1、10.2 10.2 直線與曲面立體相交直線與曲面立體相交10.6 10.6 復合相貫線復合相貫線求相貫線求相貫線第第1010章章 立體與立體相交立體與立體相交10.4 10.4 平面立體與曲面立體相交平面立體與曲面立體相交10.5 10.5 曲面立體與曲面立體相交曲面立體與曲面立體相交10.1 10.1 概述概述10.3 10.3 平面立體與平面立體相交平面立體與平面立體相交兩立體表面相交時，它們表面的交線稱為相貫線。兩立體表面相交時，它們表面的交線稱為相貫線。 10.1 10.1 概述概述立體與立體相交可分為三種情況：立體與立體相交可分為三種情況： (1) 兩平面立體相交。兩平面立體相交。(

2、2) 平面立體與曲面立體相交。平面立體與曲面立體相交。 (3) 兩曲面立體相交。兩曲面立體相交。1 1相貫線的性質及形狀相貫線的性質及形狀 相貫線是兩立體表面的相貫線是兩立體表面的共有線共有線；也是相交兩立體表面的；也是相交兩立體表面的分界線分界線；相貫；相貫 線上的點是兩立體表面的線上的點是兩立體表面的共有點共有點; ; 由于立體都有一定的范圍，所以相貫線都是封閉的線，一般為封閉的由于立體都有一定的范圍，所以相貫線都是封閉的線，一般為封閉的 空間折線空間折線或或空間曲線空間曲線； 不同的立體以及不同的相貫位置不同的立體以及不同的相貫位置, ,相貫線的形狀也不同相貫線的形狀也不同-全貫全貫和和

3、互貫互貫。 求相貫線實質上是求兩立體表面一系列共有點，然后依次光滑連接，求相貫線實質上是求兩立體表面一系列共有點，然后依次光滑連接，并判可性。一般地說這些共有點是一個立體的素線與另一立體表面的交并判可性。一般地說這些共有點是一個立體的素線與另一立體表面的交點，也稱為點，也稱為貫穿點貫穿點。 2 2求相貫線的方法求相貫線的方法3 3判別相貫線可見性的原則判別相貫線可見性的原則 只有位于兩形體都可見的側面上的交線，是可見的。只要有一個側只有位于兩形體都可見的側面上的交線，是可見的。只要有一個側面不可見，面上的交線就不可見。面不可見，面上的交線就不可見。10.2 10.2 直線與曲面立體相交直線與曲

4、面立體相交 直線與立體相交，其交點稱為貫穿點，是直線與直線與立體相交，其交點稱為貫穿點，是直線與立體的共有點和分界點，也是直線穿入和穿出點，體立體的共有點和分界點，也是直線穿入和穿出點，體內部分不畫線。內部分不畫線。 直線與平面立體表面交點的求法，實際上是直線直線與平面立體表面交點的求法，實際上是直線與平面交點的求法。與平面交點的求法。 1.1.利用積聚性求貫穿點利用積聚性求貫穿點 當直線或立體表面的某投影具有積聚性時，則在當直線或立體表面的某投影具有積聚性時，則在具有積聚性的投影上，可得到貫穿點的第一個投影，具有積聚性的投影上，可得到貫穿點的第一個投影，再用面上或線上取點法，求作貫穿點的第二

5、投影。再用面上或線上取點法，求作貫穿點的第二投影。 例例11 求作直線與圓柱的貫穿點。求作直線與圓柱的貫穿點。 abab(m)mnn 例例22 求垂直線求垂直線ABAB，CDCD與圓錐的貫穿點。與圓錐的貫穿點。 2.2.利用輔助平面法求貫穿點利用輔助平面法求貫穿點 應該注意的是：在選擇輔助平面時，應使輔助平面與曲面立應該注意的是：在選擇輔助平面時，應使輔助平面與曲面立體截交線的投影，為簡單而易畫的直線或緯圓。體截交線的投影，為簡單而易畫的直線或緯圓。作圖步驟：作圖步驟： (1)(1)包含已知直線作輔助面包含已知直線作輔助面; ; (2)(2)求出輔助平面與立體的截交線求出輔助平面與立體的截交線

