1、Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology理論力學課堂教學軟件（8）第三篇第三篇 動力學動力學第三篇第三篇 動力學動力學H 艦載飛機在發動機和彈射器推力作用下從甲板上起飛艦載飛機在發動機和彈射器推力作用下從甲板上起飛第三篇第三篇 動力學動力學 若已知初速度、一定的時間間隔后飛離甲板時若已知初速度、一定的時間間隔后飛離甲板時的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需的速度，則需要彈射器施加多大推力，或者確定需要多長的跑道。要多長的跑道。已知推力和跑道可能已知推力和跑道可能長度，則需要多大的長度，則需要多大的初

2、速度和一定的時間初速度和一定的時間間隔后才能達到飛離間隔后才能達到飛離甲板時的速度。甲板時的速度。第三篇第三篇 動力學動力學爆破時煙囪怎樣倒塌爆破時煙囪怎樣倒塌第三篇第三篇 動力學動力學 棒球棒球在被球棒擊打后，其速度的大小在被球棒擊打后，其速度的大小和方向發生了變化。如果已知這種變化和方向發生了變化。如果已知這種變化即可確定球與棒的相互作用力。即可確定球與棒的相互作用力。Fv1v2第三篇第三篇 動力學動力學載人飛船的載人飛船的交會與對接交會與對接Av1Bv2第三篇第三篇 動力學動力學高速列車的振動問題高速列車的振動問題第三篇第三篇 動力學動力學航空航天器航空航天器的姿態控制的姿態控制第三篇第

3、三篇 動力學動力學動力學動力學研究物體的研究物體的機械運動機械運動與與作用力作用力之間的關系。之間的關系。動力學動力學中所研究的中所研究的研究對象研究對象是是質點質點和和質點系質點系(包括包括剛體剛體)。質點質點：具有一定質量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計：具有一定質量而幾何形狀和尺寸大小可以忽略不計的物體。的物體。質點系質點系：由幾個或無限個相互有聯系的質點所組成的系統。：由幾個或無限個相互有聯系的質點所組成的系統。剛體剛體：質點系的一種特殊情形，其中任意兩個質點間的距：質點系的一種特殊情形，其中任意兩個質點間的距離保持不變，也稱不變的質點系。離保持不變，也稱不變的質點系。第三篇第三篇 動

4、力學動力學第第8章章 質點動力學質點動力學第三篇第三篇 動力學動力學質點動力學質點動力學(dynamics of a particle)(dynamics of a particle)：研究作用研究作用在質點上的在質點上的力力和和質點運動質點運動之間的關系。本章主要介之間的關系。本章主要介紹質點在紹質點在慣性系慣性系下的下的運動微分方程運動微分方程。第三篇第三篇 動力學動力學 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題 8.3 8.3 結論結論與討論與討論 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程第第8章章 質點動力學質點動力學 8.1 8.1 質點運動微分方程質

5、點運動微分方程第第8章章 質點動力學質點動力學第一定律第一定律(慣性定律慣性定律) niitm1d)d(Fv不受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。不受力作用的質點，將保持靜止或作勻速直線運動。質點保持其原有運動狀態不變的屬性稱為質點保持其原有運動狀態不變的屬性稱為慣性慣性。第二定律第二定律( (力與加速度關系定律力與加速度關系定律) ) 質點的質量與加速度的乘積，等于作用質點的力的質點的質量與加速度的乘積，等于作用質點的力的大小，加速度的方向與力的方向相同。大小，加速度的方向與力的方向相同。 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程理論基礎：牛頓定律與微積分理論基礎：牛頓定律與

