1、 微 分 幾 何 2019.04 - 06 講師 沈玉萍 第二章 曲面：局部理論第一節第一節 參數曲面和第一基本形式參數曲面和第一基本形式第二節第二節 GaussGauss映射和第二基本形式映射和第二基本形式第三節第三節 G-CG-C方程和曲面基本定理方程和曲面基本定理第四節第四節 協變微分，平行移動和測地線協變微分，平行移動和測地線 第二章 曲面：局部理論第二節第二節 GaussGauss映射和第二基本形式映射和第二基本形式定義定義 給定正則參數曲面給定正則參數曲面 ，單位法向量對應的，單位法向量對應的映射映射 稱為曲面稱為曲面 的的GaussGauss映射。映射。n:M MM 第二章 曲面

2、：局部理論曲面的很多幾何性質體現在其曲面的很多幾何性質體現在其GaussGauss映射中，例如映射中，例如平面的切平面不變，平面的切平面不變，GaussGauss映射為常值函數；映射為常值函數；圓柱的切平面沿著母線不變，則圓柱的切平面沿著母線不變，則GaussGauss映射將圓柱映射將圓柱面映射到球面的一個圓周上；面映射到球面的一個圓周上；圓心在原點的球面，圓心在原點的球面， GaussGauss映射就是位置向量的映射就是位置向量的單位化。單位化。 第二章 曲面：局部理論思路：曲面思路：曲面 在點在點 的形狀，可以由曲面的形狀，可以由曲面 上上經過點經過點 的曲線的曲率來描述。的曲線的曲率來描

3、述。PMMP 第二章 曲面：局部理論定義定義 在點在點 由單位切方向由單位切方向 和單位法向和單位法向量量 決定的平面稱為曲面在點決定的平面稱為曲面在點 由此切方向由此切方向 確定的法截面。法截面與曲面的交線稱為曲面確定的法截面。法截面與曲面的交線稱為曲面在點在點 的一條法截線。的一條法截線。假設某條法截線由弧長參數表示假設某條法截線由弧長參數表示則它在點則它在點 的主法向量的主法向量 為為 ，曲率，曲率 PPPVT Mn( )PP( ),(0),(0).sPV( )n PPnn(n) (0)n( ).VNTTV DP N 第二章 曲面：局部理論命題命題 對任意切向量對任意切向量 ， 的方向導

4、數的方向導數 仍然是切向量。由此定義的映射仍然是切向量。由此定義的映射是一個對稱的線性映射，即是一個對稱的線性映射，即我們稱我們稱 為曲面在點為曲面在點 的形狀算子，或者的形狀算子，或者WeingartenWeingarten映射。映射。PVT Mnn( )VPDPT MPS()( ),.PPPSUVU SVU VT MP:n( )PPPVST MT M VDP()( ),.PPPSUVU SVU VT M 第二章 曲面：局部理論證明證明 假設法截線有弧長參數表示假設法截線有弧長參數表示考慮到考慮到 是單位向量，滿足是單位向量，滿足所以所以 成立。成立。另外另外 關于向量關于向量 自然是線性的

5、。自然是線性的。( ),(0),(0).sPVn( ) sn( ) n( )(n) (0) (n)(0)0.VDPPn( )VPDPT MnnVDV V 第二章 曲面：局部理論利用向量函數的混合偏導來證明當利用向量函數的混合偏導來證明當時時 滿足滿足: :對于對于 ，都可以寫成，都可以寫成 和和 的的線性組合，容易驗證對稱性成立。線性組合，容易驗證對稱性成立。 ,uvUxVxPS()n( )nnnn( )().uvPuvxvuvvvvuxuPvuSxxDPxxxxDPxSxx ,PU VT Muxvx 第二章 曲面：局部理論命題命題 如果曲面如果曲面 任意一點任意一點 的形狀算子的形狀算子 都

6、都是零，那么是零，那么 是平面的一部分）。是平面的一部分）。證明證明 由于由于那么對于那么對于 點附近的任意一個正則參數表示點附近的任意一個正則參數表示有有由連通性可以得出由連通性可以得出 是常向量，即曲面是平面。是常向量，即曲面是平面。 MPPSMn( )0,VPDPVT Mnn0.uvP( , )x u vn 第二章 曲面：局部理論例例1 1 是半徑為是半徑為 ，中心在原點的的球面，那，中心在原點的的球面，那么么在局部參數表示下在局部參數表示下GaussGauss映射為映射為它的形狀算子滿足它的形狀算子滿足所以它在每點切平面上都是的數量線性變換所以它在每點切平面上都是的數量線性變換 。Ma

