1、1 你可能喜歡音樂，因為它有優美和諧的旋律；你可能喜歡音樂，因為它有優美和諧的旋律；你可能喜歡圖畫，因為它從視覺上反映人和自然你可能喜歡圖畫，因為它從視覺上反映人和自然 的美；那么，你應該更喜歡數學，因為它像音樂的美；那么，你應該更喜歡數學，因為它像音樂 一樣和諧，像圖畫一樣美麗，而且它在更深的層一樣和諧，像圖畫一樣美麗，而且它在更深的層 次上，揭示自然界和人類社會內在的規律，用簡次上，揭示自然界和人類社會內在的規律，用簡 潔的、漂亮的定理和公式描述世界的本質。潔的、漂亮的定理和公式描述世界的本質。 數學，有無窮的魅力！數學，有無窮的魅力！ 2一、漁網的幾何規律一、漁網的幾何規律 用數學方法可

2、以證明，無論你用什么繩索織一用數學方法可以證明，無論你用什么繩索織一片網，無論你織一片多大的網，它的結點數片網，無論你織一片多大的網，它的結點數(V)，網，網眼數眼數(F)，邊數，邊數(E)都必定適合下面的公式：都必定適合下面的公式： V + F E = 13多面體的歐拉公式多面體的歐拉公式 V + F E = 2 4 數學就有這樣的本領，能夠把看起來復雜數學就有這樣的本領，能夠把看起來復雜的事物變得簡明，把看起來混亂的事物理出的事物變得簡明，把看起來混亂的事物理出規律。規律。 5二、天津市南開區二、天津市南開區至少有兩個人頭發根數一樣多至少有兩個人頭發根數一樣多“存在性命題存在性命題” ：天

3、津市南開區中一定：天津市南開區中一定存在存在兩個頭發兩個頭發根數一樣多的人。根數一樣多的人。 對于存在性命題，通常有對于存在性命題，通常有兩類兩類證明方法：證明方法：一類是一類是構造性的證明構造性的證明方法，即把需要證明存在的事方法，即把需要證明存在的事物構造出來，便完成了證明；物構造出來，便完成了證明；一類是一類是純存在性證明純存在性證明，并不具體給出存在的事物，并不具體給出存在的事物，而是完全依靠邏輯的力量，證明事物的存在。而是完全依靠邏輯的力量，證明事物的存在。 6例如例如“任意兩個正整數都存在最大公約數任意兩個正整數都存在最大公約數” 這個存這個存在性命題，我們可以用在性命題，我們可以

4、用“輾轉相除法輾轉相除法”給出構造性給出構造性的證明，在證明最大公約數存在的同時，也給出了的證明，在證明最大公約數存在的同時，也給出了求最大公約數的方法。求最大公約數的方法。(例例：（：（210，1950）= 30 )再例如再例如“連續函數如果在兩個端點反號，則中間一連續函數如果在兩個端點反號，則中間一定存在零點定存在零點” 這個存在性命題，我們在教材中看到這個存在性命題，我們在教材中看到的和在課堂上聽到的，往往是純存在性證明，證明的和在課堂上聽到的，往往是純存在性證明，證明了零點的存在，但并不給出找到零點的方法。了零點的存在，但并不給出找到零點的方法。7天津市南開區天津市南開區至少有兩個人頭

5、發根數一樣多至少有兩個人頭發根數一樣多構造性證明構造性證明 ： 一個一個地去數天津市南開區中所有人的頭發一個一個地去數天津市南開區中所有人的頭發根數，一定可以找到兩個具體的人，不妨稱之為張根數，一定可以找到兩個具體的人，不妨稱之為張三和李四，他們的頭發根數一樣多，便完成了證明。三和李四，他們的頭發根數一樣多，便完成了證明。 8天津市南開區天津市南開區至少有兩個人頭發根數一樣多至少有兩個人頭發根數一樣多純存在性證明純存在性證明 ：“抽屜原理抽屜原理” 證明證明“367個人中至少有兩個人的生日是相同的個人中至少有兩個人的生日是相同的” 證明證明“天津市南開區中一定存在兩個頭發根數一樣天津市南開區中

