1、第二十四章第二十四章 圓圓趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對趙州橋的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為的弦的長）為3737m m，拱高（弧的中點到弦的距，拱高（弧的中點到弦的距離）為離）為7.237.23m m，你能求趙州橋主橋拱的半徑嗎？，你能求趙州橋主橋拱的半徑嗎？趙州橋趙州橋( (如圖所示如圖所示) )是我國隋代是我國隋代建造的石拱橋建造的石拱橋, ,距今約有距今約有14001400年的歷史年的歷史, ,是我國古代人民勤是我國古代人民勤勞與智慧的結晶勞與智慧的結晶. .可以發現：可以發現： 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對

2、稱軸都是它的對稱軸 用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑所在的直線對折，重復做幾次，你發現了什么的直線對折，重復做幾次，你發現了什么？由由此你能得到什么結論？此你能得到什么結論？6.圖形中的已知條件、結論分別是什么？你能圖形中的已知條件、結論分別是什么？你能用語言敘述這個命題嗎？用語言敘述這個命題嗎？學學 習習 新新 知知如何證明圓是軸對稱圖形：如何證明圓是軸對稱圖形：在紙片上畫圓作圖：在紙片上畫圓作圖：1.任意作一條弦任意作一條弦AA.2.過圓心過圓心O作弦作弦AA的垂線，得直徑的垂線，得直徑CD交交AA于點于點. 3.觀察圖形，你能找到哪些線段相等？觀察

3、圖形，你能找到哪些線段相等？4.你能證明你的結論嗎？寫出你的證明過程你能證明你的結論嗎？寫出你的證明過程.5.如果沿著如果沿著CD折疊，你能不能得到相等的弧？折疊，你能不能得到相等的弧？OAACDM證明：連接證明：連接、，在，在中，中，是等腰三角形，是等腰三角形，又又，這就是說，對于圓上這就是說，對于圓上任意一點任意一點，在圓上，在圓上都有關于直線都有關于直線的的對稱點對稱點，因此，因此 關于直線關于直線對稱對稱.即即是是的垂直平分線的垂直平分線結論結論證明證明結論結論1： 圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸都是它的對稱軸即直徑即直徑CD平分

4、弦平分弦A 并且平分并且平分 及及AA .ACA 把圓沿著直徑把圓沿著直徑CD折疊時，折疊時，CD兩側的兩個半圓兩側的兩個半圓重合，點重合，點A與點與點A重合，重合， 、 分別與分別與 、 重合重合ACADA CA DOAACDM垂徑定理：垂直于弦的垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧弦所對的兩條弧A 2.條件改為：過圓心，平分弦條件改為：過圓心，平分弦.結論改為：垂直于弦，平分弦所對的劣結論改為：垂直于弦，平分弦所對的劣弧，平分弦所對的優弧弧，平分弦所對的優弧.這個命題正確嗎？結合上邊的圖形說明這個命題正確嗎？結合上邊的圖形說明.思考：思考：.垂徑定理的

5、條件和結論分別是什么？垂徑定理的條件和結論分別是什么？條件：過圓心，垂直于弦條件：過圓心，垂直于弦. .結論：平分弦，平分弦所對的劣弧，結論：平分弦，平分弦所對的劣弧，平分弦所對的優弧平分弦所對的優弧. .3.你能用語言敘述這個結論嗎？你能用語言敘述這個結論嗎？4.為什么要求為什么要求“弦不是直徑弦不是直徑”？否則會出現？否則會出現什么情況？什么情況？推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧于弦，并且平分弦所對的兩條弧.歸納歸納垂徑定理垂徑定理“知二得三知二得三”：(1) 直徑直徑(過圓心過圓心) ；(2) 垂直弦；垂直弦；(3) 平分弦

6、平分弦(不是直徑不是直徑) ；(4) 平分優弧；平分優弧；(5) 平分劣弧；平分劣弧；知二得三知二得三E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B火眼金睛火眼金睛在下列圖形中，你能否利用垂徑定理在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的圓弧找到相等的線段或相等的圓弧1.1.如圖，如圖，ABAB為半圓直徑，為半圓直徑，O O為圓心，為圓心，C C為半圓上一點，為半圓上一點，E E是弧是弧ACAC的中點，的中點，OEOE交弦交弦ACAC于點

