1、努力的你，未來可期平行四邊形專題知識點+常考題型+重難點題型（含詳細答案）一、目錄一、目錄 1二、基礎知識點 21 .平行四邊形的定義 22 .平行四邊形的性質 33 .平行四邊形的判定定理 74 .三角形中位線定理 10三、重難點題型 141 .平行四邊形的共性 142 .平行四邊形間距離的應用 163 .與平行四邊形有關的計算 174 .與平行四邊形有關的證明 19拼搏的你，背影很美!二、基礎知識點1 .平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形。平行四邊形ABCD記作“口ABB注：只要滿足對邊平行的四邊形都是平行四邊形。矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形例1.如圖，UABC

2、D中，DE，AB, BF，CD,垂足分別為E, F.求證:BE=DFA E答案：四邊形ABCD為平行四邊形 .AD/CR AD=CB/DEXAB, BF±CD. / DEA=Z CFB .ADA CFB .AE=CFDC=AB .BE=DF例2.在平面直角坐標系中，有 A (0,1), B (-1,0), C (1,0)三點，若點D與A, B, C構成平行四邊形，求D的坐標。(3解)答案：如下圖，有三種情況，坐標分別為:(0, 1);2 .平行四邊形的性質 性質1 （邊）：平行四邊形的對邊相等（AB=CD AC=BD證明：. /CAD=/ ADB Z DAB=Z ADC AD=AD.

3、ACMADBA (ASA).AB=CD AC=BD性質2 (角)：平行四邊形對角相等，鄰角互補(/A=/D, /C=/ B; /A+/C=/ B+/ D=180 )證明：. AC»ADBA (ASA)又/ CAB4 CAD吆 DAB / CDB玄 CDA吆 ADB / CAB2 CDB. AB/ CD/ B+/ BDC=180性質3 （對角線）：平行四邊形對角線互相平分（AO=OC BO=OD證明：AD=BC /OAD=/ OCB / ODA=/ OBC. AODA COB （ASA）.AO=OC OB=OD注1:平行四邊形對角線互相平分，但兩對角線不一定相等解析：假設平行四邊形對角

4、線相等. / OAD=/ ADO=/ OBC士 OCB/ OAB=/ OBA=/ OCD之 CDO又/ DAB+/CBA=180. / DAB=/ABE BCD士 CDA=90僅在平行四邊形的四個角為直角時（即矩形），對角線相等注2:對角線不一定平分角解析：假設平行四邊形對角線平分角，則/ ADB=/ BDC / ACD=/ ACB./ DCB士 BAD / ACDV CAD又.OD=OD.AO必A COD （AAS）.AD=DC=BC=AB僅當平行四邊形四條邊相等時（即菱形），對角線平分角 性質4:平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心為對角線交點。中心對稱圖形：一個圖形繞中心點旋轉180后與原

5、圖形重合。平行四邊形的高：兩條平行線之間的距離：一條直線上任一點到另一直線的距離平行四邊形對邊平行。一條邊上任取一點作另一邊的垂線， 該垂線的長度稱作平行四邊形在該邊上的高。例1.如圖，在口 ABCD中，連接BD,在BD的延長線上取一點 E,在DB的延長線上取一點 F,使BF=DE連接AF, CE,求證：AF=CE（平行四邊形對角相等的性質）答案：四邊形ABCD是平行四邊形 .AB=DC ZABD=Z BDC. / ABF=/ CDE又 BF=DE .FBA A EDC .AF=CE例2.如圖，在口 ABCD中，點E為邊CD上的一點，將AADE& AE折 疊至AGEt, AG與 CE交

6、于點 F。若48=52 , / DAE=20 ,求/ FEG的大小。（平行四邊形對角線互相平分的性質）答案：./ D=/ B=52/DAE=20./AED=108 =/AEG設/CEG=X ,則/AEF=108 -x則：108+108- x=180解得：x=36例3.如圖，UABCD的對角線AC, BD交于點O,且AC+BD=16 CD=6,求AABO的周長。答案：四邊形ABCD是平行四邊形/.AO=1ACBO?22.AC+BD=16 .AO+OB=8 .CD=6 .AB=CD=6.ABO的周長為8+6=143.平行四邊形的判定定理判定定理1:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。證明：AD=

7、BC AB=CD AC=AC.ABC ACDA (SS§./ DAC=Z ACB.AD/ BC同理AB/ DC四邊形ABCD是平行四邊形判定定理2:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。證明：A=/ C/B=/ D又四邊形內角和為360/A+/D=180.AB/ BC同理AD/ BC四邊形ABCD是平行四邊形判定定理3:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明：AO=OC BO=OD /AOB=/ DOC .ABC A COD (SAS . AB=CD同理AD=BC根據判定定理1四邊形ABCD為平行四邊形判定定理4: 一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形證明：: AD/ =BC .