7、1n( , ).x u va11()n,()n.PuuuPvvvSxxSxxaa 1Ia 第二章 曲面：局部理論對于一般的曲面，我們不容易直接寫出形狀算子對于一般的曲面，我們不容易直接寫出形狀算子在切平面的局部標架在切平面的局部標架 下的矩陣形式。下的矩陣形式。但是形狀算子的關于內積的對稱性誘導我們定義但是形狀算子的關于內積的對稱性誘導我們定義曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式特別的對于特別的對于 ,uvxx:,( , )( ),.PPPPPPT MT MU VS UVU VT M( ,)( )n( ).PPVV VSVVDP V ,1,PVT MV 第二章 曲面：局部理論在在 點鄰域上的有

8、正則參數表示點鄰域上的有正則參數表示 ，有自然的基底有自然的基底 ，我們定義曲面的，我們定義曲面的第二類基本量第二類基本量PPT M,uvxx( , )x u v(,)nn,(,)nn(,),(,)nn.uuvPuuxuuuPuvxvuvPvuPvvxuvvlxxDxxmxxDxxx xnx xDxx 第二章 曲面：局部理論曲面的第二基本形式局部參數表示下有對稱矩陣曲面的第二基本形式局部參數表示下有對稱矩陣形式形式類似第一基本形式，我們得到曲面的第二基本形類似第一基本形式，我們得到曲面的第二基本形式的二次微分形式式的二次微分形式nnnn.nnnnuuuvuuuvPvuvvvuvvxxxxlmx

9、xxxmn (,)nlmdudu dvdx dmndv 第二章 曲面：局部理論假如假如 是單位正交標架，則矩陣是單位正交標架，則矩陣 就是就是形狀算子形狀算子 。但是一般情形下，。但是一般情形下， 有矩陣表示有矩陣表示作為實對稱矩陣，作為實對稱矩陣， 可以對角化，它有兩個實特可以對角化，它有兩個實特征值，記為征值，記為 和和 。,uvxxPPSPS11.PPEFlmFGmn 11.PPEFlmFGmn PS1( )k P2( )kP 第二章 曲面：局部理論定義定義 曲面曲面 在點在點 處的形狀算子處的形狀算子 的特征的特征值稱為曲面在此點的主曲率；對應的特征方向值稱為曲面在此點的主曲率；對應的

10、特征方向稱為主方向。如果曲面上的曲線每一點的切方稱為主方向。如果曲面上的曲線每一點的切方向都是主方向，那么這條曲線稱為曲率線。向都是主方向，那么這條曲線稱為曲率線。曲面在任意點曲面在任意點 的兩個主方向是正交的，于是我的兩個主方向是正交的，于是我們可以選擇了切平面們可以選擇了切平面 的一個正交基底恰的一個正交基底恰好由主方向向量構成。好由主方向向量構成。 PSMPPpT M 第二章 曲面：局部理論定理定理EulerEuler公式令公式令 為曲面為曲面 在點在點 的的單位主方向，分別對應主曲率單位主方向，分別對應主曲率 和和 。假設。假設切向量切向量 ，其中，其中 。 那么那么證明：略。證明：略

11、。2212( , )cossin.V VkkMP12cossinVee12,e e1k2k0,2 ) 第二章 曲面：局部理論l注意到球面在任意一點的任意方向的法截線都注意到球面在任意一點的任意方向的法截線都有相同的非零曲率；有相同的非零曲率；l下圖馬鞍面的有些法截線恰好是直線。下圖馬鞍面的有些法截線恰好是直線。 第二章 曲面：局部理論定義定義 如果曲面如果曲面 切向量切向量 確定的法截確定的法截線點線點 處的曲率為零處的曲率為零 ，即，即 我們稱我們稱 為為 在點在點 的一個漸近方向。的一個漸近方向。 如果曲面上的曲線每一點的切方向都是漸近方如果曲面上的曲線每一點的切方向都是漸近方向，那么這條