6、一定存在兩個頭發根數一樣多的人多的人” 9 對于這個命題，純存在性證明的方法，對于這個命題，純存在性證明的方法，比用構造性證明的方法更可靠。比用構造性證明的方法更可靠。 10三、圓的魅力三、圓的魅力 車輪，是歷史上最偉大的發明之一車輪，是歷史上最偉大的發明之一圓，是平面圖形中對稱性最強的圖形圓，是平面圖形中對稱性最強的圖形周長與直徑之比是一個常數周長與直徑之比是一個常數這個常數是無理數、超越數這個常數是無理數、超越數面積相等的圖形中圓的周長最短面積相等的圖形中圓的周長最短規尺作圖化圓為方不可做規尺作圖化圓為方不可做11四、四、“三角形三內角之和等于三角形三內角之和等于180度，度，這個命題不好

7、這個命題不好” 這句話是這句話是1978年數學大師陳省身先生在北京大學的年數學大師陳省身先生在北京大學的一次演講中說的，后來又多次說過。一次演講中說的，后來又多次說過。所以，這不是隨便說的一句話。所以，這不是隨便說的一句話。陳先生并沒有說陳先生并沒有說“三角形三內角之和等于三角形三內角之和等于180度，度，這個命題不對這個命題不對”，而是說，而是說“這個命題不好這個命題不好”。 12三角形三內角之和 = 180 度 n 邊形 n 內角之和 = ？ n 邊形 n 內角之和 = 180 度 ( n 2 ) 13n 邊形 n 外角之和 = 360 度不變量 曲邊形（向量組的秩；矩陣的秩） 14高斯博

8、內公式高斯博內公式 當積分區域是整個閉曲面當積分區域是整個閉曲面M時，有時，有 = 2 （M） 其中其中k 是高斯曲率，是高斯曲率，（M）是）是M的歐拉示性數。這一高的歐拉示性數。這一高斯博內公式的左面是一個由局部性質（曲率）表示的量，斯博內公式的左面是一個由局部性質（曲率）表示的量，但是，公式的右面卻只和曲面整體的拓撲不變量。高斯博但是，公式的右面卻只和曲面整體的拓撲不變量。高斯博內公式的重要意義在于：它用曲面的局部不變量刻畫了整體內公式的重要意義在于：它用曲面的局部不變量刻畫了整體性質。性質。kd15五、四色問題五、四色問題 四色問題也稱四色問題也稱“四色猜想四色猜想”或或“四色定理四色定

9、理”，它于，它于1852年年首先由一位英國大學生首先由一位英國大學生F古色利提出。古色利提出。他在為一張英國地圖著色時發現他在為一張英國地圖著色時發現,為了使任意兩個具有公共為了使任意兩個具有公共邊界的區域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。邊界的區域顏色不同，似乎只需要四種顏色就夠了。但是他證明不了這一猜想。于是寫信告訴他的弟弟弗雷德里但是他證明不了這一猜想。于是寫信告訴他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克轉而請教他的數學老師克。弗雷德里克轉而請教他的數學老師,杰出的英國數學家杰出的英國數學家德德摩根，希望幫助給出證明。摩根，希望幫助給出證明。16 德德摩根很容易地證明了三種顏色是不夠的摩根很容易

10、地證明了三種顏色是不夠的,至少至少要四種顏色。下圖就表明三種顏色是不夠的。要四種顏色。下圖就表明三種顏色是不夠的。 17但德但德摩根未能解決這個問題摩根未能解決這個問題,就又把這個問題轉給了其他數就又把這個問題轉給了其他數學家學家,其中包括著名數學家哈密頓。其中包括著名數學家哈密頓。但這個問題當時沒有引起數學家的重視。但這個問題當時沒有引起數學家的重視。直到直到1878年年,英國數學家凱萊對該問題進行了一番思考后，英國數學家凱萊對該問題進行了一番思考后，認為這不是一個可以輕易解決的問題，并于當年在認為這不是一個可以輕易解決的問題，并于當年在倫敦數倫敦數學會文集學會文集上發表了一篇上發表了一篇論

