1、1第二節第二節 離散信號的頻域分析離散信號的頻域分析v離散周期信號的頻譜分析（離散周期信號的頻譜分析（DFSDFS）v離散非周期信號的頻譜分析（離散非周期信號的頻譜分析（DTFTDTFT）v離散傅立葉變換（離散傅立葉變換（DFTDFT）v快速傅立葉變換（快速傅立葉變換（FFTFFT）2v離散傅里葉級數離散傅里葉級數 v離散傅里葉級數的性質離散傅里葉級數的性質31、離散傅里葉級數變換離散傅里葉級數變換v連續周期信號的傅立葉級數連續周期信號的傅立葉級數v從連續周期信號的傅立葉級數（從連續周期信號的傅立葉級數（CFS）到離）到離散周期信號的傅立葉級數（散周期信號的傅立葉級數（DFS）4（1 1）連續

2、周期信號的傅立葉級數）連續周期信號的傅立葉級數00( )()jktkx tX ke000001()( )TjktX kx t edtTT0：信號的周期：信號的周期 0：信號的基波角頻率：信號的基波角頻率: 5（2 2）從）從CFSCFS到到DFSDFS 000()(2)jnjnNjkneee00( )()jk tkx tX ke連續周期信號連續周期信號x(t)離散化離散化t = nT00( )()jknkx nX ke0002TTT 22TNTNT：采樣周期：采樣周期T0=NT（連續信號周期（連續信號周期T0對應對應N個采樣點）個采樣點）0100( )()Njknkx nX keDFS0：離散

3、域的基本頻率：離散域的基本頻率k0：k次諧波的數字頻率次諧波的數字頻率離散域諧波分量數：離散域諧波分量數：k=2 / / 0=NX(n)為周期信號為周期信號6v離散傅立葉級數系數離散傅立葉級數系數000001()( )TjktX kx t edtT002TN T0=NTdtT0100NTn21021()()NjknTNTnX kx nT eTNTNT01001()( )NjknnX kx n eNDFS系數系數00()()X kNX k周期性周期性7DFS:0100( )()Njknkx nX ke01001()( )NjknnX kx n eN令令 ，DFS可記為可記為2jNNwe21100

4、11( ) ( )( )NNNNNjnknkNNNNnnXkxn exn w21100( )( )( )NNjknnkNNNNNkkxnXk eXk w8001,1,1NmNNNNNWWWW2222()1,1NNNNjmNjNNWeeW v正交性正交性v周期性周期性v對稱性對稱性v可約性可約性2jNNwe11*()001,11()0,NNnkmkn m kNNNkknmlNWWWnmlNNN/rnnrnnNN rrNNWWWWr mNrNNWW2NrrNNWW 9例例1：已知正弦序列：已知正弦序列x(n)=cos0n，分別求出當，分別求出當0 和和0 /3/3時，傅立葉級數表示式時，傅立葉級數

5、表示式及相應的頻譜。及相應的頻譜。 222v解：連續正弦信號離散化后所形成的正弦序列只有在滿解：連續正弦信號離散化后所形成的正弦序列只有在滿足足0/ 2/ 2 m/N=m/N=有理數時為周期正弦序列有理數時為周期正弦序列v0 時，時， 0/ 2/ 2 無理數，該序列為非周期序列，不能無理數，該序列為非周期序列，不能展開為展開為DFSDFS，其頻譜僅有，其頻譜僅有 0 ，不含其他諧波分量。，不含其他諧波分量。v0 /3/3時，時， 0/ 2/ 2 1/6=1/6=有理數，為周期序列有理數，為周期序列vN=6, N=6, 因此因此226621( )coscos362jnjnx nnnee00()1

6、/21, 5()00, 2, 3, 4X kkX kk 如果如果x(n)是從連續周期信號是從連續周期信號x(t)采樣得來，那么采樣得來，那么x(n)的頻譜是的頻譜是否等效于否等效于x(t)的頻譜的頻譜 ？1011( )6cosx tt T=0.25秒( )2cos64sin10 x tttN=8N=16 可以看作是 的近似式，近似程度與采樣周期T的選取有關120()X k0()X k在滿足采樣定理條件下，從一個連續時間、頻帶有限的周期信號得到的周期序列，其頻譜在 或 范圍內等于原始信號的離散頻譜在不滿足采樣定理條件下，由于 出現頻譜混疊，這時就不能用 準確地表示0()X k0()X k0()X

7、 k |(/ 2)sff 132、DFS的性質的性質v線性性質線性性質v周期卷積定理周期卷積定理 v復共軛復共軛 v位移性質位移性質 v帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理 141線性性質v設v則( )( )( )( )DFSDFSNNNNxnXkynYk ，( )( )( )( )DFSNNNNaxnbynaXkbYk 152、周期卷積定理周期卷積定理 v設v則( )( )( )( )DFSDFSNNNNxnXkhnHk ，( )Nxn*( )( )( )DFSNNNhnXk Hk 1( )( )( )DFSNNNNxn hnXk *( )NHkv“ ”為周期卷積的符號，兩序列的周期卷積定義為：*( )