12、曲線稱為漸近線。向，那么這條曲線稱為漸近線。如果曲面包含直線，則直線為漸近線。如果曲面包含直線，則直線為漸近線。pVT MMP( ,)0,PV VVMP 第二章 曲面：局部理論推論推論 曲面曲面 在點在點 處有漸近方向當且僅當處有漸近方向當且僅當 證明證明 首先首先 當且僅當當且僅當 是漸近方向。然是漸近方向。然后不妨設后不妨設 。假如。假如 ，那么那么 反過來，由反過來，由 ，我們很容易構造漸近，我們很容易構造漸近方向方向 。120.k k MP2e20k 20k 12cossinVee2221212cossin0tan0.kkk k 120k k V 第二章 曲面：局部理論例例2 2 如圖

13、所示圓柱螺面是如圖所示圓柱螺面是 一個直紋面，它所有的一個直紋面，它所有的 直母線明顯都是漸近線。直母線明顯都是漸近線。 另外，不太明顯的，另外，不太明顯的， 其上的一族圓柱螺線其上的一族圓柱螺線 也都是漸近線。也都是漸近線。 第二章 曲面：局部理論事實上，如右圖所示，在點事實上，如右圖所示，在點處的沿圓柱螺線單位切向量的處的沿圓柱螺線單位切向量的法截線在點法截線在點 為拐點。因而，為拐點。因而，圓柱螺線是圓柱螺面上的漸近圓柱螺線是圓柱螺面上的漸近線。線。具體計算為作業。具體計算為作業。 PP 第二章 曲面：局部理論假設假設 為曲面為曲面 上一條弧長參數曲線，滿足上一條弧長參數曲線，滿足那么由

14、之前的計算得到那么由之前的計算得到它給出了曲線它給出了曲線 的曲率向量的曲率向量 在曲面在曲面 的單的單位向量上的投影，我們稱它為位向量上的投影，我們稱它為 在點在點 處的法曲處的法曲率，記為率，記為 。P( , )n.PV VN( ) sM(0),(0).PVNMn 第二章 曲面：局部理論l（MeusnierMeusnier公式假設公式假設 為曲面為曲面 上在點上在點 的單位切向量為的單位切向量為 的一條曲線，那么的一條曲線，那么l 其中其中 為曲線主法向量為曲線主法向量 和曲面單位法和曲面單位法向量向量 的夾角。的夾角。l曲面上曲線在某一點的法曲率只取決于此點的曲面上曲線在某一點的法曲率只

15、取決于此點的切向量。切向量。l漸近線的法曲率處處為零。漸近線的法曲率處處為零。MPV( , )cos ,PnV VNn 第二章 曲面：局部理論l主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假主曲率是法曲率的最大值和最小值。不妨假設設 ，則由，則由EulerEuler公式得公式得l法曲率的最大值和最小值出現在互相正交的方法曲率的最大值和最小值出現在互相正交的方向上。向上。21kk222121211cossin()sin,kkkkkk222121222cossin()cos.kkkkkk 第二章 曲面：局部理論下面我們介紹曲面理論中極其重要的一些概念。下面我們介紹曲面理論中極其重要的一些概念。定義定義 曲

16、面曲面 在點在點 處的兩個主曲率的乘積處的兩個主曲率的乘積 稱為稱為 在點在點 的的 GaussGauss曲率；主曲率的平均值曲率；主曲率的平均值稱為稱為 在點在點 的中曲率平均曲率）。的中曲率平均曲率）。MP12detPKk kSM1211()22pHkktrSPPM 第二章 曲面：局部理論定義定義 曲面曲面 在點在點 處的主曲率滿足處的主曲率滿足則稱為點則稱為點 為曲面為曲面 的臍點。的臍點。特別的，特別的， 稱稱 為平點。為平點。假如假如 ，且，且 不是平點，則稱不是平點，則稱 為拋物點；為拋物點；假如假如 ，則稱，則稱 為橢圓點；為橢圓點；假如假如 ，則稱，則稱 為雙曲點。為雙曲點。M

