1、第第 八節、傅里葉級數八節、傅里葉級數一、問題的提出：研究非正弦周期函數的級數表示一、問題的提出：研究非正弦周期函數的級數表示常見而又簡單的周期函數：常見而又簡單的周期函數：)sin( tAy,2: 周周期期,: A振振幅幅,: 角角頻頻率率,: 初初相相假設假設)(tf是一個以是一個以 2 T為周期的非正弦周期函數為周期的非正弦周期函數問題：可否將問題：可否將 f (t) 表為一系列正弦周期函數組成的級數表為一系列正弦周期函數組成的級數即即 10)sin()(nnntnAAtf 物理意義：將復雜的周期運動分解為許多不同頻率的物理意義：將復雜的周期運動分解為許多不同頻率的 簡諧運動振動的疊加。

2、簡諧運動振動的疊加。,2:00Aa 令令 10)sin()(nnntnAAtf )sin(nntnA tnAnn cossintnAnn sincos,sinnnnAa ,cosnnnAb , xt 那么那么1的右端的級數可改寫為的右端的級數可改寫為（1） 10)sincos(2nnnxnbxnaa（2）稱稱2為三角級數，為三角級數，), 2, 1(,0 nbaann均為常數均為常數1、三角級數、三角級數2的收斂性問題的收斂性問題2、將給定的以、將給定的以 2 為周期的周期函數展開成三角級數為周期的周期函數展開成三角級數 （2的形式。的形式。三角函數系三角函數系, 1（3）性質性質1：（：（3

3、中任何不同的兩個函數的乘積在中任何不同的兩個函數的乘積在, 上的積分等于零，即上的積分等于零，即,sin,cosxx,2sin,2cosxx,sin,cosxnxn dxxncos, 0sin dxxn), 2, 1( n, 0cossin xdxnxk), 2, 1,( nk, 0coscos xdxnxk), 2, 1,( nknk, 0sinsin xdxnxk), 2, 1,( nknk三角函數系三角函數系, 1（3）性質性質2：（：（3中任何兩個相同函數的乘積在中任何兩個相同函數的乘積在, 上的積分不等于零，即上的積分不等于零，即,sin,cosxx,2sin,2cosxx,sin,

4、cosxnxn,211 dx,sin2 dxxn), 2, 1( n,cos2 dxxn性質性質1和性質和性質2 稱為三角函數系稱為三角函數系3在區間在區間, 是正交的。是正交的。二、函數展開成傅里葉級數二、函數展開成傅里葉級數假設假設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，的周期函數，問題問題1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系數求出系數?,110baa且能展開成三角級數且能展開成三角級數 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4）假設假設4可逐項可積，那么可逐項可積，那么 dxxf)( dxa20 1)sincos(kkkxdxkbdxxka 0a dxxfa)

5、(10 xdxnxfcos)( xdxnacos20 1coscos(kkdxxnxka na 問題問題1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系數求出系數?,110baa 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4） dxxfa)(10)cossin xdxnxkbk,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1( n其次，為求其次，為求,na將將4兩邊同乘以兩邊同乘以,cosxn再從再從, 逐項積分，得到逐項積分，得到問題問題1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系數求出系數?,110baa 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4） dxxfa)(10,cos

6、)(1 xdxnxfan), 2, 1( n同理，同理，將將4兩邊乘以兩邊乘以,sinxn再從再從, 逐項積分逐項積分亦可得亦可得,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1, 0( n 由上述公式定出的由上述公式定出的nnba ,稱為傅里葉系數。稱為傅里葉系數。問題問題1：如何利用：如何利用 f (x) 求出系數求出系數?,110baa 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf（4）,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1, 0( n 由上述公式定出的由上述公式定出的nn