8、/ DAC=Z ACB AC=AC BC=AD.AC» A CAB (SASAB=CD AD=BC四邊形ABCD是平行四邊形平行四邊形判定方法總結：BC定義:兩組對邊分別平行的四邊形即：AB/CD, AD/判定1:對邊相等即：AD=BC AB=CD判定2:對角相等 即：/ BAD=/ DCR / ABC之CDA判定3:對角線相互平分 即：AO=OD, BO=OD判定4: 一組對邊平行且相等例1.下列命題中，真命題有：A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形B.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形C. 一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形答案：ABC不能判斷。同一組對邊平行且

9、相等，才能判斷為平行四邊形例2.如圖，在UABCD中，BD是它的一條對角線，過A,C兩點作AE BDCR BD垂足分別為點E, F,延長AE、CF分別交CD, AB于點M,No(1)求證：四邊形CMAN是平行四邊形(2)已知 DE=4, FN=3,求 BN 的長。答案：（1） v AMXBD, CN± BD.AM / CN四邊形ABCD為平行四邊形.MC/AN四邊形ANCM為平行四邊形 v MC=AN.DM=NB. DC/ AB ./ MDB=/ ABD丁四邊形AMNC為平行四邊形 ./ NFB=/ MED.DEM 口 ABFN .FB=4 .BN=54.三角形中位線定理兩三角形的中

10、位線：連接三角形兩邊中點的線段（三條）三角形中位線定理：中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。證明：作CF/ AB交DE延長線于點F/ ADF=/ CFD / FECh AED AE=AE ADH CFE (AAS)DE=EF .AD=CF=BD .DB/ = CF 四邊形DBCF為平行四邊形 .DF=BC1 .de/=2bc例1.如圖，在 ABC中，BC>AC,點D在BC上，且DC=AC / ACB的角平分線CF交AD于點F,點E是AB的中點，連接EE求證：EF/ BC答案：AC=DC CF為/ABC的角平分線.CF在等腰三角形ACD中為“三線合一”.CF為4ADC以AD為底的中線.

11、EF為4ABD的中位線.EF/ BC例2.如圖，已知AO是4ABC的/ BAC的角平分線，DB，AO交AO的 延長線于點D,點E是BC的中點。求證：DE=1 (AB-AQO答案：延長AC BD交于點F .AO是/ BAC角平分線. / BAD=Z DAFv DB± AO ./ADB=/ ADF=90又AD=AD .ADE AADF .AB=AF BD=DF.E是BC中點DE是ABFC中位線 i _.DE/ = 2 ?i ， 一 一/.DE=2 (ABAC)例3.如圖，在 ABC中，AO平分/ BAQ BD±AO交AO的延長線于 點 D。若 AO=AC 求證：AD=1 (AB

12、+AC。答案：延長AD至點E,使DE=AD連接BE,如下圖努力的你，未來可期！.BD為AE中線/. AB=BE ./ E=Z BAD=Z CADvZ AOD=ZACO=ZAOC / EOB玄 EBOEB=OE1.AD (AB+AQ拼搏的你，背影很美!努力的你，未來可期三、重難點題型1.平行四邊形的共性方法：平行四邊形+一個條件，推導菱形和矩形；平行四邊形+兩個條件，推導正方形；菱形(矩形)+一個條件，推導正方形。例1.平行四邊形的共性：兩組對邊分別平行且相等，對角相等，對角 線互相平分.思考：添加什么條件，可以把平行四邊形“變成”菱形呢？添加什么條件，可以把平行四邊形“變成”矩形呢？/ / /

13、 A 答案：菱形可增加的條件為： AC，BDAD=DC/ADB=/BDC矩形可增加的條件為：AC=BR/ADC=90例2.如圖，在菱形ABCD+ , AB= 2, Z DAB= 60°,點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點(不與點 A重合)，延長ME交CD的 延長線于點N,連接MD, AN.(1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形.(2)當AM的值為何值時，四邊形AMDN是矩形；當AM的值為何值時，四邊形AMDN是菱形.答案：(1)/NED4 AEM AE=DE / DNE4 EMA .DNE AAMEND=AM. ND/ AM四邊形AMDN為平行四邊形(2)四邊形MAD的矩形