17、P12kk0K PPM120kkPP0K P0K P 第二章 曲面：局部理論例例3 3 環面的外側均為橢圓點，上下圓周為拋物環面的外側均為橢圓點，上下圓周為拋物點，內側均為雙曲點。點，內側均為雙曲點。 第二章 曲面：局部理論例例4 4 偽球面有參數表示偽球面有參數表示 其中其中 如圖它是由曳物線得如圖它是由曳物線得到的旋轉面。到的旋轉面。 0,0,2 ).uvcossin( , )(tanh ,),coshcoshvvx u vuuuu 第二章 曲面：局部理論l經線是曲率線，并且在經線確定的平面上，主經線是曲率線，并且在經線確定的平面上，主法向量法向量 和曲面的法向量和曲面的法向量 一致。計算

18、經線一致。計算經線的曲率以初始的曲率以初始 曲線為例：曲線為例：222231( )(tanh ,0),coshsinhtanh( )(,0),coshcosh2tanhsinh1( )(,0),coshcoshuuuuuuuuuuuuuunNu 第二章 曲面：局部理論所以曲面的一個主曲率為所以曲面的一個主曲率為233( )tanh ,sinh( )(0,0,),cosh( )1.sinh( )uuuuuuuu11.sinhku 第二章 曲面：局部理論l圓緯線是曲率線，曲率為圓緯線是曲率線，曲率為 ，但這不，但這不是法曲率。由于是法曲率。由于 和和 的夾角的夾角 ，利用，利用MeusnierMe

19、usnier公式得到公式得到 coshunN2cos(cosh )( tanh )sinh .kuuu 第二章 曲面：局部理論l中曲率為零中曲率為零 的曲面稱為極小曲面，如的曲面稱為極小曲面，如懸鏈面。它的兩個主曲率為相反數，因此它只懸鏈面。它的兩個主曲率為相反數，因此它只有平點或者雙曲點，沒有橢圓點。有平點或者雙曲點，沒有橢圓點。0H 第二章 曲面：局部理論中曲率中曲率 為非零常數的例子：球面，為非零常數的例子：球面，圓柱面等。圓柱面等。GaussGauss曲率曲率 為零的例子：平面，圓柱面，為零的例子：平面，圓柱面，圓錐面等。圓錐面等。GaussGauss曲率曲率 為非零常數的例子：為非零

20、常數的例子：球面，偽球面等。球面，偽球面等。0Hconst0Kconst0K 第二章 曲面：局部理論第三節第三節 Gauss-CodazziGauss-Codazzi方程和曲面基本定理方程和曲面基本定理 給定正則參數曲面給定正則參數曲面 ，它的局部正則參數表，它的局部正則參數表示示 給出了給出了 的一組基底的一組基底 。之前的第二類基本形式基本量之前的第二類基本形式基本量 恰好是二階恰好是二階微分向量微分向量 在單位法向量在單位法向量 上的投影。上的投影。( , )x u v3M,nuvx x,uuuvvvxxx,l m n(,)n,(,)n(,),(,)n.PuuuuPuvuvPvuPvvv

21、vlxxxmxxxx xnx xx n 第二章 曲面：局部理論現在我們考慮上述二階微分向量在基底現在我們考慮上述二階微分向量在基底 下的線性表示：下的線性表示：函數函數 被稱為被稱為ChristoffelChristoffel記號，滿足對稱性記號，滿足對稱性n,n,n.uvuuuuuuuvuvuvuvuuvvuvvvvvuvvvxxxlxxxmxxxn ,nuvx x*uvvu (1)eq 第二章 曲面：局部理論例例1 1 單位球面單位球面 給定一個參數表示給定一個參數表示計算它的計算它的ChristoffelChristoffel記號記號 。解：首先局部基底是解：首先局部基底是2S( , )

22、(sincos ,sinsin ,cos ).x u vuvuvu(cos cos ,cos sin , sin )( sin sin ,sin cos ,0)n( , ).uvxuvuvuxuvuvx u v * 第二章 曲面：局部理論繼續求導計算繼續求導計算( sincos , sin sin , cos )n( cos sin ,cos cos ,0)(cot )( sincos , sin sin ,0)sin (cos ,sin ,0).uuuvvvvxuvuvuxuvuvu xxuvuvuvv 第二章 曲面：局部理論容易得到容易得到又由又由推出推出所以所以 0,uvuuuu 0,c