11、地圖著色論地圖著色的文章的文章,才引起了才引起了更大的注意。更大的注意。 181879年，一位英國律師肯泊在年，一位英國律師肯泊在美國數學雜志美國數學雜志上上發表論文，宣布證明了發表論文，宣布證明了“四色猜想四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年輕人指出，肯泊的但十一年后，一位叫希伍德的年輕人指出，肯泊的證明中有嚴重錯誤。證明中有嚴重錯誤。 19一個看來簡單，且似乎容易說清楚的問題，居然如此困難，一個看來簡單，且似乎容易說清楚的問題，居然如此困難，這引起了許多數學家的興趣，體現了該問題的魅力。這引起了許多數學家的興趣，體現了該問題的魅力。實際上，對于地圖著色來說實際上，對于地圖著色來說,各個

12、地區的形狀和大小并不重各個地區的形狀和大小并不重要要,重要的是它們的相互位置。重要的是它們的相互位置。下圖中的三個地圖對地圖著色來說都是等價的。從數學上看下圖中的三個地圖對地圖著色來說都是等價的。從數學上看,問題的實質在于地圖的問題的實質在于地圖的“拓撲結構拓撲結構”。 20一百多年來許多數學家對四色問題進行了大量的研究一百多年來許多數學家對四色問題進行了大量的研究,獲得獲得了一系列成果。了一系列成果。1920年弗蘭克林證明了年弗蘭克林證明了,對于不超過對于不超過25個國家的地圖個國家的地圖,四色猜四色猜想是正確的。想是正確的。1926年雷諾茲將國家的數目提高到年雷諾茲將國家的數目提高到27個

13、。個。1936年弗蘭克林將國家的數目提高到年弗蘭克林將國家的數目提高到31個。個。1968年挪威數學家奧雷證明了年挪威數學家奧雷證明了,不超過不超過40個國家的地圖可以個國家的地圖可以用四種顏色著色。但是，他們都沒有最終證明用四種顏色著色。但是，他們都沒有最終證明“四色猜想四色猜想”。 21四色問題的解決四色問題的解決直到直到1972年，美國依利諾大學的哈肯和阿佩爾在前年，美國依利諾大學的哈肯和阿佩爾在前人給出算法的基礎上，開始用計算機進行證明。人給出算法的基礎上，開始用計算機進行證明。到到1976年年6月月,他們終于獲得成功。他們使用了他們終于獲得成功。他們使用了3臺臺IBM360型超高速電

14、子計算機型超高速電子計算機,耗時耗時1200小時小時,終于證終于證明了四色猜想。明了四色猜想。 22這是一個驚人之舉。當這項成果在這是一個驚人之舉。當這項成果在1977年發表時年發表時,當地郵局特地制作了紀念郵戳當地郵局特地制作了紀念郵戳四色足夠四色足夠(FOUR COLORS SUFFICE)，加蓋在當時的信件上。，加蓋在當時的信件上。 23拓展了人們對拓展了人們對“證明證明”的理解的理解由于這是第一次用計算機證明數學定理，所以哈肯由于這是第一次用計算機證明數學定理，所以哈肯和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個難題，而且從和阿佩爾的工作，不僅是解決了一個難題，而且從根本上拓展了人們對根本上拓展了

15、人們對“證明證明”的理解，引發了數學的理解，引發了數學家從數學及哲學方面對家從數學及哲學方面對“證明證明”的思考。的思考。24六、素數的奧秘六、素數的奧秘自然數是整個數學最重要的元素。自然數是整個數學最重要的元素。自然數中有一種特別基本又特別重要的數，稱為自然數中有一種特別基本又特別重要的數，稱為“素數素數”。素數是大于素數是大于1的自然數中，只能被自己和的自然數中，只能被自己和1整除的數；整除的數；大于大于1的自然數中不是素數的都稱為的自然數中不是素數的都稱為“合數合數”；1則既不是素數也不是合數。則既不是素數也不是合數。 25由于在大于由于在大于1的自然數中，素數的因子最少，所以的自然數中

16、，素數的因子最少，所以素數是特別簡單的數。素數是特別簡單的數。又由于一切大于又由于一切大于1的自然數都能夠從素數通過乘法的自然數都能夠從素數通過乘法得到，所以素數又是特別基本的數。得到，所以素數又是特別基本的數。素數很早就被古希臘的數學家所研究。素數很早就被古希臘的數學家所研究。2300多年前歐幾里得的幾何多年前歐幾里得的幾何原本原本第第9卷的定理卷的定理20，就給出了，就給出了“素數有無窮多個素數有無窮多個”的漂亮證明。的漂亮證明。 26但是，素數的有些規律，表述出來很容易聽懂，研但是，素數的有些規律，表述出來很容易聽懂，研究起來卻出人意料地困難。（當然，素數的有些規究起來卻出人意料地困難。

