1、會計學(xué)1數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)(shxu)球的表面積和體積新人教球的表面積和體積新人教A必修必修第一頁，共29頁。例題例題(lt)講解講解課堂作業(yè)課堂作業(yè)教學(xué)教學(xué)(jio xu)目標目標重點難點重點難點球表面積球表面積球的體積球的體積課堂練習課堂練習封底封底退出退出課堂小結(jié)課堂小結(jié)第2頁/共29頁第二頁，共29頁。l掌握球的體積掌握球的體積(tj)、表面積公式、表面積公式l掌握球的表面積公式、體積公式的推導(dǎo)過程及主要思想掌握球的表面積公式、體積公式的推導(dǎo)過程及主要思想進一步理解分割進一步理解分割(fng)近似求和近似求和精確求和的思想方法精確求和的思想方法l會用球的表面積公式、體積公式解快相關(guān)問題會用球的表

2、面積公式、體積公式解快相關(guān)問題(wnt)，培，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力l能解決球的截面有關(guān)計算問題及球的能解決球的截面有關(guān)計算問題及球的“內(nèi)接內(nèi)接”與與“外切外切”的幾何體問題的幾何體問題教學(xué)目標教學(xué)目標第3頁/共29頁第三頁，共29頁。球的體積球的體積(tj)公式的推導(dǎo)公式的推導(dǎo)球的體積球的體積(tj)公式及公式及應(yīng)用應(yīng)用球的表面積公式球的表面積公式(gngsh)及應(yīng)用及應(yīng)用球的表面積公式的推導(dǎo)球的表面積公式的推導(dǎo)l教學(xué)重點l教學(xué)難點化化為為準準確確和和思思想想方方法法求求近近似似和和分分割割重點難點重點難點第4頁/共29頁第四頁，共29頁。R.34,32:33RVRV 從

3、而從而猜測猜測半球半球? 半球半球V331RV 圓錐圓錐333RV 圓柱圓柱高等于底面半徑高等于底面半徑(bnjng)的旋轉(zhuǎn)體體積對比的旋轉(zhuǎn)體體積對比球 的 體 積球 的 體 積(tj)第5頁/共29頁第五頁，共29頁。 學(xué)習球的知識學(xué)習球的知識(zh shi)要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來要注意和圓的有關(guān)指示結(jié)合起來所以我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法所以我們先來回憶圓面積計算公式的導(dǎo)出方法球 的 體 積球 的 體 積(tj) 我們把一個半徑為我們把一個半徑為R的圓分成若干等分，然后如上圖重新的圓分成若干等分，然后如上圖重新拼接起來，把一個圓近似的看成是邊長分別是拼接起來，把一個圓近似的看

4、成是邊長分別是.的的矩矩形形和和RR .2R 于于那么圓的面積就近似等那么圓的面積就近似等第6頁/共29頁第六頁，共29頁。當所分份數(shù)不斷當所分份數(shù)不斷(bdun)(bdun)增加時，精確程度就越來增加時，精確程度就越來越高；當份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式越高；當份數(shù)無窮大時，就得到了圓的面積公式法法導(dǎo)導(dǎo)出出球球的的體體積積公公式式下下面面我我們們就就運運用用上上述述方方即先把半球分割成即先把半球分割成n n部分，再求出每一部分的近似體積，并將這部分，再求出每一部分的近似體積，并將這些些(zhxi)(zhxi)近似值相加，得出半球的近似體積，最后考慮近似值相加，得出半球的近似體積，最后考

5、慮n n變?yōu)闊o窮變?yōu)闊o窮大的情形，由半球的近似體積推出準確體積大的情形，由半球的近似體積推出準確體積球的體積球的體積(tj)分割分割求近似和求近似和化為準確和化為準確和第7頁/共29頁第七頁，共29頁。,21RRr ,)(222nRRr 問題問題: :已知球的半徑已知球的半徑(bnjng)(bnjng)為為R,R,用用R R表示表示球的體積球的體積. .,)2(223nRRr AOB2C2球的體積球的體積(tj)AO第8頁/共29頁第八頁，共29頁。OR)1( inR半半徑徑：層層“小小圓圓片片”下下底底面面的的第第i.,2,1,)1(22niinRRri irOA球 的 體 積球 的 體 積