6、; ; (3)(3)截交線與已知直線的交點即為所求的貫穿點。截交線與已知直線的交點即為所求的貫穿點。 例例33 求直線求直線ABAB與圓錐的貫穿點與圓錐的貫穿點3.3.利用換面法求貫穿點利用換面法求貫穿點* * 例例44 求一般位置直線求一般位置直線ABAB與圓球的貫穿點。與圓球的貫穿點。 10.3 10.3 平面立體與平面立體相交平面立體與平面立體相交 平面立體與平面立體相貫時，由于平面立體是平面立體與平面立體相貫時，由于平面立體是由平面組成的，因此兩平面立體的相貫線由折線組由平面組成的，因此兩平面立體的相貫線由折線組成。折線的每一段都是成。折線的每一段都是A A形體的一個側面與形體的一個側

7、面與B B形體的形體的一個側面的交線，折線的轉折點就是一個形體的側一個側面的交線，折線的轉折點就是一個形體的側棱與另一形體的側面的交點。棱與另一形體的側面的交點。 相貫線實質就是相貫線實質就是平面與平面立體的截交線平面與平面立體的截交線，整，整個相貫線是由封閉的若干段平面截交線組成的。個相貫線是由封閉的若干段平面截交線組成的。 例例44 兩平面立體相貫，完成相貫線的投影兩平面立體相貫，完成相貫線的投影 1yyy題步驟解題步驟1 1分析分析 相貫相貫線的正面投影已線的正面投影已知，水平投影和知，水平投影和側面投影未知；側面投影未知；2 2求出相貫線求出相貫線上的折點上的

8、折點、 、 ；3 3順次地連接順次地連接各點，作出相貫各點，作出相貫線，并且判別可線，并且判別可見性；見性；4 4整理輪廓線整理輪廓線。 例例55 兩平面立體相貫，完成相貫線的投影兩平面立體相貫，完成相貫線的投影 123132456解題步驟解題步驟1 1分析分析 相貫線為左右兩組折線相貫線為左右兩組折線；相貫線的正面投影已知，水平投；相貫線的正面投影已知，水平投影未知；相貫線的投影前后、左右影未知；相貫線的投影前后、左右對稱對稱2 2求出相貫線上的折點求出相貫線上的折點、 、 、 、 ；3 3順次地連接各點，作出相貫線順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；，并且判別可見性；4 4整理輪廓

9、線。整理輪廓線。456 例例66 兩平面立體相貫，完成相貫線的投影兩平面立體相貫，完成相貫線的投影 解題步驟解題步驟1 1分析分析 相貫線為一組閉合折線，相貫線相貫線為一組閉合折線，相貫線的正面投影未知，水平投影已知；相貫線的正面投影未知，水平投影已知；相貫線的投影前后、左右對稱。的投影前后、左右對稱。2 2求出相貫線上的折點求出相貫線上的折點、 等；等；3 3順次地連接各點，作出相貫線，并且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；判別可見性；4 4整理輪廓線。整理輪廓線。21123310.4 10.4 平面立體與曲面立體相交平面立體與曲面立體相交 平面立體與曲面立體相貫時，由于平面立體是

10、平面立體與曲面立體相貫時，由于平面立體是由平面組成的，這些平面與曲面立體的相貫線實質由平面組成的，這些平面與曲面立體的相貫線實質就是就是平面與曲面立體的截交線平面與曲面立體的截交線，整個相貫線是由封，整個相貫線是由封閉的若干段平面截交線組成的，而每段連接交點就閉的若干段平面截交線組成的，而每段連接交點就是是平面立體棱線與曲面立體的貫穿點平面立體棱線與曲面立體的貫穿點。 因此求平面立體與曲面立體的相貫線，可歸納因此求平面立體與曲面立體的相貫線，可歸納為求平面與曲面立體的截交線和直線與曲面立體為求平面與曲面立體的截交線和直線與曲面立體貫穿點的問題。貫穿點的問題。 例例77 求三棱柱與圓錐的相貫線。

11、求三棱柱與圓錐的相貫線。 例例88 平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影 解題步驟解題步驟1 1分析分析 相貫線為三段圓弧的相貫線為三段圓弧的組合組合; ;相貫線的水平投影已知，相貫線的水平投影已知，可利用表面取點法求共有點；可利用表面取點法求共有點；2 2求出相貫線上的特殊點求出相貫線上的特殊點、 、 、 ；3 3求出若干個一般點求出若干個一般點、；4 4光滑且順次地連接各點，作光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別可見性；出相貫線，并且判別可見性；5 5整理輪廓線。整理輪廓線。THSHPH35QH1239867124546789 例例9 9