17、（當然，素數的有些規律表述出來也是相當復雜的。）律表述出來也是相當復雜的。）關于素數的規律，人類有許多的關于素數的規律，人類有許多的“猜想猜想”。至今還。至今還有不少關于素數的重要猜想，既沒有被證明，也沒有不少關于素數的重要猜想，既沒有被證明，也沒有被否定。有被否定。有的猜想的解決，現在看來可能會十分遙遠。有人有的猜想的解決，現在看來可能會十分遙遠。有人甚至預言，甚至預言，“人類探尋素數規律的歷史，將等同于人類探尋素數規律的歷史，將等同于人類的整個文明史人類的整個文明史”。 27三個關于素數規律的問題三個關于素數規律的問題 從加法的角度研究素數從加法的角度研究素數 從乘法的角度研究素數從乘法的

18、角度研究素數 找一個公式來表示素數找一個公式來表示素數 28從加法的角度研究素數從加法的角度研究素數兩個猜想：兩個猜想： 每個足夠大的偶數都是兩個素數的和；每個足夠大的偶數都是兩個素數的和； 每個足夠大的奇數都是三個素數的和。每個足夠大的奇數都是三個素數的和。后一個猜想現在已被證明；前一個猜想至今卻既沒后一個猜想現在已被證明；前一個猜想至今卻既沒有人舉出反例，也沒有人給出證明。有人舉出反例，也沒有人給出證明。前者就是著名的前者就是著名的“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”。29從乘法的角度研究素數從乘法的角度研究素數算術基本定理：任一個大于算術基本定理：任一個大于1的自然數，都可以被表示為有的自然數，

19、都可以被表示為有限個素數（可以重復）的乘積，并且如果不計次序的話，表限個素數（可以重復）的乘積，并且如果不計次序的話，表法是唯一的。法是唯一的。算術基本定理早已被證明，但不是采用算術基本定理早已被證明，但不是采用“構造性構造性”的證明的證明 。未解之謎：這個問題是：對任一個大于未解之謎：這個問題是：對任一個大于1的自然數，試給出的自然數，試給出一個一般的方法，以便較快地找到有限個素數（可以重復），一個一般的方法，以便較快地找到有限個素數（可以重復），使它們的乘積等于那個預先寫出的大于使它們的乘積等于那個預先寫出的大于1的自然數。的自然數。 30 下面用下面用“構造性構造性”證明的思路，來試圖找

20、證明的思路，來試圖找到解決的辦法，同時也體會它的困難所在。到解決的辦法，同時也體會它的困難所在。 31解決問題的困難解決問題的困難不嚴格的地方，或者說不嚴格的地方，或者說“跳步跳步”的地方，就在最前面的兩步。的地方，就在最前面的兩步。 即，如何較快地判斷即，如何較快地判斷“a是否素數是否素數”；及當判斷出；及當判斷出a不是素不是素數后如何較快地找到數后如何較快地找到b，得到，得到a = b c 。解決問題的本質困難，也在這兩個步驟。雖然現在有了高速解決問題的本質困難，也在這兩個步驟。雖然現在有了高速計算機，但是對于很大的數計算機，但是對于很大的數a，例如，例如200位的數位的數a，這兩步的，這

21、兩步的計算仍然很費時日，以至于實際上是不可能解決問題的計算仍然很費時日，以至于實際上是不可能解決問題的 32這樣的困難，反倒給密碼通訊提供了思路這樣的困難，反倒給密碼通訊提供了思路 a = b c （ b 、c是兩個很大的素數是兩個很大的素數，比如都是，比如都是100位的大素數位的大素數 ）在造密碼時，你可以把在造密碼時，你可以把a 公開，但公開，但b 、c對外保密，只有對外保密，只有“我方我方”了解。了解。 必須知道必須知道b 、c才能破譯密碼。才能破譯密碼。 “敵方敵方”只知道只知道a和密文，就無法了解密文的意思。要想破譯密文，首和密文，就無法了解密文的意思。要想破譯密文，首先需要把先需要

