1、( , )dx ydxdyxy( , )x y( , )P x yx把一階微分方程寫成對稱形式把一階微分方程寫成對稱形式 ( , )( , )0P x y dxQ x y dy(2.1)如果存在一個可微函數(shù)如果存在一個可微函數(shù) 表達(dá)式為表達(dá)式為亦即它的偏導(dǎo)數(shù)為亦即它的偏導(dǎo)數(shù)為使得它的全微分使得它的全微分( , )Q x yy(2.2)此時稱方程此時稱方程(2.1)為為恰當(dāng)方程恰當(dāng)方程，或，或全微分方程全微分方程.積分，得到積分，得到 ( , )( , )( , )dx yP x y dxQ x y dy( , )0dx y( , )x yC那么不論其中的x與y是獨(dú)立變量，還是存在著某種函數(shù)關(guān)系

2、，我們總能對等式稱稱(2.3)為為(2.1)的一個通積分。的一個通積分。(2.3)中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 定理定理2.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( , )M x y和和 ( , )N x y在一個矩形區(qū)域在一個矩形區(qū)域是全微分方程的充要條件為是全微分方程的充要條件為: :( , )( , )M x yN x yyx（2.4)0),(),(dyyxNdxyxMR0)ln()(23dyxydxxyx例例 求解微分方程求解微分方程 01)tan(21dyyyxdxyx轉(zhuǎn)化 變量分離的微分方程 解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(可分離變量方程可分離變量

3、方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)( )(22xxfyygd)(d)(設(shè) y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(則有恒等式 )(yG)(xF當(dāng)G(y) 與F(x) 可微且 G(y) g(y)0 時, 說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣,當(dāng)F (x)= f (x)0 時,上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 一階線性微分方程 一階線性微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若

4、 Q(x) 0, 稱為非齊次方程非齊次方程 .1. 解齊次方程分離變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程齊次方程 ;齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)()()(ddxQyxPxy用常數(shù)變易法常數(shù)變易法:,)()(d)(xxPexuxy則xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得例例 求解微分方程求解微分方程 1)0(,cos)

5、1 (yxyyx初等變換法 齊次函數(shù)齊次函數(shù): 函數(shù)函數(shù)),(yxf稱為稱為m次齊次函數(shù)次齊次函數(shù), 如果如果. 0),(),(tyxfttytxfm齊次方程齊次方程: 形如形如( )dyyFdxx的方程稱為的方程稱為齊次方程齊次方程。 引入一個新變量化為變量可引入一個新變量化為變量可分離方程分離方程求解思想求解思想:求解。求解。)(111cybacbyaxfdxdy形如形如的方程可化為齊次方程的方程可化為齊次方程.其中其中111,cbacba都是常數(shù)都是常數(shù).1. 當(dāng)當(dāng)01 cc時時, 此方程就是齊次方程此方程就是齊次方程.2. 當(dāng)當(dāng)0212cc時時, 并且并且(1)011baba此時二元方

6、程組此時二元方程組0011cybxacbyax有惟一解有惟一解.,yx引入新變量引入新變量.,yx此時此時, 方程可化為齊次方程方程可化為齊次方程:).(11babafdd(2) 若若011baba則存在實(shí)數(shù)則存在實(shí)數(shù),使得使得:,11bbaa或者有或者有.,11bbaa不妨是前者不妨是前者, 則方程可變?yōu)閯t方程可變?yōu)?.(111cybxacbyaxfdxdy令令,byaxz則則).(1czczbfadxdybadxdz4. 對特殊方程對特殊方程)(cbyaxfdxdy令令,byaxz則則).(czbfadxdz22()(1)0yxydxxdyy例例 求解微分方程求解微分方程 13dyxydx

7、xy伯努利方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)1. 求一連續(xù)可導(dǎo)函數(shù))(xf使其滿足下列方程:ttxfxxfxd)(sin)(0令txu, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x試求此方程滿足初始條件00 xy的連續(xù)解.引進(jìn)變量引進(jìn)變量xyz ，則，則,2xzdxxdzdyxzy原方程可化為原方程可化為0)()()(dzzgdxzgzfxz這是一個變量可分離的方程。這是一個變量可分離的方程。 形如形如0)()(dyxyxgdxxyyf方程方程積分因子法 ( , )( , )()( , )M x yN x yyxN x y因子的充要條件是因子的充要條件是定理定理2.4有一個僅依賴有一個僅依賴微分方程微分方程0),(),(dyyxNdxyxM的積分因子得充要條件是的積分因子得充要條件是: :于于x有關(guān)；有關(guān)； x僅與僅與定