1、初二下期末幾何及解析1、以四邊形ABC前邊AB AD為邊分別向外側作等邊三角形ABF和ADE連接EB FD,交點為G.(1) 當四邊形ABC以正方形時(如圖1 ), EB和FD的數量關系是 ;(2) 當四邊形ABC以矩形時(如圖2), EB和FD具有怎樣的數量關系 請加以證實；(3) 四邊形ABCCfe正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中,/EG*否發生變化如果改變,請說明 理由；如果不變,請在圖 3中求出/ EGD勺度數.難度一般：證全等即可(第三問,圖 1中就能看出是45.)解(1) EB=FD . (2) EB=FD證： AFB為等邊三角形,.AF=AB Z FAB=60°

2、. ADE為等邊三角形,. AD=AE / EAD=60 ,.二 / FAB+Z BADW EAD+Z BAD即Z FADW BAE,. . FAtA BAE,/. EB=FD(3)解： ADE為等邊三角形,. AEDW EDA=60. FAtA BAEAEBW ADF設Z AEB為x° ,那么Z ADF也為x于是有 / BED 為(60-x) ° , / EDF 為(60+x) °. . Z EGD=180 - / BED-Z EDF ABC 圖1的邊上.小林設并在圖 2中畫出來.=180° - (60-x) ° - (60+x) °

3、; =60°2、：如圖,在 口ABCD中,點E是BC的中點,連接AE并延長交DC的延長線于點F ,連接BF.(1) 求證： ABEA FCE;(2) 假設AF=AD,求證：四邊形 ABFC是矩形.簡單題證實：(1)如圖1 .在 ABE 和 FCE 中,Z 1 = Z 2, Z 3=7 4, BE=CE,.ABEA FCE.(2) . A ABEFCE, . .AB=FC.AB / FC, 四邊形 ABFC是平行四邊形.四邊形 ABCD是平行四邊形,. AD = BC.AF=AD, .AF=BC. 四邊形 ABFC 是矩形.3、： ABC是一張等腰直角三角形紙板,/B=90 °

4、;, AB=BC=1.(1) 要在這張紙板上剪出一個正方形,使這個正方形的四個頂點都在將它的面積記為 圖4S1, 那么圖3行到S1 =;余下的 2計出了一種剪法,如圖 1所示.請你再設計出一種不同于圖1的剪法,個三角形中還根據小林設計的剪法進行第二次裁剪如圖3,得到2個新的正方形,將此次所得 2個正方形的面積的和 記為S2,那么S2=;在余下的4個三角形中再根據小林設計的的剪法進行第三次裁剪如圖4,得到4個新的正方形,將此次所得 4個正方形的面積的和記為S3；根據同樣的方法繼續操作下去,第 n次裁剪得到 個新的正方形,它們的面積 的和§ =.題外題：把你剪出的正方形的面積與圖1中的正

5、方形面積進行比較.此題相當于中考12題的簡單題解：1如圖2;1分2 , - , 2, n 書-6 分4、：如圖,平面直角坐標系xOy中,正方形 ABCD的邊長為4,它的頂點A在X軸的正半軸上運動,482AC, BD頂點D在y軸的正半軸上運動點 A, D都不與原點重合,頂點B, C都在第一象限,且對角線 相交于點P,連接OP.1當OA=OD時,點D的坐標為,/ POA=:;2當OA<OD時,求證：OP平分Z DOA;3設點P到y軸的距離為d,貝U在點A, D運動的過程中,d的取值范圍是.第二問：如果點 P到OP “所平分的角的兩邊的距離相等,即可.求證：OP平分Z DOA;解：1 0,2知

6、,45；證實：(2)過點P作PML X軸于點M, PN± y軸于點N.(如圖3).四邊形 ABCD 是正方形,.PD=PA, Z DPA=90° .PM± X軸于點M , PN ± y軸于點N,Z PMO = Z PNO= / PND=90° . Z NOM=90°, 四邊形 NOMP 中,Z NPM=90°.DPA= Z NPM . Z 1 = Z DPAZ NPA, Z2= Z NPM Z NPA, . Z 1 = Z 2.在 DPN 和 APM 中, Z PND = Z PMA , Z 1 = Z 2, PD=PA,