23、ot ,uvuvuvu(cot )(0,0, sin )n(0,0,cos )uvvvvxu xuxu 2(sincos )(sin)n.vvuxuu xu sin cos ,0.uvvvvvuu 第二章 曲面：局部理論對于一般的曲面，我們考慮內積對于一般的曲面，我們考慮內積.uvuuuuuuuuvuuvuuuuuvuvuuvuvuvuvvuvuvuvvvuvvvvuvvvvvvvvxxEFxxFGxxEFxxFGxxEFxxFG 第二章 曲面：局部理論觀察得到觀察得到1111(),()22221111(),()22221()21().2uuuuuuuuvuuuvvuvvvvuuvvvvvvv

24、uuvuvuuuvuvvvuuvvuvvvuxxxxExxxxExxxxGxxxxGxxxxxxFExxxxxxFG 第二章 曲面：局部理論寫成矩陣形式寫成矩陣形式1212uuuuvuuuvEEFFGFE 112.12uuuuvuuuvEEFFGFE(2.1)eq 第二章 曲面：局部理論同理同理11212uvuvvuvuEEFFGG112.12uvuvvvvvvFGEFFGG(2.2)eq(2.3)eq 第二章 曲面：局部理論利用利用(eq-2)(eq-2)驗證例驗證例1 1的結果的結果22210000csc0010000cscsin coscot10sin cossin cos.0csc00

25、uuuvuuuuvvuvuvvvvvuuuuuuuuuu 第二章 曲面：局部理論形狀算子形狀算子 在基底在基底 下有矩陣表示下有矩陣表示這里涉及的是向量這里涉及的是向量 的一階微分的一階微分,uvxxPS121.acEFlmbdFGmnlGmFmGnFlFmEmFnEEGFnnn()()nn()().uvuxPuuvvxPvuvDSxaxbxDSxcxdx (3)eq 第二章 曲面：局部理論這保證我們能繼續對等式這保證我們能繼續對等式(eq-1(eq-1繼續求偏微分繼續求偏微分()()()n,uuuvuuuvuuvuuuvuuvvuvuvvvuuvuuuvuuvvvuvuuuuvxlc xld

26、 xmnl ()()()n,uuuvuuvuuvuuvuvuuvuvuvuvvvuvuuvuuuvuvvuvuvuvuxma xmb xlmm 第二章 曲面：局部理論由于由于 ，比較線性表示的系數得到，比較線性表示的系數得到()()()().uvuuvuuuvuuvvuvuuvuvvuvvvuuvuuuvuuvvvuvvvuvuuvuuuvuvuvuvvuuuuuuvuvlcmaldmblmnmlm uuvuvuxx(4)eq 第二章 曲面：局部理論同理由同理由 ，比較系數得到，比較系數得到uvvvvuxx()()()().uuuvuuvvuvuvuvvvuuuvuvvuvvuuvvuvvuv

27、vuvuvvuvuvvvuvvuuuvuvvuvuvuvvvvmcnamdnbmmnnlm (5)eq 第二章 曲面：局部理論由上述兩組等式由上述兩組等式(eq-4)(eq-4)和和(eq-5)(eq-5)中法向量的系中法向量的系數得到的是曲面的數得到的是曲面的 CodazziCodazzi方程方程()()uvuvvuuvuvuuuuuvuvvuvvvvuvuvlmlmnmnlmn (6)eq 第二章 曲面：局部理論利用利用 ，(eq-3)(eq-3)， (eq-4)(eq-4)和和(eq-5)(eq-5)得到的是曲面的得到的是曲面的 GaussGauss方程方程22()()()()()()(

28、)()()().vvuvvvuvvuuvuvuuuuvuuvvuvuuuvuuvuvuuvuuuvuvuvuuuvvvuvuvuvvvvuuvuvvvuuuuuuvuuvuvvuuvvvvuuvvuvuvuvvvEKFKFKGK 22lnmKEGF(7)eq 第二章 曲面：局部理論當當 時，由時，由GaussGauss方程我們得到習題）方程我們得到習題）定理定理(Gausss Theorema Egregium(Gausss Theorema Egregium）曲面的曲面的GaussGauss曲率由曲面的第一基本形式決定，曲率由曲面的第一基本形式決定，即它在曲面的局部等距對應下保持不變。即它在

