1、第六章 萬有引力定律習題解答設某行星繞中心天體以公轉周期T沿圓軌道運行，試用開普勒第三定律證明：一個物體由此軌道自靜止而自由下落至中心天體所需的時間為證明：物體自由下落的加速度就是在行星上繞中心天體公轉的向心加速度：由自由落體公式：（此題原來答案是：，這里的更正與解答僅供參考） 土星質量為5.7×1026kg，太陽質量為2.0×1030kg，兩者的平均距離是1.4×1012m.太陽對土星的引力有多大？設土星沿圓軌道運行，求它的軌道速度。解：據萬有引力定律，太陽與土星之間的引力f =GMm/r2=6.51×10-11×2.0×1030&

2、#215;5.7×1026/(1.4×1012)2 3.8×1022N選擇日心恒星參考系，對土星應用牛頓第二定律：f=mv2/r 一個球形物體以角速度轉動，如果僅有引力阻礙球的離心分解，此物體的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中轉數為每秒30轉的脈沖星的最小密度。這脈沖星是我國在1054年就觀察到的超新星爆的結果。如果脈沖星的質量與太陽的質量相當（2×1030kg或3×105Me，Me為地球質量），此脈沖星的最大可能半徑是多少？若脈沖星的密度與核物質相當，它的半徑是多少？核密度約為1.2×1017kg/m3.解：設此球體半徑為R,質量為

3、m.考慮球體赤道上的質元m,它所受到的離心慣性力最大 f*=m2R，若不被分解，它所受到的引力至少等于離心慣性力,即 Gmm/R2=m2R m=2R3/G ，而 m=4R3/3，代如上式，可求得，脈沖星的最小密度據密度公式，m =V=4R3/3 ,R3=3m/(4) 距銀河系中心約25000光年的太陽約以170000000年的周期在一圓周上運動。地球距太陽8光分。設太陽受到的引力近似為銀河系質量集中在其中心對太陽的引力。試求以太陽質量為單位銀河系的質量。解：設銀河系、太陽、地球的質量分別為M、m、m'；太陽距銀河系中心的距離為r=2.5×104光年=2.5×104&

4、#215;365×24×60光分=1.31×106光分，繞銀河系中心公轉角速度為=10-8×2/1.7年；地球距太陽的距離為r'=8光分，繞太陽公轉角速度為'=2/年分別對地球和太陽應用萬有引力定律和牛頓第二定律：Gmm'/ r' 2 = m''2 r' （1） GMm / r2 = m2 r (2)由（1）可得G='2 r'3/m，代入（2）中，可求得某彗星圍繞太陽運動，遠日點的速度為10km/s，近日點的速度為80km/s。若地球在半徑為1.5×108km圓周軌道上繞日

5、運動，速度為30km/s。求此彗星的遠日點距離。解：角動量守恒 能量守恒 牛二定律 ,聯立，解得 a = 3×108 km 一勻質細桿長L，質量為M.求距其一端為d處單位質量質點受到的引力（亦稱引力場強度）。解：選圖示坐標0-x,單位質量質點在坐標原點處，在桿上取質元dm=dxM/L,其坐標為x,它對原點處質點的引力為：,由于各質元對質點的引力方向均沿x軸正向，桿對質點的引力方向沿x軸正向，大小為半徑為R的細半圓環線密度為，求位于圓心處單位質量質點受到的引力（引力場強度）解：由對稱性分析可知，引力場強度的x分量等于零。質元dm=Rd所受引力的y分量為 考慮一轉動的球形行星，赤道上各點的速度為V，赤道上的加速度是極點上的一半，求此行星極點處的粒子的逃逸速度。解： 設行星半徑為R，質量為M，粒子m在極點處脫離行星所需的速度為v，在無窮遠處的速度、引力勢能為零，由機械能守恒定律有 即 以球形行星為參考系（勻速轉動參考系），設粒子m在赤道上和極點上的加速度分別為a1和a2。粒子m在赤道上除受引力作用外還受離心慣性力作用，由牛二定律有 粒子m在極點上只受引力作用，由牛二定律有 已知 由、可求得 代入中，得 已知地球表面的重力加速度為9.8ms-2，圍繞地球的大圓周長為4×107m，月球與地球的直徑及質量之比分別是試計算從月球表面逃離月球引力場所必需