1、課時分層作業(二十五)二面角及其度量(建議用時：45分鐘)基礎達標練1已知平面內有一個以AB為直徑的圓，PA，點C在圓周上(異于點A，B)，點D，E分別是點A在PC，PB上的射影，則()AADE是二面角A­PC­B的平面角BAED是二面角A­PB­C的平面角CDAE是二面角B­PA­C的平面角DACB是二面角A­PC­B的平面角B由二面角的定義及三垂線定理，知選B.2已知ABC和BCD均為邊長為a的等邊三角形，且ADa，則二面角A­BC­D的大小為()【導學號：33242311】A30°

2、; B45°C60° D90°C如圖取BC的中點為E，連接AE、DE，由題意得AEBC，DEBC，且AEDEa，又ADa，AED60°，即二面角A­BC­D的大小為60°.3如圖3­2­38所示，在正四棱錐P­ABCD中，若PAC的面積與正四棱錐的側面面積之和的比為8，則側面與底面所成的二面角為()圖3­2­38A.BC.DD設正四棱錐的底面邊長為a，側面與底面所成的二面角為，高為h，斜高為h，則，sin ，即.4已知二面角­l­中，平面的一個法向量為n1

3、，平面的一個法向量為n2，則二面角­l­的大小為()【導學號：33242312】A120°B150°C30°或150°D60°或120°C設所求二面角的大小為，則|cos |，所以30°或150°.5如圖3­2­39所示，P是二面角­AB­棱上的一點，分別在，平面內引射線PM，PN，如果BPMBPN45°，MPN60°，那么二面角­AB­的大小為()圖3­2­39A60° B70

4、6; C80° D90°D不妨設PMa，PNb，作MEAB交AB于點E，NFAB交AB于點F(圖略)，因為EPMFPN45°，故PE，PF，于是·()·()····abcos 60°a·cos 45°·bcos 45°·0.因為EM，FN分別是，內的兩條與棱AB垂直的線段，所以EM與FN之間的夾角就是所求二面角的大小，所以二面角­AB­的大小為90°.6若二面角內一點到兩個面的距離分別為5和8，兩垂足間的距離為7，則

5、這個二面角的大小是_60°或120°設二面角大小為，由題意可知cos ，所以60°或120°.7若P是ABC所在平面外一點，且PBC和ABC都是邊長為2的正三角形，PA，則二面角P­BC­A的大小為_90°取BC的中點O，連接PO，AO(圖略)，則POA就是二面角P­BC­A的平面角又POAO，PA，所以POA90°.8在空間四面體O­ABC中，OBOC，AOBAOC，則cos，的值為_【導學號：33242313】0··()··|·|c

6、os|·|·cos|(|)0.cos·0.9如圖3­2­40所示，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，平面ABCD是一個直角梯形，ABAD，AB，CD為梯形的兩腰，且ABADAA1a.圖3­2­40(1)若截面ACD1的面積為S，求點D到平面ACD1的距離；(2)當為何值時，平面AB1C平面AB1D1?解(1)由VV，過C作CEAD，垂足為E.AA1平面ABCD，平面ABCD平面AA1D1D，CE平面AA1D1D，CEa是C到平面ADD1的距離，設點D到平面ACD1的距離為h，由Sh×

7、;a2×a，得h.(2)分別以A1B1，A1D1，A1A所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示則A1(0,0,0)，A(0,0，a)，B1(a,0,0)，設C(a，b，a)，且n1(x，y，z)是平面AB1C的法向量，(a,0，a)，(a，b,0)則n1·0，n1·0，即axaz0，axby0，得zx，yx，取x1，則y，z1，則n1為平面AB1C的一個法向量同理可得平面AB1D1的一個法向量為n2(1,1,1)若平面AB1C平面AB1D1，則n1·n20，2，即當2時，平面AB1C平面AB1D1.10如圖3­2­41所示

8、，四棱錐P­ABCD中，側面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90°，E是PD的中點圖3­2­41(1)證明：直線CE平面PAB；(2)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M­AB­D的余弦值. 【導學號：33242314】解(1)證明：取PA的中點F，連接EF，BF.因為E是PD的中點，所以EFAD，EFAD.由BADABC90°得BCAD.又BCAD，所以EFBC，四邊形BCEF是平行四邊形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB

9、.(2)由已知，得BAAD，以A為坐標原點，的方向為x軸正方向，|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)設M(x，y，z)(0<x<1)，則 (x1，y，z)，(x，y1，z)因為BM與底面ABCD所成的角為45°，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，所以|cos，n|sin 45°，即，即(x1)2y2z20. 又M在棱PC上，設，則x，y1，z. 由解得(舍去)，或所以M，從而.設m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，則即所以可取m(0，

10、2)于是cosm，n.因此二面角M­AB­D的余弦值為.能力提升練1如圖3­2­42所示，已知點P為菱形ABCD外一點，且PA平面ABCD，PAADAC，點F為PC中點，則二面角C­BF­D的正切值為()圖3­2­42A.BC.DD如圖所示，連接BD，ACBDO，連接OF.以O為原點，OB、OC、OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz.設PAADAC1，則BD.所以B，F，C，D.結合圖形可知，且為平面BOF的一個法向量，由，可求得平面BCF的一個法向量n(1，)所以cosn，sinn，所以tan

11、n，.2在正方體ABCD­A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的二面角的余弦值為() 【導學號：33242315】ABC.DB建系如圖，設正方體棱長為1，則D(0,0,0)、A1(1,0,1)、E.(1,0,1)，.設平面A1ED的一個法向量為n(x，y，z)則.令x1，則z1，y，n.又平面ABCD的一個法向量為(0,0,1)cosn，.又平面A1ED與平面ABCD所成的二面角為銳角，平面A1ED與平面ABCD所成二面角的余弦值為.3已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為2，則側面與底面所成的二面角等于_底面對角線長為2，底面邊長為2，從而利

12、用體積得四棱錐的高為3，所求二面角的正切為.側面與底面所成的二面角為.4已知正四棱錐的底面邊長為2，高為3.則側面與底面所成的二面角等于_60°如圖，四棱錐P­ABCD為正四棱錐，連接AC、BD相交于點O，連接PO，則PO平面ABCD.作OECD，連接PE，則PEO即為側面與底面所成二面角的平面角由題意知PO3，OE，tanPEO.PEO60°.5.如圖3­2­43所示，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內部)以AB邊所在直線為旋轉軸旋轉120°得到的，G是的中點圖3­2­43(1)設P是上的一點，且A

13、PBE，求CBP的大小；(2)當AB3，AD2時，求二面角E­AG­C的大小. 【導學號：33242316】解(1)因為APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP.又BP平面ABP，所以BEBP.又EBC120°，所以CBP30°.(2)法一：如圖，取的中點H，連接EH，GH，CH.因為EBC120°，所以四邊形BEHC為菱形，所以AEGEACGC.取AG的中點M，連接EM，CM，EC，則EMAG，CMAG，所以EMC為所求二面角的平面角又AM1，所以EMCM2.在BEC中，由于EBC120°，由余弦定理得EC222222×2×2×cos 120°12，所以EC2，所以EMC為等邊三角形，故所求的角為60°.法二：以B為坐標原點，分別以BE，BP，BA所在的