29、曲面的局部等距對應下保持不變。0F 1()() ).2vuvuEGKEGEGEG(8)eq 第二章 曲面：局部理論GaussGauss曲率的定義利用了曲面在空間的位置，但曲率的定義利用了曲面在空間的位置，但實際上卻并不依賴于位置而只依賴于曲面的度實際上卻并不依賴于位置而只依賴于曲面的度量結構第一基本形式）；量結構第一基本形式）；專門研究曲面上由第一基本形式決定的幾何學稱專門研究曲面上由第一基本形式決定的幾何學稱為內蘊幾何學，它在高維的推廣就是為內蘊幾何學，它在高維的推廣就是Riemann Riemann 幾何學。幾何學。 第二章 曲面：局部理論lGaussGaussCodazziCodazzi

30、方程被稱為曲面論的相容性方方程被稱為曲面論的相容性方程。程。l通過逐次微分或任何別的手段，我們不能在曲通過逐次微分或任何別的手段，我們不能在曲面的第一基本形式和第二基本形式基本量面的第一基本形式和第二基本形式基本量l 及其導數之間得到更多的關及其導數之間得到更多的關系式。系式。l 事實上，第一基本形式和第二基本形式局事實上，第一基本形式和第二基本形式局部部l上決定了曲面。上決定了曲面。 , ,E F G l m n 第二章 曲面：局部理論曲面論基本定理曲面論基本定理唯一性：唯一性： 兩個正則參數曲面兩個正則參數曲面 只相差一只相差一個剛體運動，即存在個剛體運動，即存在 使得使得 當且僅當它們有

31、相同的第一基本形式當且僅當它們有相同的第一基本形式 和和第二基本形式第二基本形式 。*3,:x xU * * *Abxx3A(3),bO 第二章 曲面：局部理論存在性：存在性： 給定區域給定區域 上函數上函數 滿足滿足 和和GaussGaussCodazziCodazzi方程，則每一點方程，則每一點 局部上局部上存在鄰域存在鄰域 和正則參數曲面和正則參數曲面 滿滿足足2V 20,0EEGF3:x U , ,E F G l m n222222.EduFdudvGdvldumdudvndv PVUV 第二章 曲面：局部理論l曲面論基本定理的存在性部分要用到到偏微分曲面論基本定理的存在性部分要用到到

32、偏微分方程組的解的存在定理，其中方程組的解的存在定理，其中GaussGaussCodazziCodazzi方程保證了對應的偏微分方程組的可積性。方程保證了對應的偏微分方程組的可積性。l曲面論基本定理的唯一性部分和曲線論基本定曲面論基本定理的唯一性部分和曲線論基本定理類似。要注意的區別是曲面的局部自然標架理類似。要注意的區別是曲面的局部自然標架不是單位正交的。不是單位正交的。 第二章 曲面：局部理論第四節第四節 協變微分，平行移動和測地線協變微分，平行移動和測地線曲面的內蘊幾何概念之一：曲面的內蘊幾何概念之一：“平行移動平行移動”。 如何比較曲面上任意兩點的切向量如何比較曲面上任意兩點的切向量?

33、 ?怎么判斷它怎么判斷它們是否平行？們是否平行？ 第二章 曲面：局部理論定義：給定正則參數曲面定義：給定正則參數曲面 ，向量函數，向量函數 稱為稱為 上一個切向量場，如果它滿足上一個切向量場，如果它滿足（1 1）（2 2對于曲面任意的正則參數表示對于曲面任意的正則參數表示 函數函數 都是連續可微的。都是連續可微的。3:W M ( ),;PW PT MPM M:x UM3:Wx U M 第二章 曲面：局部理論 于是我們可以考慮對曲面上的切向量場于是我們可以考慮對曲面上的切向量場 求關求關于切向量于切向量 的方向導數：的方向導數： 選取曲面上的一條參數曲線選取曲面上的一條參數曲線 滿足滿足 那么那