14、 . / AMD=90 . AD=2 /DAB=60 . AM=1(2).四邊形AMDNl菱形MNL AD. AE=1, /EAM=60AM=2例3.如圖，將平行四邊形ABCDW邊DC延長到E,使CE= CD,連接AE交BC于F, ZAFC= n/D,當n為何值時，四邊形ABEC是矩形答案：四邊形ABEE矩形AC，DE .EC=CD.AC為等腰三角形AED的“三線合一”線段 ABEC為矩形 .EF=FC. / AEC= FCE ./AFC=Z AEC吆 FCEn=22 .平行四邊形間距離的應用方法：同底等高的平行四邊形（三角形）面積相等。同時注意，三角形面積是其同底等高平行四邊形的一半。例1.

15、如圖，點E是UABCD的一邊AD上任意一點，若EBC面積為S1, UABCD的面積為S2,求兩者的數量關系。答案：過E作BC的垂線EF,交BC于點F_1 .S1= ?2又.S2=?.S2=2S1例2.平行四邊形兩鄰邊分別為20和16,若兩較長邊之間的距離為8,求較短邊之間的距離。答案：設較短邊之間的距離為 h知平行四邊形的面積為：底邊x高 20X8=16X h解得：h=10例3.如圖，直線a/ b,點A、B在直線a上，點C、D在直線b上,且AB: CD=1：2若 ABC的面積為6,求 BCD的面積答案：設a、b兩直線間的距離為hiABC的面積為： X ? ?1 bcd的面積為：2 x?r ?.

16、 AB: CD=1:2 二? ABC： ? bcd=1：2 ?abc=6 二? bcd=123 .與平行四邊形有關的計算方法：利用平行四邊形的定義以及其邊和角的性質來解題， 必要的時需要列方程或方程組來求出其解。例1.如圖，在口 ABCD中，AB=4cm, AD=7cm, / ABC的平分線交 ADABCD為平行四邊形于點E,交CD的延長線于點F,求DF的長答案：四邊形 2AO=2CO=AC OB=OD BD± AB又.RtABO 中，AB=12cm, AO=13cmBO=5cmBD=10cm.在 RtABD 中，AB=12cm, BD=10cm .AD=2 v61cm .AB=CD

17、=12cm AD=BC=2/61 cm例2.已知平行四邊形 ABCD的周長為52,自頂點D作DE，AB, DFXBQ E、F為垂足，若 DE=5, DF=8,求BE+BF勺長答案：兩種情況，如下圖1和圖2所示:圖1圖2. DELAB, DF=1 BCABX DE=BCX DF . AB: BC=8:5又.2 (AB+BC =52 .AB=16, BC=10 .AE=5v3, CF=8v情況一：如圖1,若/A為銳角8為10, F點在CB的延長線上.BF=8v310.BE+BF= (16-5v3) + (8v3-10) =6+3v3情況二：如圖2,若/DAB為鈍角貝U BE+BF=(16+5A/3

18、) + (8v3+10) =26+13v34.與平行四邊形有關的證明方法：探索性問題，可以先憑借特殊情況猜出答案，然后在通過嚴格 的論證求解出來。例1.在四邊形ABCD中，AB=DC AD=BC點E在邊BC上，點F在邊 AD上，AF=CE EF與對角線BD相較于點O。求證：點O是BD的 中點。答案：如下圖，連接FR DE . AB=DQ AD=BC四邊形ABCD是平行四邊形 .FD/ BE . AD=BC AF=CE .FD=BE 四邊形FBE渥平行四邊形 .OB=OD,即點。是BD的中點例 2.如圖，在 RtAABC中，/BAC=90 , AD± BC于 D, BG 平分/ ABC交AD于E, EF/ BC且交AC于F,求證：AE=CF答案：如下圖，作 GHI±BC交BC于點H,連接EH.BG是/ ABH的平分線 AG和ED互相平分，GA=GH.AB8 HBG .AB=HB在4ABR和4HBE中，/ ABE1 CBE BE=BE AB=HB .AB& AHBE .AE=EH / BEA之 BEH. AD/ GH. / AEG=Z BGH又/AEG之 GEH, Z AGB=Z BGH . / AGB=/ GEH .EH/ AC . EF/ HC 四邊形EHCFM平行四邊形FC=EH=AC例3.有一塊