6、(tj)第9頁/共29頁第九頁，共29頁。nininRnRrVii,2, 1,)1(1232 niinRRri,2, 1,)1(22 nVVVV 21半半球球)1(2122223nnnnR 6)12()1(123 nnnnnnR 6)12)(1(1123 nnnR 球的體積球的體積(tj)第10頁/共29頁第十頁，共29頁。6)12)(11(13nnRV 半球半球.01,nn時時當當.343233RVRV 從而從而半球半球334RVR 的球的體積為：的球的體積為：定理：半徑是定理：半徑是球 的 體 積球 的 體 積(tj)第11頁/共29頁第十一頁，共29頁。2)2)若每小塊表面看作一個若每小

7、塊表面看作一個(y )(y )平面平面, ,將每小塊平面作為底面將每小塊平面作為底面, ,球心作為球心作為頂點便得到頂點便得到n n個棱錐個棱錐, ,這些棱錐體積之和近似為球的體積這些棱錐體積之和近似為球的體積. .當當n n越大越大, ,越接近于越接近于球的體積球的體積, ,當當n n趨近于無窮大時就精確到等于球的體積趨近于無窮大時就精確到等于球的體積. .1) 1)球的表面是曲面球的表面是曲面, ,不是平面不是平面, ,但如果將表面平均分割成但如果將表面平均分割成n n個小塊個小塊, ,每小塊表面每小塊表面可近似看作可近似看作(kn zu)(kn zu)一個平面一個平面, ,這這n n小塊

8、平面面積之和可近似看作小塊平面面積之和可近似看作(kn (kn zu)zu)球的表面積球的表面積. .當當n n趨近于無窮大時趨近于無窮大時, ,這這n n小塊平面面積之和接近于甚至等小塊平面面積之和接近于甚至等于球的表面積于球的表面積. . 球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無法用展開圖求出，如何求球的表面積公式呢出，如何求球的表面積公式呢? ?回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法回憶球的體積公式的推導(dǎo)方法, ,是否是否也可借助于這種極限也可借助于這種極限(jxin)(jxin)思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢思想方法來推導(dǎo)球的表面積公式呢?

9、? 下面，我們再次運用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式下面，我們再次運用這種方法來推導(dǎo)球的表面積公式球的表面積球的表面積第12頁/共29頁第十二頁，共29頁。oiS o球的表面積球的表面積第13頁/共29頁第十三頁，共29頁。第第一一步步：分分割割(f(fnngg) )球面球面(qimin)(qimin)被分割成被分割成n n個網(wǎng)格，表個網(wǎng)格，表面積分別為：面積分別為：nSSSS ,321，則球的表面積：則球的表面積：nSSSSS 321則球的體積則球的體積(tj)(tj)為：為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O球的表面積球的表面積第14頁/共

10、29頁第十四頁，共29頁。第第二二步步：求求近近似似(j(jn n ss) )和和ih由第一步得：由第一步得：nVVVVV 321nnhShShShSV 31313131332211 iiihSV 31 O OiSiVO O球的表面積球的表面積第15頁/共29頁第十五頁，共29頁。第第三三步步：化化為為準準確確( (z zh h n nq qu u ) )和和RSVii31 如果網(wǎng)格分的越細如果網(wǎng)格分的越細, ,則則: “: “小錐小錐體體”就越接近就越接近(jijn)(jijn)小棱錐小棱錐RSRSRSRSVni 3131313132 RSSSSSRni31).(3132 334RV 又球的

11、體積為：又球的體積為：RiS iVihiSO OiV234,3134RSRSR 從而從而球的表面積球的表面積Rhi的值就趨向于球的半徑的值就趨向于球的半徑 第16頁/共29頁第十六頁，共29頁。例例1.1.鋼球直徑鋼球直徑(zhjng)(zhjng)是是5cm,5cm,求它求它的體積的體積. .3336125)25(3434cmRV (變式變式1)一種一種(y zhn)空心鋼球的質(zhì)量是空心鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是外徑是5cm,求求它的內(nèi)徑它的內(nèi)徑.(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm2)例題例題(lt)講解講解第17頁/共29頁第十七頁，共29頁。(變式變式1)一種空心一種空心(kng x