7、. DPNA APM . PN=PM .OP 平分 Z DOA.(3) 2<d < 2 扼.-5、：如圖,平面直角坐標系 xOy中,矩形OABC的頂點A, C的坐標分別為(4,0), (0,3).將 OCA沿直線CA翻折,得到 DCA,且DA交CB于點E.(1) 求證：EC=EA;(2) 求點E的坐標；3連接DB,請直接寫出四邊形DCAB的周長和面積.第二問,有坐標,用代數法勾股定理可得CE=AE的長第三問的證實：過 D做DM ± AC于M ,過B做BN ± CA于N,那么由相似可得, DM=BN=梯形的高能 求出具體數,CM=AN 具體數還看得 DB=MN 具

8、體數這樣即可求出周長,有可求出面積.證實：1如圖1. OCA沿直線CA翻折得到 DCA,.OCAA DCA./ 1 = Z 2.四邊形OABC是矩形,OA/ CB. .Z 1 = / 3.2= / 3. EC=EA.解：2設 CE= AE=X .點 A, C 的坐標分別為4,0, 0,3,OA=4, OC=3.四邊形 OABC 是矩形,. CB=OA=4, AB=OC=3, Z B=90° .在 Rt EBA 中,EA2 =EB2 +BA2 ,- x2 =4 -x2 +32 .解得 x =類.點 E 的坐標為距,3. 88“、621923,.5256、： ABC的兩條高BD , CE

9、交于點F,點M , N分別是AF, BC的中點,連接 ED , MN .1在圖1中證實MN垂直平分ED;2假設/ EBD = / DCE=45° 如圖2,判斷以M, E, N, D為頂點的四邊形的形狀,并證實你的結論. 圖2 第一I可,連接EM , EN , DM , DN,利用三角形斜邊中線等于斜邊一半得,ME=MD , NE=ND,所以點M、N都在線段ED的垂直平分線上.有 ADF BDC,得AF=BC ,還得/ MDA= / NDB,證直角時用,進而得菱形,再證一直角得正方形,1證實：連接 EM , EN, DM , DN .如圖 2BD , CE 是 ABC 的高,BD &#

10、177; AC, CE ± AB.Z BDA = Z BDC = Z CEB = Z CEA=90° .在 Rt AEF 中,M 是 AF 的中點,EM=1AF2同理,DM = 1AF, EN=1BC, DN=1BC. 222EM=DM , EN=DN.點M , N在ED的垂直平分線上.MN垂直平分ED.2判斷：四邊形 MEND是正方形.證實：連接 EM, EN, DM , DN .如圖3/ EBD = Z DCE=45°,而Z BDA = Z CDF =90° ,Z BAD = Z ABD=45°, Z DFC= / DCF =45°

11、; . . . AD=BD , DF = DC.在 ADF和 BDC中,廠 AD=BD,< Z ADF=Z BDC , RtZI DF=DC,. ADFA BDC. AF=BC, Z 1 = Z 2.由1知 DM=1AF=AM , DN=1 BC=BN, 22 DM=DN,匕 1 = Z 3, Z 2=Z 4. Z 3= Z 4.由1知 EM=DM , EN=DN, . DM=DN = EM = EN.四邊形MEND是菱形. Z 3+ Z MDF = Z ADF=90°,4+Z MDF =Z NDM=90° .四邊形 MEND是正方形.7、6分如圖,現有一張邊長為4的

12、正方形紙片 ABCD ,點P為AD邊上的一點不與點 A、點D重合,將正方形紙片折疊,使點 B落在P處,點C落在G處,PG交DC于H,折痕為EF,聯結BP、BH.1求證：Z APB =Z BPH;2求證：AP + HC = PH;3當AP = 1時,求PH的長.第一問,設/ EPB= / EBP=m,貝UZ BPH=90 ° -m, / PBC=90 ° -m,所以Z BPH= / PBC,又由于/ APB= / PBC,所以,/ APB= / BPH.第二問的題外題：將此題與北京141之東城22和平谷24放在一起,旋轉翻折共同學習； 此題中用旋轉把ABP繞點B順時針旋轉90