7、ba ,稱為傅里葉系數。稱為傅里葉系數。以傅里葉系數代入以傅里葉系數代入4式右端所得三角級數式右端所得三角級數稱為稱為 f (x)的傅里葉級數。的傅里葉級數。 10)sincos(2kkkxkbxkaa（5）,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n,cos)(1 xdxnxfan), 2, 1, 0( n 由上述公式定出的由上述公式定出的nnba ,稱為傅里葉系數。稱為傅里葉系數。以傅里葉系數代入以傅里葉系數代入4式右端所得三角級數式右端所得三角級數稱為稱為 f (x)的傅里葉級數。的傅里葉級數。 10)sincos(2kkkxkbxkaa（5）問題：函數問題：函數 f (x) 的

8、傅里葉級數的傅里葉級數5是否一定收斂？是否一定收斂？如果它收斂，是否一定收斂于如果它收斂，是否一定收斂于 f (x) ？定理收斂定理，定理收斂定理，Dirichlet 充分條件）充分條件）（1在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，設設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，且滿足的周期函數，且滿足（2在一個周期內至多只有有限個極值點，在一個周期內至多只有有限個極值點，那么那么 f (x) 的傅里葉級數必收斂，并且的傅里葉級數必收斂，并且（1當當 x 是是 f (x) 的連續點時，級數收斂于的連續點時，級數收斂于 f (x)。（2當當 x 是

9、是 f (x) 的間斷點時，級數收斂于的間斷點時，級數收斂于)()(21 xfxf記記)()(21)(| xfxfxfxC則在則在 C 上，傅里葉級數收斂于上，傅里葉級數收斂于 f (x) 。（1在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，定理收斂定理，定理收斂定理，Dirichlet 充分條件）充分條件）設設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，且滿足的周期函數，且滿足（2在一個周期內至多只有有限個極值點，在一個周期內至多只有有限個極值點，那么那么 f (x) 的傅里葉級數必收斂，并且的傅里葉級數必收斂，并且（1當當 x 是是 f (x) 的

10、連續點時，級數收斂于的連續點時，級數收斂于 f (x)。（2當當 x 是是 f (x) 的間斷點時，級數收斂于的間斷點時，級數收斂于)()(21 xfxf特別在特別在,處處 x級數收斂于級數收斂于)()(21 ff例例1：設：設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，它在的周期函數，它在 xxxf0, 1, 0, 1)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解： 先畫出先畫出 f (x) 的圖形，并確定收斂性的圖形，并確定收斂性), 上的表達式為上的表達式為xy11 0 2 2 函數函數 f (x) 僅在僅在),2, 1, 0( kkx 處不連續處不連續在這些點處，

11、級數收斂于在這些點處，級數收斂于2)()( ff0211 例例1：設：設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，它在的周期函數，它在 xxxf0, 1, 0, 1)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解： 先畫出先畫出 f (x) 的圖形，并確定收斂性的圖形，并確定收斂性), 上的表達式為上的表達式為 xdxnxfancos)(1 0cos) 1(1 xdxn 0cos11xdxn0 xdxnxfbnsin)(1 0sin) 1(1 xdxn 0sin11xdxn , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,4nnn 例例1：設：設 f (x) 是周期為是周期為

12、2 的周期函數，它在的周期函數，它在 xxxf0, 1, 0, 1)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解： 先畫出先畫出 f (x) 的圖形，并確定收斂性的圖形，并確定收斂性), 上的表達式為上的表達式為, 0 na , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,4nnnbn 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf) 12sin(1213sin31sin4 xkkxx , x, 2, 1, 0, kkx 例例2：設：設 xxxxf0, 0, 0,)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解：xy 0 2 2)()( ff,處處 x f (x

13、) 并非周期函數，必須先進行周期延拓并非周期函數，必須先進行周期延拓 2 3 3)(xF當當,),(時時 x),()(xfxF 所以將所以將 F (x) 的傅里葉級數限制在的傅里葉級數限制在, ),( 即為即為 f (x) 在在),( 上的傅里葉級數展開式。上的傅里葉級數展開式。而在端點而在端點級數收斂于級數收斂于2 例例2：設：設 xxxxf0, 0, 0,)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。若用若用 g (x) 表示表示 f (x) 的傅里葉級數在的傅里葉級數在), 的和函數的和函數那么那么 xxxxxg,0, 0, 0,)(2解：解：xy 0 2 f (x) 并非周