6、微積分在經典力學中質點的質量是守恒的在經典力學中質點的質量是守恒的niim1Fa質點的質量越大，其運動狀態越不容易改變，也就是質點質點的質量越大，其運動狀態越不容易改變，也就是質點的慣性越大。因此，質量是質點慣性的度量。上式是推導的慣性越大。因此，質量是質點慣性的度量。上式是推導其它動力學方程的出發點，稱為其它動力學方程的出發點，稱為動力學基本方程動力學基本方程。mPgm Pg國際計量標準國際計量標準g9.80665 m/s2，一般取一般取g9.8 m/s2在國際單位制在國際單位制(SI)中，中，長度、時間、質量長度、時間、質量為基本量，它們的為基本量，它們的單位以米單位以米(m)、秒、秒(s

7、)和千克和千克(kg)為基本單位。其它量均為導為基本單位。其它量均為導出量，它們的單位則是導出單位。出量，它們的單位則是導出單位。在地球表面，任何物體都受到重力在地球表面，任何物體都受到重力 P 的作用。在重力的作用。在重力作用下得到的加速度稱為作用下得到的加速度稱為重力加速度重力加速度，用，用 g 表示。由第二表示。由第二定律有定律有或或為緯度2sin0000059. 0sin0052884. 0178049. 922g 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程第三定律（作用與反作用定律）第三定律（作用與反作用定律） 兩個物體間相互作用的作用力和反作用力總是大小兩個物體間相互作用的作

8、用力和反作用力總是大小相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩相等、方向相反，沿著同一作用線同時分別作用在這兩個物體上。個物體上。以牛頓定律為基礎所形成的力學理論稱為以牛頓定律為基礎所形成的力學理論稱為古典力學古典力學。第一、二定律：第一、二定律： 第第 三三 定律：定律：適用條件適用條件？慣性參考系慣性參考系 任意參考系任意參考系 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程 已知：已知：質點質點M（質量（質量m），），作用其上的力有作用其上的力有F1，F2，, Fn。根據根據牛頓第二定律牛頓第二定律，在不同，在不同坐標系中，質點在慣性系中坐標系中，質點在慣性系中的運動微分方程有

9、以下幾種的運動微分方程有以下幾種形式：形式： 矢量形式矢量形式iimFr 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程質點運動微分方程質點運動微分方程 直角坐標形式直角坐標形式iiziiyiixFzmFymFxm 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程 自然坐標形式自然坐標形式t2nb0iiiiiimsFsmFFt22nsasva 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程1、矢量形式適用于理論分析；、矢量形式適用于理論分析；2、直角坐標形式適于計算；、直角坐標形式適于計算；3、合理選擇坐標系，如柱坐標、合理選擇坐標系，如柱坐標、球坐標，會使球坐標，會使計算簡便。計算簡便。

10、 8.1 8.1 質點運動微分方程質點運動微分方程第第8章章 質點動力學質點動力學 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題動力學的基本問題：動力學的基本問題：第一類基本問題第一類基本問題：已知運動求力。：已知運動求力。如：萬有引力定律的發現。如：萬有引力定律的發現。“我（牛頓）之所以看得遠，是因為我站在巨人的肩膀之上。我（牛頓）之所以看得遠，是因為我站在巨人的肩膀之上。”牛頓在總結前人的研究成果，包括：牛頓在總結前人的研究成果，包括：1）哥白尼哥白尼（14731543） 日心說日心說2）第谷第谷布拉赫布拉赫（15461601）積累的天文觀察資料）積累的天文觀察資料3）

11、開普勒開普勒（15711630）行星三定律）行星三定律總結出萬有引力定律，寫出了總結出萬有引力定律，寫出了自然哲學之數學原理自然哲學之數學原理一書一書(1687年年)，對動力學作了系統的描述，提出了牛頓三定律，對動力學作了系統的描述，提出了牛頓三定律，它是整個古典力學的基礎。它是整個古典力學的基礎。在求解過程中需對運動方程求導即可。在求解過程中需對運動方程求導即可。 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題第二類基本問題第二類基本問題：已知力求運動。：已知力求運動。如：跳樓時救援氣墊的擺放位置。如：跳樓時救援氣墊的擺放位置。所謂已知力是指：力所謂已知力是指：力F 可以表