13、不能到達目的,于是延 BP翻折,翻折后的剩余局部 BQH與 BCH也可全 等,即可到達目的,還有意外收獲：證得ZPBH=45 .第三問,代數方法的勾股定理.1證實：. PE = BE, .EPB=Z EBP,又.EPH = Z EBC = 90° ,Z EPHZ EPB=Z EBC Z EBP.即Z BPH = Z PBC.又.四邊形 ABCD為正方形,AD / BC,APB = Z PBC.ZAPB = Z BPH. 2 分2證實：過 B作BQ± PH,垂足為 Q,由1知,/ APB =Z BPH,又.A = Z BQP = 90° , BP = BP,. AB

14、P 三 QBP, AP = QP , BA = BQ.又. AB = BC ,BC = BQ.又.C = Z BQH = 90° , BH = BH ,.BCH 三 BQH, CH = QH, . AP + HC = PH. 4 分3由2知,AP = PQ= 1, .PD = 3.設 QH = HC = x ,貝U DH = 4 X.在 Rt PDH 中,PD2 +DH 2 = PH 2 ,即x +1 孑=32 +4 x 2,解得 x = 2.4 , PH= 3.4 6分 8、6分如圖,在 ABC中,AC >AB , D點在 AC上,AB = CD, E、F分別是 BC、AD的

15、中點,連結EF并延長,與BA的延長線交于點 G,假設Z EFC = 60 ° ,聯結GD ,判斷 AGD的形狀并證實.也可問/ ADG的度數.判斷： AGD是直角三角形.證實：如圖聯結 BD,取BD的中點H,聯結HF、HE,_ - 1 一_. F是 AD 的中點, HF/AB, HF =AB , .1 = 7 3.2 - 1 同理,HE/CD , HE = CD,2=Z EFC.2. AB = CD ,HF = HE,1 = Z 2,. Z 3=Z EFC. Z EFC= 60° ,/ 3=Z EFC=Z AFG = 60° , AGF是等邊三角形.AF = FG

16、 AF = FD,. GF= FD, .FGD = Z FDG = 30° , Z AGD = 90° ,即 AGD是特殊直角三角形.GE=BG-BE , GH是直角三角形的斜邊,這樣證全等.10、閱讀以下材料：小明遇到一個問題： AD是 ABC的中線, 點M為BC邊上任意一點不與點 D重合,過點M作一直線,使 其等分 ABC的面積.他的做法是：如圖1,連結AM過點D作DN/AM交AC于點N,作直線MN直線M啊為所求直線.請你參考小明的做法,解決以下問題：1如圖2,在四邊形ABC/, AE平分ABCD勺面積,M為CD邊上一點,過 M作一直線MN使其等分四邊 形ABCD勺面積

17、要求：在圖 2中畫出直線MN并保存作圖痕跡；2如圖3,求作過點A的直線AE,使其等分四邊形 ABCD勺面積要求：在圖 3中畫出直線AE,并保存作圖痕跡. . A .第二I可,把 ABC的面積接到DC的延長線上.11、 ：四邊形 A®C如定方形,'點 E在CD邊上,點F在AD'上：且 AF= DE.1如圖1,判斷AE與BF有怎樣的位置關系寫出你的結果,'并加以證實；2如圖2,對畝線 AC與BD交于點0. BD、AC分別與Ae BF交于點'G,點H. 求證 C 0E 0也 EDA-C 連接.只假設AA 4, 0巴克,求AB的長.BD【第二問 第二問F 最終

18、得 OffiA AOGAC BHQ在QB上截取E3Q=AP那么 AgOg直角三角形,可得PQ=EOP=OQAP=BQ 也可得 Z OPG=OQP 又 Z EPB=90 ,PB=6,在Rt APB中由勾股定理得的值.2倍根號13.】12、：如圖,梯形 ABC D 中,AD / BC, Z B=90 °, AD=a , BC=b,DC=a+b,且b pa,點m是ab邊的中點.(1) 求證：CM ± DM ;(2) 求點M到CD邊的距離.(用含a , b的式子表示)(我認為答案的思路不是最好.此題還有這樣的思路：過 M做BC的平行線,交 DC于Q,那么可證 MQ=DQ=CQ ,平

