tlxxxxxxtuuutxfuau單位長度上的熱源強度為單位

21、長度上的熱源強度為),( txfc且從時刻零一直延續到且從時刻零一直延續到t現在求的是在熱源強度現在求的是在熱源強度 的影響下，時刻的影響下，時刻t溫度分布溫度分布),( txfc19仿照沖量定理，這里將持續作用的熱源看成許多瞬時熱源仿照沖量定理，這里將持續作用的熱源看成許多瞬時熱源dtxfc)(),(),(d提供的熱量提供的熱量為為dxfc),(他產生的溫度分布為他產生的溫度分布為dtxv);,(可導出定解問題：可導出定解問題：0|0|, 0|)(),(002tlxxxxxxtvvvtxfvav直到直到0時刻，瞬時熱源未起作用，從初始條件時刻，瞬時熱源未起作用，從初始條件0|0tv得得0|0

22、tv在時刻在時刻瞬時熱源瞬時熱源dtxfc)(),(開始作用開始作用到時刻到時刻d作用結束，放出熱量，使作用結束，放出熱量，使 時刻溫度增加時刻溫度增加d到到dtv|則則dtxfcdvvctdt)(),(|0的疊加，作用于時間區間的疊加，作用于時間區間20則有則有),(|xfvdt此即時刻此即時刻d的溫度分布的溫度分布然后把然后把d作為初始時刻，研究瞬時熱源在此時刻以后作為初始時刻，研究瞬時熱源在此時刻以后產生的溫度分布產生的溫度分布dtxv);,(則則v的定解問題為：的定解問題為：),(|0|, 0|002xfvvvvavtlxxxxxxt因瞬時熱源作用已過，故為齊次方程，由于因瞬時熱源作用已過，故為齊次方程，由于d很短，將很短，將記為記為d此定解問題與此定解問題與 等價，