12、示成可以表示成 的已知函數的已知函數),(trvFF 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題在求解過程中需解微分方程，即求積分的過程在求解過程中需解微分方程，即求積分的過程 。兩類問題綜合兩類問題綜合已知部分力和部分運動，求另一部分的力和運動已知部分力和部分運動，求另一部分的力和運動已知：已知：發動機的輸出扭矩、車的重力、車沿直線行駛。發動機的輸出扭矩、車的重力、車沿直線行駛。待求：待求：地面約束力，車身的運動（前行速度，上下振動）。地面約束力，車身的運動（前行速度，上下振動）。 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題求解質點動力學問題的過程

13、與步驟如下求解質點動力學問題的過程與步驟如下1.對象：對象：確定研究對象，選擇適當的坐標系；確定研究對象，選擇適當的坐標系； 2.受力：受力：進行受力分析，畫出相應的受力圖；進行受力分析，畫出相應的受力圖； 3.運動：運動：進行運動分析，計算出求解問題所需的運動量；進行運動分析，計算出求解問題所需的運動量； 4.方程：方程：列出質點動力學的運動微分方程，分清是第一類列出質點動力學的運動微分方程，分清是第一類問題還是第二類問題，分別用微分或積分法求解問題還是第二類問題，分別用微分或積分法求解。 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題1. 1. 力是常數或是時間的簡單函數

14、力是常數或是時間的簡單函數00d( )dvtvm vF tt00ddddd( )dddddvxvxvvxvvmv vF xxtxtx3. 3. 力是速度的簡單函數，分離變量積分力是速度的簡單函數，分離變量積分00dd( )vtvmvtF v2. 2. 力是位置的簡單函數力是位置的簡單函數, , 利用循環求導變換利用循環求導變換常見問題的數學處理方法常見問題的數學處理方法 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題 曲柄連桿機構如圖所示.曲柄OA以勻角速度 轉動，OA=r，AB=l，當 比較小時,以O 為坐標原點,滑塊B 的運動方程可近似寫為 lr /ttrlx2cos4c

15、os412 如滑塊的質量為m， 忽略摩擦及連桿AB的質量，試求當 ，連桿AB所受的力。時和20t 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題例例 題題 1解：解：對象：滑塊對象：滑塊受力：如右圖受力：如右圖運動：平移運動：平移方程：滑塊運動微分方程為：方程：滑塊運動微分方程為：cosFmax其中其中ttrxax2coscos2 ttrlx2cos4cos412當當,0,1,02且時rax得得12mrF 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題lrlrax222cos,2且時當有有lrlFmr222得得2222rlmrF這屬于動力學第一類問題。這屬于

16、動力學第一類問題。ttrxax2coscos2 cosFmax 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題、，。 質量為質量為m的質點帶有電的質點帶有電荷荷e,以速度以速度v0進入強度按進入強度按E=Acoskt變化的均勻電場變化的均勻電場中中,初速度方向與電場強度初速度方向與電場強度垂直垂直,如圖所示。質點在電如圖所示。質點在電場中受力場中受力FeE作用。已作用。已知常數知常數A,k，忽略質點的重忽略質點的重力，試求質點的運動軌跡。力，試求質點的運動軌跡。 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題例例 題題 2kteAtvmtymtvmtxmyx

17、cos, 02222dddddddd由由, 0,00yxvvvt時tvytktmeAvy00cosdd0vtxvxdd得ktmkeAtyvysindd00 xvvxvd積分積分解：解：對象：點電荷；受力：如圖所示；運動：平面曲線；對象：點電荷；受力：如圖所示；運動：平面曲線；方程：電荷的質點運動微分方程為方程：電荷的質點運動微分方程為 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題積分時由, 00yxt,000tvxxtddtytktmkeAy00sindd得運動方程得運動方程1cos,20ktmkeAytvx消去消去t, 得軌跡方程得軌跡方程1cos02xvkmkeAy這是