19、分Z BCD,及Z DMC=90 ° , ; M到CD的距離也就是 Rt DMC 斜邊的高 MN , MN的平方=DN乘以NC=AD 乘以 BC=ab,)證實：1延長DM , CB交于點E.如圖3梯形 ABCD 中,AD / BC,ADM=Z BEM .點M是AB邊的中點,AM = BM.在 ADM 與 BEM中,Z ADM=Z BEM,1Z AMD =Z BME ,AM=BM,. ADMA BEM . AD=BE=a , DM = EM. . CE=CB+BE= b + a . CD=a+b, - CE=CD . CM ± DM .解：2分別作 MN ± DC

20、, DF ± BC,垂足分別為點 N, F.如圖4. CE=CD , DM =EM ,CM 平分Z ECD . Z ABC= 90 ° ,即 MB ± BC, MN=MB . AD / BC, ZABC=90° ,/ A=90° ./ DFB=90° , .四邊形 ABFD 為矩形.BF= AD= a , AB= DF . FC= BC BF =b-a. . RtA DFC 中,Z DFC =90° , DF 2 =DC2 -FC2 = a +b2 b a2 = 4ab.DF= 2應. .MN=MB =1aB=1 DF= .

21、 ab .22即點M到CD邊的距離為jab .13、：如圖1,平面直角坐標系xOy中,四邊形OABC是矩形,點A, C的坐標分別為(6, 0) , (0, 2).點D是線段BC上的一個動點(點D與點B, C不重合),過點D作直線y = -X + b交折線O A B于點E.2(1) 在點D運動的過程中,假設 ODE的面積為S,求S與b的函數關系式, 并寫出自變量的取值范圍；(2) 如圖2,當點E在線段OA上時,矩形OABC關于直線DE對稱的圖形為矩形 O A B', C' B'分別交CB,OA于點D, M , O'A分別交CB , OA于點N, E.探究四邊形 D

22、MEN各邊之間的數量關系,并對你的結論加 以證實；(3)問題(2) 中的四邊形DMEN中,ME的長為此題難度對于初二學生相當斗【好好學習第一問的解題方法,第三問,E在OA上時,DE,的長度不變,為2倍根號5,(延x軸平移CC代數法用勾股定理可求得C25題.第二問由兩組平行可得平行四邊形,z :CME的值.】O'yDMEED <B稱性質),得菱形. <C 重合,設 DM=EM=x , Z AXMB'圖2解：1 矩形OABC中,點A, C的坐標分別為(6,0),(0,2) ,.點 B 的坐標為(6, 2). S = S矩形 OABC- S.COD - S.OAE - S

23、.DBE1 =6 2(2b-4) 2 (b -3) 66(2b-4) 2-(b-3)222=b2 + 5b .綜上可得：S =,'2b (2<b3),2、-b +5b (3<b<5).(2) DM=ME=EN=ND.證實：如圖8.四邊形OABC和四邊形O' A' B是C!形, CB / OA, CB7/ OA',即 DN II ME, DM / NE.四邊形 DMEN是平行四邊形,且Z NDE = Z DEM.yiC'B'EA' x假設直線y =_1x +b經過點C(0, 2),貝U b=2;2假設直線y = _1x+b

24、經過點A(6,0),貝U b = 3;2假設直線y =_1x +b經過點B(6, 2),貝U b = 5.2當點E在線段OA上時,即2<b<3時,如圖6 1 一'點E在直線y = 一一x + b上,2當 y = 0 時,x = 2b ,.點 E 的坐標為(2b,0) . S =1 .2b .2 =2b .2當點E在線段BA上時,即3<b<5時,(如圖7). 1,.點D, E在直線y=x+b上,2當 y = 2時,x = 2b4;當 x =6時,y =b -3,.點D的坐標為2b 4,2,點E的坐標為6,b 3 .矩形OABC關于直線DE對稱的圖形為矩形 O

