1、高考數學中的內切球和外接球問題一、有關外接球的問題如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點。一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關問題例1若棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為解析：球的半徑可轉化為先求正方體的體對角線長，再計算半徑.故表面積為27n.例2一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球的體積為4J3n.2、求長方體的外接球的有關問題例3（2007年天津高考題）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂

2、點上的三條棱長分別為1,2,3,則此球的表面積為解析：體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為V14,故球的表面積為1型.例4、已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個球的表面積為(C )A. 16二B. 20C. 24;D. 32解析：長、寬、高分別為2,2,43.求多面體的外接球的有關問題例5.一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同91I x - - ,2_ h k、/3.一個球面上，且該六棱柱的體積為8,底面周長為3,則這個球的體積為6x=3,9.326xh,解設正六棱柱的底面邊長為x，高為h，則有54rd至，正六棱柱的底面圓的半徑2

3、,球心到底面的距離2.外接球的半徑R二r2d2=122.2小結本題是運用公式R=r+d求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式二、構造法（補形法）1、構造正方體例5若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為J3,則其外接球的表面積是解把這個三棱錐可以補成一個棱長為J3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.24 .故表面積S = 4江R = 9江(2R)2=(百2+(6)2+M3s=9R2.小結一般地，若一個三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c,則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直222徑.設其外接球的半徑為R,則有2R=V

4、a+b+c.出現“墻角”結構利用補形知識，聯系長方體。例6.一個四面體的所有棱長都為J2,四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為A.3二b.4二C.3.3二口.6-解析：聯想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構造一個正方體，再尋找棱長相等的四面體，如圖2,四面體滿足條件，由此可求得正方體的棱長為1,體對角線為J3,從而外接球的直徑也為3例7（2006年山東高考題）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,/DAB=600,E為AB的中點，將MDE與ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P,則三棱車BP-DCE的外接球的體積為（C）.C. 8D. 244.3.6nnA.27b.2解析

5、：（如圖3）,即三棱錐P-DCE為正四面體，至此，這與例6AD=AE=EB=BC=DC=DE=CE=1就完全相同了DA _L 平面 ABC例8（2008年浙江高考題）已知球。的面上四點A、B、C、D,AB_LBC,DA=AB=BC=石，則球。的體積等于解析：DA=AB=BC=百,則此長方體為正方體，所以CD長即為外接球的直徑，利971用直角三角形解出CD=3.故球0的體積等于2.（如圖4）2、構造長方體例9.已知點A、B、C、D在同一個球面上，AB_L平面BCD,BC_LDC,若AB=6,AC=2而,AD=8則球的體積是.解析：構造下面的長方體，于是AD為球的直徑（如圖5）D三.尋求軸截面圓半

6、徑法例4正四棱錐S - ABCD的底面邊長和各側棱長都為 "點、S在同一球面上，則此球的體積為A B、C、D 都解球心。必在SO所在的直線上.AASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 AASC 中，由 SA = SC = >/2, AC =2,得3 2 2 AC 2AASC是以AC為斜邊的RtAAC12是外接圓的半徑，也是外接球的半徑4 二球=.故 3五.確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為（C ）125125125125nnnnA.

7、12B. 9C. 6D. 3解 點O到四面體的四個頂點 A、B、C、D的距離相等，即點。為-54 3 125R=OA=- V 球=-n R3 =n四面體的外接球的球心，2 .故36P【例題】：已知三棱錐的四個頂點都在球°的球面上,好3C日以=7 *5JzzL?PC=而,AC=I口，求球。的體積。解：+回,=10，所以知=+所以戶W戶CcR=-AC=5取斜邊的中點°,即為該四面體的外接球的球心上500開所以該外接球的體積為1的球面上，其中底面的三個頂點1 .（陜西理？6）一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為在該球的一個大圓上，則該正三棱錐的體積是（A. 3-2B4答案 B3 4.

8、3722 .直三柱ABC-AB1C1的各頂點都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2,NBAC=120）則此球的表面積等于解:在AABC中AB=AC=2,/BAC=120',可得BC=2j3,由正弦定理，可得AABC外接圓半徑r=2,設此圓圓心為O',球心為O,在RTAOBO'中，易得球半徑R=J5,2故此球的表面積為4二R=20二.3 .正三棱柱ABC-AB1c1內接于半徑為2的球，若A,B兩點的球面距離為冗，則正三棱柱的體積為.答案84 .表面積為2J3的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為2Ji32、2ji3答案A【解析】此正八面體是每個面的邊長均為

9、a的正三角形，所以由、.3a2-8x- 二 26知,4a=1,則此球的直徑為J2,故選A。325 .已知正方體外接球的體積是32n，那么正方體的棱長等于（A.2 2B.234.3D.3答案 D6. （ 2006山東卷）正方體的內切球與其外接球的體積之比為A. 1 ： ，.3C. 1 ： 3 . 3D. 1 ： 93答案C7. （2008海南、寧夏理科）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面.已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為答案底面周長為3,則這個球的體積為38. （2007天津理？12）一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3,則

10、此球的表面積為答案14九2 cm的球面上。如果正四9. （2007全國H理？15）一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為棱柱的底面邊長為 1 cm,那么該棱柱的表面積為cm2.答案 2 - 4、.-210. （2006遼寧）如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐P ABCDEF ,則此正六棱錐的側面積是PIIA答案 6.711. （遼寧省撫順一中2009屆高三數學上學期第一次月考棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中 三角形（正四面體的截面）的面積是 答案 212. （2009棗莊一模）一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 （ ）A.C.3 二16二D.以上都不對may13.（吉林省吉林市2008屆上期末）設正方體的棱長為羋3,則它的外接球的表面積為（8A . 一冗3答案CB. 2兀C. 4兀