18、第二類基本問題。這是第二類基本問題。0vtxvxdd得ktmkeAtyvysindd 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題 單擺由一無重量細單擺由一無重量細長桿和固結在細長桿一長桿和固結在細長桿一端的重球組成。桿長為端的重球組成。桿長為l，球質量為，球質量為m。試求：試求： 1. 單擺的運動微分方程；單擺的運動微分方程； 2. 初始時小球的速度為初始時小球的速度為u ， = 0，分析擺的分析擺的運動；運動； 3 在運動已知的情形下求桿對球的約束力。在運動已知的情形下求桿對球的約束力。 mmmm 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題例例 題

19、題 3解：解：1. 單擺的運動微分方程單擺的運動微分方程對象：小球對象：小球受力：如圖受力：如圖運動：圓周運動運動：圓周運動方程：采用自然坐標形式的方程：采用自然坐標形式的運動微分方程比較合適。運動微分方程比較合適。 lslsls,niibniinniiFoFsmFsm2 cossin2mgFlsmmgsmN lvmmgFlg2Ncos0sin 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題解：解：1. 1. 單擺的運動微分方程：單擺的運動微分方程：lvmmgFlg2Ncos0sin 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題第一式描述了系統的運動，即單

20、擺運動微分方程；第一式描述了系統的運動，即單擺運動微分方程；第二式給出了桿對球約束力的表達式。第二式給出了桿對球約束力的表達式。分析小球的運動分析小球的運動（1）微幅擺動）微幅擺動0sinlg sin)sin( tA0, luA運動特點：運動特點：等時性等時性（周期與初始條件無關）（周期與初始條件無關）初始條件：初始條件：lu 00, 00 lg 微分方程的通解微分方程的通解確定積分常數確定積分常數02n lgn 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題（2）大幅擺動）大幅擺動0sin2n 大幅擺動不具有等時性大幅擺動不具有等時性rad/ s/ t 8.2 8.2 質點

21、動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題 解：解：3. 在運動已知的情形下求在運動已知的情形下求桿對球的約束力桿對球的約束力 ： 現在是已知運動，要求力，屬現在是已知運動，要求力，屬于第一類動力學問題。于第一類動力學問題。 lvmmgFlg2Ncos0sin 22222vsll22NcoslFmgml根據已經得到的單擺運動微分方根據已經得到的單擺運動微分方程程 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題解：解：4.4. 討論討論 ： 本例如果采用直角坐標形式本例如果采用直角坐標形式建立運動微分方程，建立如圖建立運動微分方程，建立如圖所示的直角坐標系所示的直角坐標系xy

22、cossinNNFmgymFxm 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題 一圓錐擺一圓錐擺,如圖所示。如圖所示。質量質量m=0.1kg的小球系于的小球系于長長l=0.3m 的繩上的繩上,繩的另一繩的另一端系在固定點端系在固定點O,并與鉛直并與鉛直線成線成60角。如小球在角。如小球在水平面內作勻速圓周運動，水平面內作勻速圓周運動， 求：求：小球的速度小球的速度v與與繩的張力繩的張力F。 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題例例 題題 4N96. 1cosmgFsm1 . 2sin2mFlv這是混合問題。這是混合問題。sinsin12FFlvm

23、niin解得解得解：解：對象：小球；受力：小球的受重力及繩子的拉力如圖所對象：小球；受力：小球的受重力及繩子的拉力如圖所示；運動：圓周運動；方程：采用自然法求解，其運動微分示；運動：圓周運動；方程：采用自然法求解，其運動微分方程為方程為0cos1mgFFmanibib-= 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題 質點與圓柱面間的動滑動摩擦因數為質點與圓柱面間的動滑動摩擦因數為 f，圓柱半徑為圓柱半徑為 r 為為1m。（1 1）建立質點的運動微分方程；（）建立質點的運動微分方程；（2 2）分）分析其運動。析其運動。rgmo 解：解：對象：質點；受力：如圖；對象：質點；受