25、9; A' B', C' . .ZDEM=Z DEN. NDE = Z DEN.ND=NE. 四邊形 DMEN是菱形.DM=ME = EN=ND .3答：問題2中的四邊形 DMEN中,ME的長為 2. 5 14、探究問題1 ：如圖1 ,三角形ABC中,點D是AB邊的中點,AE± BC, BF ± AC,垂足分別為點 E, F, AE,BF交于點 M,連接DE, DF.假設DE= k DF ,貝U k的值為 拓展問題2 ：如圖2,三角形 ABC中,CB=CA,點D是AB邊的中點,點 M在三角形 ABC的內部, 且Z MAC = Z MBC,過點 M分別

26、作 ME ± BC, MF ± AC,垂足分別為點 E, F,連接 DE, DF .求證：DE=DF.推廣問題3 如圖3,假設將上面問題2中的條件 CB=CA變為CB/A,其他條件不變,試探究DE與DF之 間的數量關系,并證,明你的結論第三問,取 BM和AM的中點,構造全等三角形,122某區的模擬題與此高度相似,A圖9問題1 k的值為 1.-問題2 證實：如圖9. . CB=CA,. .Z CAB= / CBA./ MAC = Z MBC, Z CAB Z MAC= Z CBA Z MBC ,即 Z MAB = Z MBA.MA = MB.ME ±BC, MF &

27、#177;AC,垂足分別為點 E, F,AFM=Z BEM=90° .在 AFM 與 BEM中,/AFM = Z BEM, Z MAF = Z MBE, MA=MB,. . AFM BEM . AF=BE.點D是AB邊的中點,BD = AD.在 BDE與 ADF中,BD = AD,Z DBE =Z DAF , -BE = AF,. BDEA ADF .DE=DF .問題3解：DE=DF .證實：分別取 AM , BM的中點G, H,連接DG, FG, DH, EH.如圖10.點D, G, H分別是AB , AM , BM的中點, DG / BM , DH / AM,且 DG= 1 B

28、M DH = 1 AM 22四邊形 DHMG是平行四邊形.DHM = / DGM ,ME ±BC, MF ±AC,垂足分別為點 E, F,.Z AFM=Z BEM=90° .- FG=1 AM= AG, EH=1BM= BH . FG= DH , DG= EH , 22/ GAF = / GFA, Z HBE = / HEB . Z FGM =2Z FAM , Z EHM =2 Z EBM . ZFAM = Z EBM, Z FGM = / EHM.Z DGM+Z FGM = Z DHM + Z EHM,即Z DGF = Z DHE .在 EHD 與 DGF 中,

29、EH = DG , Z EHD =Z DGF , HD = GF, . EHDA DGF .二 DE=DF .16、 如圖,四邊形 ABCD是正方形,點 G是BC上任意一點,DE±AG于點E, BF±AG于點F.(1) 求證：DE BF = EF;(2) 假設點G為CB延長線上一點,其余條件不變.請你在圖中畫出圖形,寫出此時DE、BF、EF之間的 數量關系(不需要證實)；(3) 假設AB=2a ,點G為BC邊中點時,試探究線段EF與GF之間的數量關系,并通過計算來驗證你的結論. 第一問,證全等即可得AE=BF , AF=DE.第三問,各三角形相似,兩直角邊的比是1:2,所以

30、可得AE=BF=EF=2FG.解：(1)證實：.四邊形 ABCD是正方形,BF ± AG , DE ± AGDA=AB , Z BAF+ Z DAE= Z DAE+ Z ADE=90 °BAF= Z ADE ,. ABFA DAE BF=AE , AF=DE ; DE-BF=AF-AE=EF(2) 如圖,DE+BF=EF(3) EF=2FG過程：AB=2a,點G為BC邊中點,BG=a由勾股定理可求AG = . 5a2一5又 AB ± BC , BF ± AC,由等積法可求 BF = a5545由勾股定理可求 FG =5a , AF =%5aAE

