1、多元函數(shù)一元函數(shù) 多元函數(shù)推廣推廣主要以二元函數(shù)為主，討論其極限、連續(xù)、微分及其應(yīng)用。在學(xué)習(xí)方法上多注意多元函數(shù)相應(yīng)概念與方法與一元函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。善于類比善于類比, 區(qū)別異同區(qū)別異同. 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平面上的一個點，平面上的一個點， 是某是某一正數(shù)，與點一正數(shù)，與點),(000yxP距離小于距離小于 的點的點),(yxP的全體，稱為點的全體，稱為點0P的的 鄰域，記為鄰域，記為),(0 PU，（1 1）鄰域）鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx一、多元函數(shù)的概念 空心鄰域：空心鄰域：),(0 PUo |00PPP)()(00PU

2、PUo或（2 2）區(qū)域）區(qū)域.)(的內(nèi)點的內(nèi)點為為則稱則稱，的某一鄰域的某一鄰域一個點如果存在點一個點如果存在點是平面上的是平面上的是平面上的一個點集，是平面上的一個點集，設(shè)設(shè)EPEPUPPE .EE 的內(nèi)點屬于的內(nèi)點屬于EP .為開集為開集則稱則稱的點都是內(nèi)點，的點都是內(nèi)點，如果點集如果點集EE41),(221 yxyxE例如，例如，即為開集即為開集 若存在點若存在點 P 的某鄰域的某鄰域 U(P) E = ,則稱則稱 P 為為 E 的的外點外點 ;外點是否屬于外點是否屬于E？的邊界點的邊界點為為），則稱），則稱可以不屬于可以不屬于，也，也本身可以屬于本身可以屬于的點（點的點（點也有不屬于也

3、有不屬于的點，的點，于于的任一個鄰域內(nèi)既有屬的任一個鄰域內(nèi)既有屬如果點如果點EPEEPEEPEP 的邊界的邊界的邊界點的全體稱為的邊界點的全體稱為 EE是連通的是連通的開集開集，則稱，則稱且該折線上的點都屬于且該折線上的點都屬于連結(jié)起來，連結(jié)起來，任何兩點，都可用折線任何兩點，都可用折線內(nèi)內(nèi)如果對于如果對于DDD 或或D為連通集。為連通集。記作記作E ;連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo開開區(qū)區(qū)域域連連同同它它的的邊邊界界一一起起稱稱為為閉閉區(qū)區(qū)域域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo 若點集若點集 E E , 則稱

4、則稱 E 為為閉集閉集；0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域無界開區(qū)域xyo例如，例如，則稱為無界點集則稱為無界點集為有界點集，否為有界點集，否成立，則稱成立，則稱對一切對一切即即，不超過不超過間的距離間的距離與某一定點與某一定點，使一切點，使一切點如果存在正數(shù)如果存在正數(shù)對于點集對于點集EEPKAPKAPAEPKE 41| ),(22 yxyx（3）聚點）聚點 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個點點，如如果果點點 P 的的任任何何一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個個點點屬屬于于點點集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的

5、聚聚點點. 內(nèi)點一定是聚點；內(nèi)點一定是聚點； 邊界點可能是聚點；邊界點可能是聚點；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點也是聚點邊界點也是聚點 點集點集E的聚點可以屬于的聚點可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點但不屬于集合是聚點但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點都是聚點也都屬于集合邊界上的點都是聚點也都屬于集合 整個平面整個平面 點集點集 1),(xyx是開集，是開集， 是最大的開集是最大的開集 , 也是最大的閉也是最大的閉集集；但非區(qū)域但非區(qū)域 .11oxyTH。A Rn是開集是開集Ac是閉

6、集。是閉集。 空集既是開集也是閉集?？占仁情_集也是閉集。 又如，又如，DRNkkkD )0 , 0(,| )1,1(2（0,0）是否聚點？）是否聚點？D是否閉集？若是否閉集？若D是單點集或有限點集呢？是單點集或有限點集呢？（4 4）n n維空間維空間 n維空間的記號為維空間的記號為;nR n維空間中兩點間距離公式維空間中兩點間距離公式 RRRRnnkxxxxkn,2, 1,R),(21),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ n n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng) 時，便為數(shù)

7、軸、平面、時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離空間兩點間的距離3, 2, 1 n內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義鄰域：鄰域：設(shè)兩點為設(shè)兩點為（5 5）二元函數(shù)的定義）二元函數(shù)的定義當(dāng)當(dāng)2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù). 多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、多元函數(shù)中同樣有定義域、值域、自變量、因變量等概念因變量等概念.類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)對函數(shù)的一些要討論的問題：求定義域，表達(dá)式等等。對函數(shù)的一些要討論的問題：求定義域，表達(dá)式等等。例例1 1 求求 的定義域的定義域222)3arcsin

8、(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定義域為所求定義域為., 42| ),(222yxyxyxD 例例2 2 求求 的定義域的定義域yxyxyxf ln),(解解| , 0| ),(| , 0| ),(xyxyxxyxyxD 例例3. 設(shè)設(shè),),(222yxyxfxy求求. ),(2yxfxy解法解法1 令uyxvxy23vuy 3vuux ),(vuf32)(2vuu32)( vu,2xyu yxv ),(2yxxyf2)(2xy2y2y222yxy設(shè)設(shè),),(222yxyxfxy求. ),(2yxfxy解法解法2 令令uvyx2vuxy2vy uvx