24、力：如圖；運動：圓周運動；方程：質點運運動：圓周運動；方程：質點運動微分方程為動微分方程為FNF n) 2(sin) 1 (cos22NFmgmrrsmFmgmrsm NFfF 由（由（2 2）式解得：）式解得：sin2mgmrFN代入（代入（1）式得：）式得：)sin(cos2mgmrfmgmr 0當：當：同理，當同理，當：0 )sin(cos2mgmrfmgmr 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題例例 題題 5數值方法給出質點位置、數值方法給出質點位置、速度和切向加速度隨時間速度和切向加速度隨時間的變化規律的變化規律rgmo rad/s,0,rad000 t(

25、s)1 . 0f)()()(ttt 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題yxovmg思考題思考題1 1：給出垂直上拋物體上升時的運動微分方程。給出垂直上拋物體上升時的運動微分方程。 （設空氣阻力的大小與速度的平方成正比）（設空氣阻力的大小與速度的平方成正比）yxovmg2:Aycmgym 2:Bycmgym 2:Cycmgym 2:Dycmgym E: 未給出正確答案未給出正確答案 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題Mmg AB思考題思考題2：質點質點M用兩根等長用兩根等長的繩索吊起，繩索與鉛垂線的的繩索吊起，繩索與鉛垂線的夾角為夾角為

26、 。若剪斷繩索若剪斷繩索BM后的后的瞬時，繩索瞬時，繩索AM的拉力與未剪的拉力與未剪斷繩索斷繩索BM時相比，是增大了時相比，是增大了還是減小了？還是減小了？ ？時繩索繩索AM的拉力不變。的拉力不變。F na剪斷前：剪斷前：cos2mgF 剪斷瞬時：剪斷瞬時：cosmgF 8.2 8.2 質點動力學的兩類基本問題質點動力學的兩類基本問題0naP167169：81，85Nanjing University of Technology附錄：附錄： 習題解答習題解答作業中存在的問題作業中存在的問題1、“質點運動微分方程質點運動微分方程”：初等數學知識；高等數學的：初等數學知識；高等數學的方法。方法。

27、2、要畫受力圖。、要畫受力圖。 8 81 1附錄：附錄： 習題解答習題解答8-1 圖示滑水運動員剛接觸跳臺斜面時，具有平行于斜面方向的速度圖示滑水運動員剛接觸跳臺斜面時，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略，忽略摩擦，并假設他一經接觸跳臺后，牽引繩就不再對運動員有作用力。試求滑水運動員從摩擦，并假設他一經接觸跳臺后，牽引繩就不再對運動員有作用力。試求滑水運動員從飛離斜面到再落水時的水平長度。飛離斜面到再落水時的水平長度。 解解：（初等解法）：（初等解法）接觸跳臺時接觸跳臺時 smv/17.113600102 .4030設運動員在斜面上無機械能損失設運動員在斜面上無機械能損失smghv

28、v/768. 844. 28 . 9217.1122020smvvx/141. 8cossmvvy/256. 3sinmgvhy541. 0221sgvty332. 01220121)(gthhsghht780. 08 . 9)44. 2541. 0(2)(2012sttt112. 121#05. 9112. 1141. 8mtvxxv0vyO 8 81 1附錄：附錄： 習題解答習題解答8-1 圖示滑水運動員剛接觸跳臺斜面時，具有平行于斜面方向的速度圖示滑水運動員剛接觸跳臺斜面時，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略，忽略摩擦，并假設他一經接觸跳臺后，牽引繩就不再對運動員有作用力。試求滑水運動員從摩擦，并假設他一經接觸跳臺后，牽引繩就不再對運動員有作用力。試求滑水運動員從飛離斜面到再落水時的水平長度。飛離斜面到再落水時的水平長度。 解解：（高等解法）：（高等解法）在斜面上運動時在斜面上運動時sin1mgxm 對象：運動