8、Nxn*( )Nhn( )Nhn*( )Nxn10( )()NNNkxk hnk163、復共軛復共軛 v設v則 ( )( )DFSNNxnXk *()( )DFSNNxnXk 174、位移性質 v若v則( )( )DFSNNxnXk ()( )DFSmkNNNxnmwXk 185、帕斯瓦爾定理v設v則( )( )( )( )DFSDFSNNNNxnXkhnHk ，11*001( )( )( )( )NNNNNNnkxn hnXk HkN19例例2：已知一周期序列已知一周期序列x(n)，周期，周期N=6,如下圖如下圖所示，求該序列的頻譜及時域表示式。所示，求該序列的頻譜及時域表示式。 -5 -1

9、 0 1 51nx(n)20v解解：根據DFS的定義式求周期序列的頻譜：02215660011()( )(0)(1)(5)61212cos ()66NjkjkjknnX kx n exxexeNk00000(0)1/2,()1/3,(2)0(3)1/6,(4)0,(5)1/3XXXXXX 2560022253666()()11112336121c o sc o s2336jknkjnjnjnxnXkeeeenn21二、非周期離散信號的頻譜分析二、非周期離散信號的頻譜分析（DTFT)DTFT)vDFSv離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換DTFTvDFS、DTFT與與CFT之間的關系之間的關系v

10、DTFT的性質的性質v信號的頻譜特點信號的頻譜特點221 1、DFSDFS0100( )()Njknkx nX ke001/200/211()( )( )NNjknjknnnNX kx n ex n eNN 如果周期序列如果周期序列x(n)的周期的周期N趨于趨于，則其頻譜，則其頻譜X(kX(k0 0) )將如何變化？將如何變化？周期為周期為N周期為周期為N232、離散時間傅立葉變換離散時間傅立葉變換DTFTv非周期序列可看作為周期序列的周期非周期序列可看作為周期序列的周期N的極限情況的極限情況00()( )limjknNnN X kx n ev極限情況下各諧波分量的復振幅極限情況下各諧波分量的

11、復振幅X(k0)000,(2/),NNdkT ( )()j njnx n eX e 10()( )( )Njj nnX ex n eX N為有限長序列為有限長序列頻譜密度頻譜密度24思思 考考vX()10()( )( )Njj nnX ex n eX 250110001( )lim()lim( )NNjknj nNNkkx nX keXeNDTFT反變換反變換0100( )()Njknkx nX ke120001limlim,22NNNkdN 201( )( )2j nx nXedDFS：NIDTFT26DTFT:10()( )( )Njj nnX ex n eX 201( )( )2j nx

12、 nXed27例例3：求有限長序列：求有限長序列x(n)的頻譜的頻譜0( )122othersx nnsin(21/2)()sin(/2)X解：解：22sin(21/2)()sin(/2)jnnXe 0( )0( )( )0XX 頻譜為連頻譜為連續的續的28例例4：已知一周期連續頻譜如圖所示，：已知一周期連續頻譜如圖所示，求其相應的序列求其相應的序列 m 0 m 0 m X( )129v解：由解：由DTFT定義式可知定義式可知2011( )( )22sin0mmj nj nmmmx nXedednnn v當n=0，則有1( )2mmmx nd 303、 DFS、DTFT與與CFT之間的關系之間

13、的關系vDTFT與與DFS： DTFT是是DFS當當N時情況時情況共同點：在時域時間是離散的，在頻域頻譜都是周期的。不同點：周期序列的頻譜是離散的，具有諧波性， X（k0）是諧波的復振幅，宜于計算機計算；非周期序列的頻譜是連續的，不具有諧波性， X（）表示的是頻譜密度，不利于計算機計算分析。vDTFTDTFT與與CFTCFT：共同點：在時域波形均為非周期，頻域均為頻譜密度函數，為連續頻譜。不同點：X（）是周期性的， X（）為非周期的31v采樣頻率：必須滿足采樣定理，否則容易引起。v采樣信號的截斷長度：必須取信號的一個基本周期或基本周期的整數倍長度， 否則容易引起。由于截取信號長度不當，從原來比

14、較集由于截取信號長度不當，從原來比較集中的譜線，出現了分散的擴展譜線中的譜線，出現了分散的擴展譜線324、DTFT的性質的性質( )( )ax nby n( )( )aXbY 0()x nn0( )j neX ()xn()X 0( )jnex n0()X ( )( )x ny n( ) ( )XY( )x n()X( )nx n( )dXjd( ) ( )x n y n1( ) ()2XYd 線性線性位移位移時間反向時間反向調制調制卷積卷積共軛共軛微分微分乘積乘積33例例5： 假設假設y(n)滿足零初始條件且滿足零初始條件且x(n)=(n)，求解下式線性常差分方程。求解下式線性常差分方程。v解解： 首先取差分方程中每項的DTFT：v因為x(n)的DTFT是X()=1( )0.25 (1)( )(2)y ny nx nx n2( )0.25( )( )( )jjYeYXeX 2211( )10.2510.2510.25jjjjjeeYeee v利用DTFT對1(0.25)( )10.25nDTFTju ne v利用線性和移位性質求得 2( )(0.25)( )(0.25)(2)nny nu nu n345 5、信號的頻譜特征、信號的頻譜特征v連續時間信號的頻譜是非周期的連續時間信號的頻譜是非周期的v離散時間信號的頻譜是周期的離散時間信號的頻譜是