12、平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影平面立體與曲面立體相貫，完成相貫線的投影 解題步驟解題步驟1 1分析分析 相貫線為圓相貫線為圓弧和雙曲線的組合；弧和雙曲線的組合；相貫線的側面投影已相貫線的側面投影已知，可利用表面取點知，可利用表面取點法求共有點；法求共有點；2 2求出相貫線上的特求出相貫線上的特殊點殊點、 、 ；3 3求出一般點求出一般點 ；4 4光滑且順次地連接光滑且順次地連接各點，作出相貫線，各點，作出相貫線，并且判別可見性；并且判別可見性；5 5整理輪廓線。整理輪廓線。10.5 10.5 曲面立體與曲面立體相交曲面立體與曲面立體相交 兩曲面立體的相貫線，在一般情況下是封兩曲面立體

13、的相貫線，在一般情況下是封閉的空間曲線，相貫線上每個點都是兩曲面立閉的空間曲線，相貫線上每個點都是兩曲面立體表面的共有點。體表面的共有點。 相貫線是兩曲面立體表面的相貫線是兩曲面立體表面的共有線共有線，相貫線上的點是兩曲，相貫線上的點是兩曲面立體表面的面立體表面的共有點共有點。 不同的立體以及不同的相貫位置，相貫線的形狀也不同。不同的立體以及不同的相貫位置，相貫線的形狀也不同。一般情況下兩回轉體相貫，相貫線為封閉的一般情況下兩回轉體相貫，相貫線為封閉的空間曲線空間曲線，特殊，特殊情況為情況為平面曲線平面曲線或或直線直線。1.1.兩回轉體相交兩回轉體相交, ,交線為相貫線交線為相貫線相貫線相貫線

14、2.2.相貫線為二立體表面的公共線相貫線為二立體表面的公共線3.3.相貫線一般為封閉的空間曲線相貫線一般為封閉的空間曲線圓柱與圓錐圓柱與圓錐相貫線為二立體表面公共線相貫線為二立體表面公共線相貫線相貫線相貫線相貫線圓柱與圓柱圓柱與圓柱封閉的空間曲線封閉的空間曲線10.5.1 10.5.1 兩回轉體相交兩回轉體相交一、曲面立體相貫線的性質圖例一、曲面立體相貫線的性質圖例二、曲面立體相貫的三種基本形式二、曲面立體相貫的三種基本形式2 2 外表面與內表面相交；外表面與內表面相交；1 1 兩外表面相交；兩外表面相交；3 3 兩內表面相交。兩內表面相交。三、求曲面立體相貫線的方法三、求曲面立體相貫線的方法

15、1表面取點法表面取點法2輔助平面法輔助平面法3輔助球面法輔助球面法求曲面立體相貫線的方法有：求曲面立體相貫線的方法有：四、求相貫線的一般步驟四、求相貫線的一般步驟2 2求作相貫線上的求作相貫線上的特殊點特殊點。3 3根據需要求出若干個一般點。根據需要求出若干個一般點。4 4光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并判別可見性。光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并判別可見性。5 5整理輪廓線。整理輪廓線。特殊點特殊點分析分析: :1.相貫線水平投影不用求相貫線水平投影不用求2.相貫線側面投影不用求相貫線側面投影不用求作圖作圖: :最前點最前點 1最后點最后點 2最低點最低點最左點最左點 3最右點最右點

16、 4最高點最高點2.適當求一般點適當求一般點3.連線連線1?2?3?4?12341?2?1.求特殊點求特殊點4?3? 例例10 10 求二圓柱的相貫線求二圓柱的相貫線1. 1. 利用積聚性的表面取點法利用積聚性的表面取點法 圓柱表面交線的三種情況圓柱表面交線的三種情況 兩外表面相交兩外表面相交外表面與內表面相交外表面與內表面相交兩內表面相交兩內表面相交 兩正交圓柱兩正交圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢變化趨勢 例例1111 求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影 a“(b“)abc“abcdd(d)e“(f “)ef(e)(f )ghyyg“(h“)ghcb(f )其他形式的