7、于點D. D. 若若AC=8cmAC=8cm，DE=2cmDE=2cm，則則ODOD的長為的長為( )cm.( )cm.A. 3 B. 4A. 3 B. 4C. 5 D. 6C. 5 D. 6隨堂練習隨堂練習A2.如圖，已知在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D.（1）求證：AC=BD；（2）若大圓的半徑R=10，小圓的半徑r=8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長.隨堂練習隨堂練習 教材教材例例2講解講解 共同分析：共同分析： 1.如何根據趙州橋的實物圖畫出幾何圖形？如何根據趙州橋的實物圖畫出幾何圖形？ 2.結合所畫圖形思考：結合所畫圖形思考： （1）橋的跨度是弧所

8、在圓的）橋的跨度是弧所在圓的 ，弧的中點，弧的中點到弦的距離是到弦的距離是 ,它與所在圓的半徑之間的關系它與所在圓的半徑之間的關系是是 . （2）如何找到弧的中點？）如何找到弧的中點？ （3）如何把圓的半徑轉化為三角形中的線段？）如何把圓的半徑轉化為三角形中的線段？（4）構造的直角三角形中三邊之間有什么特點？）構造的直角三角形中三邊之間有什么特點？（5）直角三角形中已知一邊、另外兩邊之間的關）直角三角形中已知一邊、另外兩邊之間的關系，如何求另兩邊長？系，如何求另兩邊長？113718.522ADABmm思考： 1.在圓中解決有關弦的問題，常作什么輔助線？ 2.在圓中解決有關弦的問題，常用什么方法

9、？1.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是圓的對稱軸直線都是圓的對稱軸.2.垂徑定理和推論及垂徑定理和推論及它它們的應用們的應用.3.垂徑定理和勾股定理相結合，將圓的垂徑定理和勾股定理相結合，將圓的問題轉化為直角三角形問題問題轉化為直角三角形問題.3.圓中常作輔助線連半徑、過圓心作弦圓中常作輔助線連半徑、過圓心作弦的垂線的垂線.檢測反饋檢測反饋解析：由垂徑定理可知解析：由垂徑定理可知B、D均均成立；由成立；由OCE ODE可得可得A也成立不一定成立的是也成立不一定成立的是OE=BE故選故選COCDABE1.1.如圖所示，如圖所示，AB是是 O的直徑，的直徑，

10、CD是弦，是弦，CDAB于于點點E，則下列結論不一定成立的是，則下列結論不一定成立的是（ ）A A. .COEDOE B.CEDE C.OEBE D. BCBDC2.如圖，已知如圖，已知 O的半徑為的半徑為13，弦，弦AB長為長為24，則點則點O到到AB的距離是（的距離是（ ）A.6 B.5 C.4 D.3BABO122213125OC 解析：過解析：過O O作作OCOCABAB于于C C，OCOC過過O O，ACAC= =BCBC= = ABAB=12=12，在，在RtRtAOCAOC中，中，由勾股定理得：由勾股定理得：故選故選B.B.3.如圖所示，如圖所示，P為為 O內一點，內一點，OP=

11、3cm， O半徑為半徑為5cm，則經過，則經過P點的最短弦長為點的最短弦長為_；最長弦長為；最長弦長為_ABOP8cm10cm解析：當弦與解析：當弦與OPOP垂直時，弦最短，連接垂直時，弦最短，連接OAOA, ,由勾股定理可得，由勾股定理可得，APAP= =4= =4，OPOPABAB，ABAB=2=2APAP=8=8，最短弦為，最短弦為8 8cmcm. .過過P P點經過圓心點經過圓心的弦最長為直徑，最長弦為的弦最長為直徑，最長弦為1010cmcm故填故填8 8cmcm,10,10cmcm.2235 4.4.已知已知 O O的半徑為的半徑為13cm,13cm,弦弦ABCD,AB=24cm,CD=10cm,ABCD,AB=24cm,CD=10cm,則則AB,CDAB,CD之間的距離為之間的距離為( )( )A. 17cm B. 7cm C. 12cm D. 17cmA. 17cm B. 7cm C. 12cm D. 17cm或或7cm7cmD5.如圖，如圖，AB是是 O的弦，半徑的弦，半徑OCAB于點于點D.（1）若）若AB=8cm，OC=5cm,求求CD的長；的長；（2）若）若OC=5cm，OD=3cm，求，求AB的長；的長；（3）若）若AB=8cm，CD=2cm，求，求 O的半徑的半徑.OABCD21（3）設 O的半徑為r，則OD=r-2,OCAB，AD