1、5.3 實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積(第一課時(shí)第一課時(shí))aAOaBaCMaNaQPa()()()PNPQQMMNaaa 由上圖可知：由上圖可知： OC OA AB BCa a a 記作記作3a記作記作3 a3a從上圖中我們可以直觀的看出：從上圖中我們可以直觀的看出：（1） 與與 方向方向_，且，且3aa|3 |_ |aa（2） 與與 方向方向_，且，且3aa| 3 |_ |aa如圖，已知非零向量如圖，已知非零向量 。求作向量求作向量 及及aaa()()()aaa aa33相反相反相同相同 一般地，實(shí)數(shù) 與向量 的積仍然是一個(gè)向量，記作 ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： aa 2 2）方向： 當(dāng) 時(shí)，

2、 與 的方向_ 當(dāng) 時(shí)， 與 的方向_ 當(dāng) 時(shí)， （可為任意方向）0aaa00aa0一）一） 實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積的的定義定義| _ |aa1）長(zhǎng)度： 思考題 ：在實(shí)數(shù) 與向量 的積中，實(shí)數(shù) 起的作用是什么？a答：1） 的絕對(duì)值決定著 與向量 的長(zhǎng)度之間的倍數(shù)關(guān)系 2） 的符號(hào)決定著 與向量 是同向還是反向 （若 ， 的方向是任意的） aaaa0a相同相反|提示提示 1）這個(gè)運(yùn)算律與代數(shù)運(yùn)算中實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律很相似，只是以上兩個(gè)分配律中，由于乘積因子不同，可分為第一分配律、第二分配律 2）我們可以應(yīng)用這個(gè)運(yùn)算律，對(duì)向量代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn),如：例題1二）實(shí)數(shù)與向量的積滿足的二）實(shí)數(shù)與向量的積

3、滿足的運(yùn)算律運(yùn)算律 設(shè) 、 是實(shí)數(shù)，根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的積的定義，那么有m()abab（第二分配律）3）()()aa mm1）（結(jié)合律）()aaamm2）（第一分配律）典例精析與規(guī)律、方法、技巧總結(jié) 題型一 關(guān)于實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算 例1 計(jì)算： 1） 2）( 3) 4a3()2()ababa解：1）原式( 3 4)a 【點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)】實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則類似于實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算法則類似于整式的加減法運(yùn)算法則整式的加減法運(yùn)算法則 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)向量代數(shù)式向量代數(shù)式就像是計(jì)算多項(xiàng)式一樣去就像是計(jì)算多項(xiàng)式一樣去“合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)”3322ababa2）原式5b12a 對(duì)于向量 、

4、 ，如果有一個(gè)實(shí)數(shù) ， 使 ，b(0)a a ba那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義實(shí)數(shù)與向量的積的定義知， 與 共線。ab定理定理 向量 與非零非零向量 共線的充要條件充要條件是有且只有且只 有一個(gè)有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使得 baba已知向量 與 共線。b(0)a a 當(dāng) 與 反方向時(shí)，有bam ab那么么當(dāng) 與 同方向時(shí)，有 abbam設(shè)向量 的長(zhǎng)度是向量 的長(zhǎng)度的 倍，即 ba|:|bamm三）向量共線的三）向量共線的充要條件充要條件 （也叫（也叫向量共線定理向量共線定理）充分性充分性:必要性必要性：提示提示：（1）要證明向量 、 共線，只須證明存在實(shí)數(shù) 使得 即可（2）如果 ，則實(shí)數(shù) 仍然存在，但不唯

5、一， 它可以是任意實(shí)數(shù)（3）應(yīng)用此定理，可以證明三點(diǎn)共線、兩直線三點(diǎn)共線、兩直線平行平行的問(wèn)題abba0ab注意：注意：向量平行向量平行與與直線平行直線平行是有區(qū)別的，直線平行是有區(qū)別的，直線平行 不包括重合的情況。不包括重合的情況。典例精析與規(guī)律、方法、技巧總結(jié) 題型二 有關(guān)向量共線問(wèn)題有關(guān)向量共線問(wèn)題 例例2 已知兩個(gè)非零向量 和 不共線 ，且 ， 。求證：、 三點(diǎn)共線1e2e 1223ABee 12623BCee 1248CDee 分析：要證、三點(diǎn)共線，只須證與共線， 也就是需要求證AB ADADAB AB AD所以，向量和共線例例2 已知兩個(gè)非零向量 和 不共線 ,且 ， 。 求證求證

6、： A、B、D三點(diǎn)共線1e2e 1223ABee 12623BCee 1248CDee ADABBCCD 證明證明121212(23 )(623 )(48)eeeeee 121218ee 6AB 又和有共同的起點(diǎn)共同的起點(diǎn)A A、B、D三點(diǎn)共線AB AD126(23 )ee 另外，本題也可以先計(jì)算另外，本題也可以先計(jì)算 然后與然后與 相比較相比較AB BD 例例已知非零向量 和不共線，要使 和 共線。試確定實(shí)數(shù) 的值。1e2e 12kee k12eke 分析分析：若 與 共線共線， 則一定存在 ， 使得 1212()keeeke 12kee 12eke 所以只能有0110kkk 解解： 與 共

7、線12kee 12eke 由于由于 與與 不共線不共線1e2e 即12()(1)keke 1212()keeeke 存在實(shí)數(shù) 使小結(jié)小結(jié)：以上兩個(gè)例題分別從正反兩個(gè)方面運(yùn)用了 向量共線的充要條件： 與 共線 存在 使abba知識(shí)結(jié)構(gòu)圖知識(shí)結(jié)構(gòu)圖實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積 定定 義：義：1)大小；大小；2)方向方向運(yùn)算律（運(yùn)算律（3條）條）向量共線充要條件向量共線充要條件 1 掌握好實(shí)數(shù)與向量的積這一運(yùn)算的關(guān)鍵在于明確掌握好實(shí)數(shù)與向量的積這一運(yùn)算的關(guān)鍵在于明確這一運(yùn)算的結(jié)果仍然是向量，要按這一運(yùn)算的結(jié)果仍然是向量，要按大小和方向大小和方向兩個(gè)要素兩個(gè)要素去理解及應(yīng)用。去理解及應(yīng)用。 2向量共線充要條件實(shí)際上是由實(shí)數(shù)與向量的積的向量共線充要條件實(shí)際上是由實(shí)數(shù)與向量的積的定義得到的，利