9、),(2xyyxf),(2vuuvf22vuv即),(2yxxyf222yxy),(2vuuvf（6） 二元函數(shù)二元函數(shù) 的圖形的圖形),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 的定義域為的定義域為D，對于任意，對于任意取定的取定的DyxP ),(，對應(yīng)的函數(shù)值為，對應(yīng)的函數(shù)值為),(yxfz ，這樣，以，這樣，以x為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、y為縱坐為縱坐標(biāo)、標(biāo)、z為豎坐標(biāo)在空間就確定一點為豎坐標(biāo)在空間就確定一點),(zyxM，當(dāng)當(dāng)x取遍取遍D上一切點時，得一個空間點集上一切點時，得一個空間點集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，這個點集稱，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形為二元函數(shù)的圖形.（如

10、下頁圖）（如下頁圖）二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.xzy例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221yxz定義域為定義域為1),(22 yxyx圓域圓域說明說明: 二元函數(shù)二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點的上半球面圖形為中心在原點的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面的圖形一般為空間曲面 .12R),(yx三元函數(shù)三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域為定義域為1),(222zyxzyx圖形為圖形為4R空間中的超曲面空間中的超曲面.單位閉球單位閉球xyzoxyzoxyzsin 例如例如,圖形如右圖圖形如右圖.

11、2222azyx 例如例如,左圖球面左圖球面.),(222ayxyxD 222yxaz .222yxaz 單值分支單值分支:二、多元函數(shù)的極限、連續(xù)說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；常用來證明的方式是任意的；常用來證明極限不存在。極限不存在。0PP（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則，夾逼定理等與一元）二元函數(shù)的極限運算法則，夾逼定理等與一元函數(shù)類似求極限的方法？函數(shù)類似求極限的方法？比較比較：一元函數(shù)中極限定義，單側(cè)極限，連續(xù)問題問題：那些概念可以推廣？例例1. 設(shè)設(shè)22),(yxxyyxf

12、求證：求證：.0),(lim00yxfyx證證: 2222222221210yxyxyxyxxy故故0),(lim00yxfyx0),( yxf,時時則當(dāng)則當(dāng) 220yx , 2 總有總有0, 欲使欲使 只要只要 222 yx取取手寫其它例1，2，3，4，小結(jié)方法。例例 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 若當(dāng)點若當(dāng)

13、點),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點在點 (0, 0) 的極限的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則可以斷定函數(shù)極限則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點極限不存在點極限不存在 .以不同方式趨于以不同方式趨于,),(000時yxP不存在不存在 .例例5. 討論函數(shù)討論函數(shù)函數(shù)函數(shù)例例6 6 證明證明 不存在不存在 證證26300limyxyxyx 取

14、取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在例例7. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 因因,)(2224122yxyx222222)()cos(1yxyxyx而而620)cos1 (4limrrr化為極坐標(biāo),222yxr令則62)cos1 (4rr6402limrrr2cos1r22r故故22222200)()cos(1limyxyxyxyx例例7. 求22222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 而而化為極坐標(biāo),222yxr令

15、則故故22222200)()cos(1limyxyxyxyx 226402262022222200sincos2limsincoscos1lim)()cos(1limrrrryxyxyxrryx 222221sincos21rr 例例2. 設(shè)0, 00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求證：.0),(lim00yxfyx證：證：0),(yxf故0),(lim00yxfyx, 0 20),( 22yxyxfyx 222 yx ,2 時，當(dāng)022yxxyyx11sinsin總有 2 要證小結(jié)小結(jié)：二元函數(shù)求極限的方法二元函數(shù)求極限的方法1.化為一元函數(shù)（變量代換、運算等化）；化為一元函

16、數(shù)（變量代換、運算等化）；2 .夾逼定理、極限運算性質(zhì)等；夾逼定理、極限運算性質(zhì)等；3.利用連續(xù)性利用連續(xù)性；4.(化函數(shù)為極坐標(biāo)形式化函數(shù)為極坐標(biāo)形式)5.證明極限不存在；證明極限不存在；（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趨趨向向于于),(000yxP，若若極極限限值值與與k有有關(guān)關(guān)，則則可可斷斷言言極極限限不不存存在在；（2） 找兩種不同趨近方式，使找兩種不同趨近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但兩者不相等，此時也可斷言但兩者不相等，此時也可斷言),(yxf在點在點),(000yxP處極限不存在處極限不存在n元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限推廣推廣：利用點函數(shù)的形式有：利用點函

17、數(shù)的形式有 設(shè)設(shè)n元函數(shù)元函數(shù))(Pf的定義域為點集的定義域為點集0, PD是其聚點且是其聚點且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 則稱則稱n元函數(shù)元函數(shù))(Pf在點在點0P處連續(xù)處連續(xù). . 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點點.三、多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義3 3例例5 5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解 取取,cos x sin y)0 , 0(),(

18、fyxf )cos(sin33 02 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù).),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)：稱一個變量稱一個變量x（或（或y）的基本初等函）的基本初等函數(shù)為二元基本初等函數(shù)，將數(shù)為二元基本初等函數(shù)，將二元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限二元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的函數(shù)叫多元初等函數(shù)。的函數(shù)叫多元初等函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域

19、內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域2運算：二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合仍是連續(xù)函 數(shù)。3 二元初等函數(shù)的連續(xù)性例如例如, 函數(shù)0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點在點(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 又如又如, 函數(shù)函數(shù)11),(22yxyxf上間斷上間斷.其它點上連續(xù)。其它點上連續(xù)。122 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點為其間斷點.其它連續(xù)。其它連續(xù)。在圓周在圓周).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處連續(xù)，于是處連續(xù)，于是點點在在的定義域的內(nèi)點，則的定義域的內(nèi)點，則是是數(shù)，且數(shù)，且是初等函是初等函時，如果時，如果一般地，求一般地，求例例.11lim00 xyxyyx 求求解解)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 2. 證明證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù)在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 故連續(xù)故連續(xù).又又220yxyxyxyx222222221yxyx02221 yx2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù)故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得求函