31、 = BF =25aEF =5a ,EF=2FG .5517、如圖,在線段 AE的同側作正方形 ABCD和正方形 BEFG (BE<AB ),連接EG并延長交 DC于點M , 作MN ± AB,垂足為點 N , MN交BD于點P,設正方形 ABCD的邊長為1.(1) 證實：四邊形 MPBG是平行四邊形；(2) 設BE=x,四邊形MNBG的面積為y,求y關于x的函數解析式,并寫出自變量 x的取值范圍；(3) 如果按題設作出的四邊形MPBG是菱形,求BE的長.(圖中的三角形多是等腰直角三角形, )證實：(1) ABCD、BEFG是正方形/ CBA= / FEB=90 , / ABD

32、= / BEG=45 ,.二 DB / ME. MN ± AB , CB ± AB,.MN / CB.二四邊形 MPBG 是平行四邊形；(2) .正方形 BEFG, . BG=BE=x.CMG= Z BEG=45 , . CG=CM=BN=1 x.y= 1 (GB+MN ) BN= 1 ( 1+x) (1 x) = - 1x2 ,(0<x<1 );2 222(3) 由四邊形 BGMP是菱形,那么有 BG=MG ,即 x= t2 (1 x).解得 x=2 x!2 ,BE=2 V2.18、 將一張直角三角形紙片 ABC折疊,使點A與點C重合,這時DE為折痕, CBE

33、為等腰三角形；再繼 續將紙片沿 CBE的對稱軸EF折疊,這時得到了兩個完全重合的矩形(其中一個是原直角三角形的內接矩形,另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形),我們稱這樣兩個矩形為“疊加矩形.請完成以下問題:(1) 如圖,正方形網格中的 ABC能折疊成“疊加矩形嗎如果能,請在圖中畫出折痕;(2) 如圖,在正方形網格中,以給定的BC為一邊,畫出一個斜 ABC,使其頂點A在格點上,且 ABC 折成的“疊加矩形為正方形；(3) 如果一個三角形所折成的“疊加矩形為正方形,那么它必須滿足的條件是 .解：(1) : TA-I-；-：-；卜&只2分(說明打血)(2) 一(說明：只需畫血前足條件-的一

34、個三角形；答案不惟一,所畫三角形的一邊長與該邊上的高相等即可. 上了多申&目該邊上的高相等19、考考你腐獨號論證C (此題6分) 如圖,在 ABC中,D是BC邊上的一點,E是AD的中點,過A點作BC的平行線交CE的延長線于F ,且AF = BD ,連結BF .(1) 求證：D是BC的中點；(2) 如果AB = AC,試判斷四邊形 AFBD的形狀,并證實你的結論.難度一般 解1證實：AF / BC, Z AFE= / DCE.E 是 AD 的中點,AE=DE ./ AEF= Z DEC, AEFA DEC. . AF=DC. AF=BD ,BD=CD. , . . D 是 BC 的中點.

35、2四邊形AFBD是矩形,AB=AC , D 是 BC 的中點,AD ±BC?,即Z ADB=90AF=BD , AF / BC, 四邊形 AFBD 是矩形.20、拓廣與探索此題7分如圖(1), RtA ABC中,/ ACB=90,中線BE、CD相交于點 O,點F、G分別是 OB、OC的中點.(1) 求證：四邊形 DFGE是平行四邊形；(2) 如果把 Rt ABC變為任意 ABC,如圖(2),通過你的觀察,第(1)問的結論是否仍然成立(不用證實)；(3) 在圖(2)中,試想：如果拖動點 A,通過你的觀察和探究,在什么條件下四邊形 DFGE是矩形,并給出證實；(4) 在第(3)問中,試想

36、：如果拖動點 A,是否存在四邊形 DFGE是正方形或菱形如果存在,畫出相應的圖形(不用證實)(圖1)(第三問,AB=AC時.第四問,/但是,AB乒AC時是麥形.).21、如圖,點 A (0, 4),/B3/ I(圖 2)B=A,且底邊上的高是 BC的3/2'是正方形.保持這種高與邊的比,.氣P為線段AB上的一個&,、軸于點M ,作PN _L x軸于點N,連接MN,當點P運動到什么位置時, MN的值最小最小值是多少求出此時PN的長.(MN=OP,所以 OP ± AB 時,MN 也就是 OP 最小,OP=12/5.)初三相似形 22、如圖,在梯形 ABC D 中,AD/