34、么注意注意: :曲面上曲面上“居民居民只看得到上述向量在曲面切只看得到上述向量在曲面切平面的投影！平面的投影！W() (0).VD WW(0),(0),PVPVT M:(, )M 第二章 曲面：局部理論定義定義 曲面曲面 上的可微切向量場上的可微切向量場 關于切向關于切向量量 的協變導數為的協變導數為給定給定 上曲線上曲線 ，假如，假如則稱向量場則稱向量場 沿參數曲線沿參數曲線 平行。平行。W()(n)n.TVVVVWD WD WD W( )0,tWtI PVT MMM:IMW 第二章 曲面：局部理論例例1 1 單位球面單位球面 上任意一個大圓上任意一個大圓 的切向量的切向量場場 是單位切向量

35、場，是單位切向量場，恰好是指向球心，所以恰好是指向球心，所以球面上大圓的切向量場沿著大圓平行。球面上大圓的切向量場沿著大圓平行。另外常向量場另外常向量場 沿著球面的赤道平行。沿著球面的赤道平行。( )( )( )n( ).sDT sT ss 2S( )T s( ) s( )( )0.sT s(0,0,1) 第二章 曲面：局部理論例例2 2 曲面曲面 上參數曲線上對應的切向量場的協上參數曲線上對應的切向量場的協變導數恰好可以由變導數恰好可以由ChristoffelChristoffel記號表示。記號表示。 在給定局部參數表示在給定局部參數表示 下下M:x UM(),(),().uuvvuvvTu

36、vxuxuuuuuuvTuvxuxuuvuuvvxvTuvxvxvvvuvvvxD xxxxD xxxxxD xxx 第二章 曲面：局部理論命題命題 設設 是曲面是曲面 上一條參數曲上一條參數曲線，且線，且 ，切向量，切向量 。則沿著。則沿著 存在唯一的平行向量場存在唯一的平行向量場 使得使得 。證明：不妨設曲線證明：不妨設曲線 包含在某個參數表示包含在某個參數表示中，有中，有 。進一步假設。進一步假設 (0)P:0,1M0PWT MMW0( )W PW( , ):x u vUM( )( ( ), ( )tu t v t( ( )( )( ( ), ( )( )( ( ), ( )uvWta

37、t x u t v tb t x u t v t 第二章 曲面：局部理論由于由于 ，我們計算，我們計算( )( )( )uvtu t xv t x( )() ( )( ( )( )( )( )( )()( )()( )( )( )( ( )( )( )( ( )( )( ( )( )( )( )( )( )TTtuvTTuvuvTuvuuuvTvuvvuuuuuuvvudWWta t xb t xdtdda t xb t xa txb txdtdta t xb t xa t u t xv t xb t u t xv t xa ta tu tv tb tu t( )( ( )( )( )( )(

38、 )( )( ).uvvuvvvvuuuvvuvvvv txb ta tu tv tb tu tv tx 第二章 曲面：局部理論 是沿著是沿著 的平行向量場當且僅當的平行向量場當且僅當是下列方程組的解：是下列方程組的解：由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了由微分方程解的存在唯一性定理，只要取定了 ，使得，使得 ，我們就得到唯一的平行向量場我們就得到唯一的平行向量場 滿足滿足 。( )( )( )( )( )( )( )0( )( )( )( )( )( )( )0.uuuuuuuvvuvvvvvvuuuvvuvva ta tu tv tb tu tv tb ta tu tv tb tu t

39、v tW( ), ( )a t b t(0), (0)ab0( )W PWW0(0)(0)uvWaxbx(1)eq 第二章 曲面：局部理論定義定義 設設 是曲面是曲面 上一條參數曲上一條參數曲線，且起始點為線，且起始點為 。 是沿是沿 的平行向量場，則向量的平行向量場，則向量 稱為稱為 沿沿 到點到點 的平行移動。的平行移動。之前的命題的存在唯一性結論保證了平行移動定之前的命題的存在唯一性結論保證了平行移動定義的合理性。義的合理性。如果曲線如果曲線 是正則的，則平行移動是正則的，則平行移動不依賴于不依賴于 的參數表示。的參數表示。(0),(1)PQ:0,1MM0( )WW PW( )W QQ(