22、把a分解為分解為b c 。但是因為。但是因為a 這個數很大，以及上面提到的本質這個數很大，以及上面提到的本質困難，把困難，把a分解為分解為b c是很費時日的。是很費時日的。 33找一個公式來表示素數找一個公式來表示素數費馬素數費馬素數 (1640年年) Fn = 2 2n + 1 梅森素數梅森素數 (1644年年) Mn = 2n 1 （n = 2、3、5、7、13、17、31、67、127、257 ）“梅森數中是否有無窮個素數梅森數中是否有無窮個素數”的問題，也是未解之謎。的問題，也是未解之謎。 34關于費馬素數關于費馬素數 ，n = 5 時，時， Fn = 4294967297 = 641

23、 6700417 梅森的判斷中有五個錯誤：梅森的判斷中有五個錯誤： n = 67、257時時Mn不是素數；不是素數； 而而n = 61、89、107時時Mn是素數。是素數。 35科爾：科爾：大數的因子分解大數的因子分解 1903年年10月月267 1193707721 761838257287267 1 = 193707721 761838257287科爾一言未發；會場上爆發了熱烈的掌聲。科爾一言未發；會場上爆發了熱烈的掌聲。36七、七、“蒲豐投針蒲豐投針”的故事的故事 37八、八、“化歸化歸”的方法的方法 “化歸化歸”，是把未知的問題，轉化為已知的，是把未知的問題，轉化為已知的問題；把待解決

24、的問題，歸結為已解決的問問題；把待解決的問題，歸結為已解決的問題，從而解決問題的過程。題，從而解決問題的過程。 波利亞：關于波利亞：關于“燒水燒水”的例子的例子 38九、體會公式九、體會公式 中的數學美中的數學美 可以從公式 中， 令 = 推出來。公式 ，用 “等號” 連接了數學中五個重要的常數，反映了數學的“統一美”。 10ie 10ie cossiniei10ie 39 M克萊因（克萊因（Felix Klein,18491925）：）： 音樂能激發或撫慰人的感情，繪畫使人賞心音樂能激發或撫慰人的感情，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人聰慧，科學可以悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人聰慧

25、，科學可以改善生活，而數學能做到所有這一切。改善生活，而數學能做到所有這一切。 40【思考題思考題】 請你舉一個例子，展示數學的魅力。請你舉一個例子，展示數學的魅力。 4142 抓三堆：抓三堆： 有三堆谷粒（例如有三堆谷粒（例如100粒、粒、200粒、粒、300粒），甲、粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可粒，可抓任意多粒；甲先抓，規定誰抓到最后抓任意多粒；甲先抓，規定誰抓到最后 一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？43提示：提示： 二進制二進制44“抓三堆”的二進制解法 用二進制表示這三堆谷粒數，寫成三

26、行，并上下對齊，各列相加，用二進制表示這三堆谷粒數，寫成三行，并上下對齊，各列相加，列的加法定義為列的加法定義為 這就是這就是模模2 2加法加法。（只要是。（只要是2 2的倍數，就記為的倍數，就記為0 0） 關于關于模模2 2加法加法，可以推廣；比如推廣為，可以推廣；比如推廣為 模模7 7加法：加法： 例例1 1：如果：如果1 1號是星期一，問號是星期一，問 2727號是星期幾？號是星期幾？ 解答解答：2727號與號與1 1號相差號相差2626天，因為天，因為 ，說明過去，說明過去3 3個個7 7天之后，天之后，再過再過5 5 天，這樣天，這樣2727號這天就是星期一再加上號這天就是星期一再加上5 5天，即星期六。（事實上，天，即星期六。（事實上，這里只要是有這里只要是有7 7的倍數，就都可以記為的倍數，就都可以記為0 0。）。） 例例2 2：如果：如果1 1號是星期三，問號是星期三，問 2727號是星期幾？（答：星期一）號是星期幾？（答：星期一） 0+0=0 ; 0+1=1 ; 1+0=1 ; 1+1=0267 35 45思思：如果9月 號是星期 ， 問 9月 號是星期幾？xyz46 我們斷言