37、BC, AB=AD=DC= 4, /C = 60°, AE _L B D 于點 E,F是CD的中點,連接EF.(1) 求證：四邊形 AEFD是平行四邊形；(2) 點G是BC邊上的一個動點,當點 G在什么位置時,四邊形 DEGF是矩形并求出這個矩形的周長；(3)在BC邊上能否找到另外一點 G',使四邊形DEG'F的周長與(2)中矩形DEGF的周長相等請簡述你的理由(第二問,點 G為BC中點時,也是 AE的延長線與BC的交點.第三問,能找到.以EF為一邊在EF的卜方做 GiEF GFE , G1在BC上,但是不與 G重合,)23、(9 分)在梯形 ABC D 中,AB /

38、 CD ,2 BCD =90°,且 AB=1, BC = 2, CD=2AB.對角線 AC 和BD相交于點O,等腰直角三角板的直角頂點落在梯形的頂點C上,使三角板繞點 C旋轉.(1)如圖9-1,當三角板旋轉到點 E落在BC邊上時,線段 DE與BF的位置關系是 ,數量關系(2)繼續旋轉三角板,旋轉角為«,請你在圖9-2中畫出圖形,并判斷(1)中結論還成立嗎如果成立請加以證實；如果不成立,請說明理由；5#【】(3)如圖9-3,當二角板的一邊CF與梯形對角線 AC重合時,EF與CD相父于點P,右OF =,6求PE的長.圖9-1圖9-2圖9-3(第三問,證實兩次相似,推導比例關系.

39、)多看看解：(1)垂直,相等；2分(2)畫圖如圖(答案不唯一)(1)中結論仍成立.證實如下：過 A作 AM _LDC 于 M,那么四邊形 ABCM 為矩形.二 AM = BC=2 , MC=AB=1. CD =2AB , DM W =1. DC=BC.2 BCD =NECF =90°,二 NDCE =£BCFDCE = BCF , . DE =BF, 1 = 2. 又 ：/3 = /4,二 25 =鄧.=90二DE _L BF ,二線段DE和BF相等并且互相垂直.(3)二.AB /CD,二 MOB s ACOD,二些CDOA _ OBOC 一 OD7 AB =1,CDOA=

40、2,二 ZOCOBOA5一 3二把6OD2 2 同理可求得OB =35 ACAF =OA OF =2CE=CF.5.2= CD«BCD =90°".NOBC =45°. 由(2)知 ADCE 三 ABCF,二 4=匕2. 又 t 4 "OBC =45° , ACPE s ACOBoPE竺.PE T. PE = Q.OB BC一2一2 r6初三相似形 24、(9分)將一矩形紙片 OABC放在平面直角坐標系中,0(0,0) , A(6,0) , C(0,3).動點 Q 從點.出發以每秒1個單位長的速度沿 0C向終點C運動,運動2秒時,動點

41、P從點A出發以相等的速度沿3A0向終點.運動.當其中一點到達終點時,另一點也停止運動.設點P的運動時間為t (秒).(1) 用含t的代數式表示 OP, 0Q ;(2) 當t=1時,如圖10-1,將OPQ沿PQ翻折,點.恰好落在CB邊上的點D處,求點D的坐標；(3) 連結AC ,將 OPQ沿PQ翻折,得到 EPQ ,如圖10-2.問：PQ與AC能否平行 PE與AC能 否垂直假設能,求出相應的 t值；假設不能,說明理由.2解：(1)OP=6t, OQ=t+.3(2)當t=1時,過D點作DD1 _LOA,交OA于D,如圖1, 3分那么 DQ =QO =5, QC =4,二 CD =1 ,二 D(1,