14、期函數，必須先進行周期延拓并非周期函數，必須先進行周期延拓 2 3 3)(xF例例2：設：設 xxxxf0, 0, 0,)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解： f (x) 并非周期函數，必須先進行周期延拓并非周期函數，必須先進行周期延拓 xdxnxfancos)(1 0cos1 xdxnx xdxnxfbnsin)(1 0sin1 xdxnxnn 1) 1( , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,42nnn dxxfa)(10 01 xdx2 例例2：設：設 xxxxf0, 0, 0,)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解： f (x)

15、 并非周期函數，必須先進行周期延拓并非周期函數，必須先進行周期延拓nbnn1) 1( , 6, 4, 2,0, 5, 3, 1,42nnnan ,20 a 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf)sincos2(xx , x, x4 x2sin21 )3sin313cos32(2xx x4sin41 例例2：設：設 xxxxf0, 0, 0,)(將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解： f (x) 并非周期函數，必須先進行周期延拓并非周期函數，必須先進行周期延拓 10)sincos(2)(kkkxkbxkaaxf)sincos2(xx , x, x4 x2si

16、n21 )3sin313cos32(2xx x4sin41 本題在作傅里葉級數展開時，必須對本題在作傅里葉級數展開時，必須對 f (x) 作周期延拓，作周期延拓，但在具體計算過程中，并非用到延拓后的函數但在具體計算過程中，并非用到延拓后的函數 F (x)三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數, )sincos(2)(10 nnnxnbxnaaxfCx 假設假設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，的周期函數，且滿足收斂定理條件且滿足收斂定理條件那么那么其中其中,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n), 2, 1, 0( n ,cos)(1 xdxnxfan（1當當

17、 f (x) 為奇函數時，有為奇函數時，有, 0 na,sin)(20 xdxnxfbn), 2, 1( n), 2, 1, 0( n級數成為級數成為,sin)(1 nnxnbxfCx 正弦級數正弦級數三、正弦級數和余弦級數三、正弦級數和余弦級數, )sincos(2)(10 nnnxnbxnaaxfCx 假設假設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，的周期函數，且滿足收斂定理條件且滿足收斂定理條件那么那么其中其中,sin)(1 xdxnxfbn), 2, 1( n), 2, 1, 0( n ,cos)(1 xdxnxfan（2當當 f (x) 為偶函數時，有為偶函數時，有, 0 n

18、b,cos)(20 xdxnxfan), 2, 1, 0( n), 2, 1( n級數成為級數成為,cos2)(10 nnxnaaxfCx 余弦級數余弦級數例例3：設：設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，它在的周期函數，它在解：解： 先畫出先畫出 f (x) 的圖形，并確定收斂性的圖形，并確定收斂性), ,)(xxf 將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。上的表達式為上的表達式為xy 0 2 2 函數函數 f (x) 僅在僅在),2, 1, 0()12( kkx 處不連續處不連續在這些點處，級數收斂于在這些點處，級數收斂于2)()( ff02 3 3 顯然，顯然，

19、f (x) 在在 ( , ) 上是一個奇函數。上是一個奇函數。例例3：設：設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，它在的周期函數，它在,)(xxf 將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。), 上的表達式為上的表達式為解：解： 先畫出先畫出 f (x) 的圖形，并確定收斂性的圖形，并確定收斂性xy 0 2 2 3 3 若用若用 g (x) 表示表示 f (x) 的傅里葉級數在的傅里葉級數在),( 的和函數的和函數那么那么 , 2, 1, 0,)12(, 0)12(,)(kkxkxxxxg 例例3：設：設 f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數，它在的周期函數，它在,)(xxf 將將 f (x) 展開成傅里葉級數。展開成傅里葉級數。解：解：), 上的表達式為上的表達式為因為，因為，f (x) 在在 ( , ) 上是一個奇函數。上是一個奇函數。, 0 na), 2, 1, 0( n所以所以 0sin)(2xdxnxfbn