17、兩圓柱相貫線其他形式的兩圓柱相貫線當相對位置發生變化時，當相對位置發生變化時，兩圓柱兩圓柱相貫線相貫線的的變化趨勢變化趨勢 例例12 12 求作正面投影求作正面投影 例例1313 求作水平投影求作水平投影 外形交線外形交線 兩外表面相貫兩外表面相貫 一內表面和一外表面相貫一內表面和一外表面相貫 內形交線內形交線 兩內表面相貫兩內表面相貫 例例1414 求圓柱的相貫線求圓柱的相貫線* 無輪是兩外表面相貫，無輪是兩外表面相貫，還是一內表面和一外表面還是一內表面和一外表面相貫，或者兩內表面相貫，相貫，或者兩內表面相貫，求相貫線的方法和思路是求相貫線的方法和思路是一樣的。一樣的。小小 結：結：2、利用

18、輔助平面法求相貫線輔助面的選用原則輔助面的選用原則 例例1515 求圓柱與圓錐的相貫線求圓柱與圓錐的相貫線yyPW1PV14yy4 PV2PW23PV3PW351112 22453 35 解題步驟解題步驟1 1 分析分析 相貫線的相貫線的側面投影已知，可側面投影已知，可利用輔助平面法求利用輔助平面法求共有點；共有點；2 2 求出相貫線上的求出相貫線上的特殊點特殊點 、 、；3 3 求出若干個一般求出若干個一般點點 、；4 4 光滑且順次地連光滑且順次地連接各點，作出相貫接各點，作出相貫線，并且判別可見線，并且判別可見性；性；5 5 整理輪廓線。整理輪廓線。用輔助平面求共有點示意圖用輔助平面求共

19、有點示意圖用水平面作為輔助平面求共有點用水平面作為輔助平面求共有點圓柱與圓錐圓柱與圓錐相貫線相貫線的的變化趨勢（一）變化趨勢（一）圓柱與圓錐圓柱與圓錐相貫線相貫線的的變化趨勢（二）變化趨勢（二） 圓柱圓柱與圓錐相貫線與圓錐相貫線的的變化趨勢變化趨勢 例例1616 求圓球與圓錐的相貫線求圓球與圓錐的相貫線PW3PV3PV1yy55343543112122yy4 解題步驟解題步驟1 1分析分析 相貫相貫線的三個投影均線的三個投影均未知，可利用輔未知，可利用輔助平面法求共有助平面法求共有點；點；2 2求出相貫線求出相貫線上特殊點上特殊點 、 、；4 4光滑且順次光滑且順次地連接各點，作地連接各點，作

20、出相貫線，并且出相貫線，并且判別可見性；判別可見性；5 5整理輪廓素整理輪廓素線。線。3 3求出若干個求出若干個一般點一般點 、；PW2 PV2用輔助平面求共有點示意圖用輔助平面求共有點示意圖用水平面作為輔助平面求共有點用水平面作為輔助平面求共有點 例例1717 求圓柱與半球相貫線的投影求圓柱與半球相貫線的投影 相貫線的側面投影積聚在圓柱的表面上。水平圓柱與半球的相貫線的側面投影積聚在圓柱的表面上。水平圓柱與半球的公共對稱面平行于公共對稱面平行于V V面，故相貫線是一條前后對稱的空間曲線。面，故相貫線是一條前后對稱的空間曲線。求圓柱與半球的相貫線求圓柱與半球的相貫線作圖步驟：作圖步驟：1 1）求特殊點：）求特殊點：4141”4”12 2）求一般點：）求一般點：PvPvPwPw2”6”26QvQvQwQw3”5”352(6)3 3）判斷可見性，依次光滑連接各點：）判斷可見性，依次光滑連接各點： 4 4）補畫水平轉向輪廓線。）補畫水平轉向輪廓線。 3(5)特殊情況下，相貫線為平面曲線或直線。特殊情況下，相貫線為平面曲線或直線。相貫線為圓相貫線為圓相貫線為直線相貫線為直線10.5.2 10.5.2 相貫線的特殊情況相貫線的特殊情況當兩個回轉體具有公共軸線時，其表面的相貫線為圓當兩個回轉體具有公共軸線時