42、3).3 3(3)PQ能與AC平行.假設PQ / AC,如圖2,那么QE =QA,即邑蟲=6 ,OQ OC * 2 一3t _314714:A=,而 0 < t < - , :A=.939PE不能與AC垂直.假設PE_L AC ,延長QE交OA于F,如圖3,t -ntt QF OQ QF 13廠,2 )那么=一3.二 QF =j5.t + .AC OC 3j53V 3)EF =QF QE =QF OQ =75.“+亍 "+2 = (75一偵+言(而一1).又Rt A EPF s Rt OCA,PE _OC6-tEF OA'37而0 < t < 7 ,

43、- - t不存在.33 ,.t 全 3.45.625、銳角 ABC 中,AB=AC,點 D 在 AC 邊上,DE ± AB 于 E, 延長ED交BC的延長線于點 F.(1)當Z A=40°時,求/ F的度數； 設Z F為x度,Z FDC為y度,試確定y與x之間的函數關系式第二問,/ B+x=90 , x+y= / B,所以 y=90° -2x.解(1) . AB=AC, NB=NACB. Z A=40° ,B =70七. DE ±AB ,二 NBEF=90 . NF =20°.(2)NB=NC ,NA=180一2B.FDC = ADE

44、 =90 - A在 BEF中,C. 2BEF=90',. £B=90/F-.FDC - -90 180 -2 F =90 -2 F.y - _2x 90 .26、如圖1,正方形 ABCD的邊CD在正方形 DEFG的邊DE上,連接AE、GC.(1) 試猜想AE與GC有怎樣的數量關系；(2) 將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉,使點E落在BC邊上,如圖2,連接AE和GC.你認為(1)中的結論是否還成立假設成立,給出證實；假設不成立,請說明理由；(3) 在(2)的條件下,求證: AE ± GC.(友情提示：旋轉后的幾何圖形與原圖形全等)延長相交可證得垂直,解：(1)猜

45、想：AE=GC(2)答：AE=CG 成立.證實：四邊形ABCD與DEFG都是正方形, AD=DC , DE=DG , TADC= = (；EDG=90?. 1+ ：3= 2+ 3=90 .?1= ?2 ., ADE 匹 CDG ., . AE=CG .(3) 延長AE, GC相交于H,由(2)可知巧=羿.又賣密=90 9 舛?7=180 ?QCE=90 ?,6= 7又. 5?*iAEB=90 ?,REB=REH.CEH ：7=90 ；27、如下列圖,在直角梯形ABC" AD/BC, Z A= 90° ,AE 12 , BO 21, AD=16=動點P從點B出發,沿射線BC的

46、方向以每秒2個單位長的速度運動,動點 Q同時從點A出發,在線段 AD上以每秒1個單位長的 速度向點D運動,當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨之停止運動.設運動的時間為t (秒).(1) 當t為何值時,四邊形 PQDC的面積是梯形 ABCD的面積的一半；(2) 四邊形PQDC能為平行四邊形嗎如果能, 求出t的值；如果不能, 請說明理由.(3) 四邊形PQDC能為等腰梯形嗎如果能,求出 t的值；如果不能, 請說明理由.AB(第一問,t=37/6,第二問,t=5,第三問,不能,/ QPC于90.,不 能等于/ DCP;此題擴展：如果延 DA CB方向移動,那么可以出現等腰梯形.) 28、(12分)如圖,等腰梯形 ABC圳,AD/ BC M N分別是AD BC的中點,E、F分別是BM CM的中點.(1) 在不添加線段的前提下,圖中有哪幾對全等三角形請直接寫出結論；(2) 判斷并證實四邊形 MENI何種特殊的四邊形(3) 當等腰梯形 ABCD勺高h與底邊BC滿足怎樣的數量關系王HC=90?.,AE *GC .時四邊形 MEN匾正方形直接寫出結論,不需要證實兩對；菱形；一半.39、E是正方形 ABCD勺對角線 BD上一點,EFL BC, EC CD,垂足分別是F、G.求證：AE = FG .簡單題：連接 CE,貝U CE=FG ,再證全等即可.證實：連接 CEL四邊形ABCD為正方