40、0,1):0,1M 第二章 曲面：局部理論例例3 3 單位球面單位球面上緯線圓上緯線圓 ，考慮向量，考慮向量 從點從點 出發沿著緯線逆時針的平行移動。出發沿著緯線逆時針的平行移動。0vXx00(0, )uu u( , )(sincos ,sinsin ,cos )x u vuvuvu0(,0)P uu v 第二章 曲面：局部理論解：將單位球面解：將單位球面ChristoffelChristoffel記號的計算結果帶入記號的計算結果帶入方程方程(eq-1)(eq-1)中得到中得到加上初始值條件加上初始值條件 ，解得，解得觀察到觀察到 。平行移動保持切向。平行移動保持切向量的長度不變？量的長度不變

41、？000( )sincos( )( )cot( ).a tuu b tb tu a t (0)0,(0)1ab000( )sinsin(cos) ),( )cos(cos) ).a tuu tb tu t220( ( )sinXtu 第二章 曲面：局部理論命題命題 假設假設 和和 是沿是沿 的兩個平的兩個平行向量場，則內積行向量場，則內積 為常數。為常數。 推論推論 平行移動保持向量的長度和夾角。平行移動保持向量的長度和夾角。證明：向量場證明：向量場 沿沿 平行，那么平行，那么 與與平行，那么平行，那么同理同理W( ( )( ( )WtVt( ):tIMVW( ) tDWn( )( ( )(

42、( )( ( )0.tWtVtDW Vt( ( )( ( )0.WtVt( ( )( ( )0( ( )( ( )co.dWtVtWtVtnstdt 第二章 曲面：局部理論l平面中平面中“直線直線在曲面的推廣在曲面的推廣“測地線測地線”。 l曲面上兩點之間的最短連線是什么？曲面上兩點之間的最短連線是什么？l定義定義 曲面曲面 上一條非常值參數曲線上一條非常值參數曲線 l稱為測地線稱為測地線geodesicgeodesic），如果切向量場），如果切向量場 l沿沿 平行，即平行，即l測地線滿足測地線滿足 ，參數曲線正則，可，參數曲線正則，可以引進弧長參數以引進弧長參數 。0.:IM( ) tM(

43、)0tcsct 第二章 曲面：局部理論l曲面上以弧長為參數的測地線曲面上以弧長為參數的測地線 的曲率向量的曲率向量l l在曲面的切平面上投影為零，即測地線在每點在曲面的切平面上投影為零，即測地線在每點的的l主法向量與曲面的法向量平行。主法向量與曲面的法向量平行。l l 這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投這里曲線的曲率向量在曲面法向量上的投影影l恰好是曲線的法曲率。恰好是曲線的法曲率。( ) s( )( )( )sNsDs 第二章 曲面：局部理論曲面曲面 上一條弧長參數曲線上一條弧長參數曲線 在考慮法曲率時，我們實際上引入了有別于在考慮法曲率時，我們實際上引入了有別于FrenetFrenet標

44、架的另一個標架標架的另一個標架 （DarbouxDarboux標架）。標架）。 ,n,nTT:IMM 第二章 曲面：局部理論此時，曲率向量可以分解為此時，曲率向量可以分解為其中法曲率其中法曲率 是曲率的法分量，而是曲率的法分量，而 是曲率是曲率的切分量，稱為曲面上曲線的測地曲率的切分量，稱為曲面上曲線的測地曲率（geodesic curvature)geodesic curvature)。曲線是曲面測地線當且僅當它的測地曲率為零。曲線是曲面測地線當且僅當它的測地曲率為零。例例1 1證明球面上的大圓是測地線。證明球面上的大圓是測地線。(n)(n)(n)nngNNTTN ng 第二章 曲面：局部理

45、論定理定理LiouvilleLiouville公式假設公式假設 是曲面是曲面 上的正交參數表示，上的正交參數表示， 是是 上的上的一條曲線，其中一條曲線，其中 是弧長參數。是弧長參數。 假定曲線假定曲線 與與 曲線的夾角為曲線的夾角為 ，則曲，則曲線線 的測地曲率為的測地曲率為M( ( ), ( )x u s v s( , )x u vM1ln1lncossin .22gdEGdsvuGEu s 第二章 曲面：局部理論證明：證明： 曲線和曲線和 曲線的單位切向量為曲線的單位切向量為 曲線曲線 的切向量的切向量夾角夾角 滿足滿足DarbouxDarboux標架中標架中12,dudvTEeGedsds12nsincos.Tee 1211,.uvexexEGcos,sin.dudvEGd