12、n)鋼球的質(zhì)量是鋼球的質(zhì)量是142g,外徑是外徑是5cm,求它的內(nèi)徑求它的內(nèi)徑.(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm2)解解:設(shè)空心設(shè)空心(kng xn)鋼球的內(nèi)徑為鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)則鋼球的質(zhì)量是量是答答:空心空心(kng xn)鋼球的內(nèi)徑鋼球的內(nèi)徑約為約為4.5cm.14234)25(349.733 x 3.1149.73142)25(33 x由計算器算得由計算器算得:24. 2 x5 . 42 x例題講解例題講解第18頁/共29頁第十八頁，共29頁。( (變式變式2) 2)把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中把鋼球放入一個正方體的有蓋紙盒中, ,至少至少(zhsho)(zhsh

13、o)要用多少紙要用多少紙? ?用料最省時用料最省時, ,球與正方體有什么位置球與正方體有什么位置(wi zhi)(wi zhi)關(guān)系關(guān)系? ?球內(nèi)切于正方體球內(nèi)切于正方體2215056cmS 側(cè)側(cè)側(cè)棱長為側(cè)棱長為5cm例題例題(lt)講解講解第19頁/共29頁第十九頁，共29頁。例例2.2.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為a,a,它的它的各個頂點各個頂點(dngdin)(dngdin)都在球都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分

14、析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們體都是中心對稱圖形可知，它們(t (t men)men)中心重合，則正方體對角線與球的中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。直徑相等。22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O例題例題(lt)講解講解第20頁/共29頁第二十頁，共29頁。OABCO 例已知過球面上三點例已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離離(jl)等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且A

15、B=BC=CA=cm，求，求球的體積，表面積球的體積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑半徑(bnjng)為為R，截面截面 O的半徑的半徑(bnjng)為為r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO ,2 例題例題(lt)講解講解第21頁/共29頁第二十一頁，共29頁。.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解：在解：在 ;81256)34(343433 RV例例.已知過球面上三點已知過球面上三點A、B、C的截面到球心的截面到球心(qixn)O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半

16、，且AB=BC=CA=cm，求球的體積，表面，求球的體積，表面積積例題例題(lt)講解講解第22頁/共29頁第二十二頁，共29頁。2.一個一個(y )正方體的頂點都在球面上正方體的頂點都在球面上,它的棱長是它的棱長是4cm,這個球的體積為這個球的體積為cm3. 8 3323.有三個球有三個球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切于一球切于正方體的各側(cè)棱正方體的各側(cè)棱,一球過正方體的各頂點一球過正方體的各頂點(dngdin),求這三個球的體積之比求這三個球的體積之比_.1.球的直徑伸長球的直徑伸長(shn chn)為原來的為原來的2倍倍,體積變?yōu)樵瓉淼谋扼w積變?yōu)樵瓉淼谋?練習一練習一

17、課堂練習課堂練習33:22:1第23頁/共29頁第二十三頁，共29頁。4.4.若兩球體積若兩球體積(tj)(tj)之比是之比是1:21:2，則其表面積之比，則其表面積之比是是_._.練習練習(linx(linx)二二2422:134:11.若球的表面積變?yōu)樵瓉砣羟虻谋砻娣e變?yōu)樵瓉?yunli)的的2倍倍,則半徑變?yōu)樵瓉韯t半徑變?yōu)樵瓉?yunli)的的_倍倍.2.若球半徑變?yōu)樵瓉淼娜羟虬霃阶優(yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼谋叮瑒t表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍倍.3.若兩球表面積之比為若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是，則其體積之比是_.課堂練習課堂練習第24頁/共29頁第二十四頁，共29頁。7.7.

18、將半徑為將半徑為1 1和和2 2的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么的兩個鉛球，熔成一個大鉛球，那么(n me)(n me) 這個大鉛球的表面積是這個大鉛球的表面積是_._.5.5.長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為長方體的共頂點的三個側(cè)面積分別為 ， 則它的外接球的表面積為則它的外接球的表面積為_. .15,5,36.6.若兩球表面積之差為若兩球表面積之差為48 ,48 ,它們大圓它們大圓(d yun)(d yun)周長周長之和為之和為12 ,12 , 則兩球的直徑之差為則兩球的直徑之差為_._.練習練習(linx(linx) )二二課堂練習課堂練習 94 3312第25頁/共29頁第二十五頁，共29頁。l了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分了解球的體積、表面積推導(dǎo)的基本思路：分割割(fng)(fng)求近似和求近似和化為標準和的方法，化為標準和的方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法是一種重要