1、定積分的概念與微積分基本定理 掌握定積分的計算，了解定積分的物理意義，會利用定積分求平面區域圍成的面積. 一、定積分的概念：從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運動路程的過程發現，它們都可以通過“分割、近似代替、求和、取極限得到解決，且都歸結為求一個特定形式和的極限， 事實上，許多問題都可以歸結為求這種特定形式和的極限1定積分的概念 一般地，設函數在區間上連續，用分點將區間等分成個小區間，在每個小區間上取一點，作和式：當）時，上述和式無限接近某個常數，這個常數叫做函數在區間上的定積分。記為： 即=其中函數叫做 ，叫做 變量，區間為 區間，積分 ，積分 。說明：（1）定積分是一個常數 （2）用定義

2、求定積分的一般方法是：分割：等分區間；近似代替：取點；求和：；取極限：（3）曲邊圖形面積：；變速運動路程2定積分的幾何意義 從幾何上看，如果在區間a,b上的函數連續且恒有。那么定積分表示由直線（），和曲線所圍成的曲邊梯形的面積。 3定積分的性質根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1 性質2 （其中k是不為0的常數） （定積分的線性性質）性質3 （定積分的線性性質）性質4 （定積分對積分區間的可加性）說明：推廣： 推廣: 性質解釋：性質4性質12、 微積分基本定理：變速直線運動中位置函數與速度函數之間的聯系設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（）

3、，則物體在時間間隔內經過的路程可用速度函數表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數S（t）在上的增量來表達，即 =而。 對于一般函數，設，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數（即滿足）的數值差來計算在上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數是上的連續函數的任意一個原函數，則證明：因為=與都是的原函數，故 -=C（） 其中C為某一常數。 令得-=C，且=0即有C=，故=+ =-=令，有 類型一：定積分的概念：例1計算下列定積分1 2.； 3.。解：1. 2.因為，所以。3. 因為，所以。例2計算由兩條拋物線和所圍成的圖形的面積.【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線

4、所對應的曲邊梯形的面積的差得到。ABCDO解：，所以兩曲線的交點為（0，0）、（1，1），面積S=，所以=【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟：1.作圖象；2.求交點；3.用定積分表示所求的面積；4.微積分基本定理求定積分。練習：1.若則（）A.B.C.D.1答案:B2.定積分的值為（）答案：C3若則的大小關系為（）ABCD答案：B4已知與是定義在上的連續函數，如果與僅當時的函數值為0，且，那么下列情形不可能出現的是（）A0是的極大值，也是的極大值B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是的極值D0是的極小值，但不是的極值答案：C5：已知二次函數的導數為，對于任意實數都有，則

5、的最小值為（）ABCD答案：C二、定積分求面積1直線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為（）A.B.C.D.4答案：2直線過拋物線的焦點且與軸垂直,則與所圍成的圖形的面積等于（）AB2CD答案：C3已知函數的圖象是折線段，其中、，函數（）的圖象與軸圍成的圖形的面積為_答案：一、選擇題（共4小題，每小題10分，共40分）1. 下列各定積分的值等于1的是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】理解定積分符號表示的幾何意義，我們結合圖象可以得解。2. 將和式的極限表示成定積分（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由求和式極限，我們知道求和式可以表示為，故可以知道被積函數為，積分區間為0，

6、13. 求由圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇為積分變量，則積分區間為（）A.0，B.0，2C.1，2D.0，1【答案】B【解析】根據作圖來判定積分區間。4. 如下圖，陰影部分的面積為（）A. dxB. dxC dxD. dx【答案】B【解析】利用定積分的幾何意義和定積分的運算性質可以得到。二、填空題（每題10分，共40分）5. 由定積分的幾何意義分析，則=_【答案】【解析】理解積分表示的幾何意義，由x=3,x=-3,y=0和函數圍成的面積，結合圖形我們知道，所求的面積是圓面積的一半。6. 將和式表示為定積分_【答案】【解析】根據和式變形我們可以得到這樣我們就可以找到原來的函數7. 按萬有引力定律

7、，兩質點間的吸引力，為常數，為兩質點的質量，r為兩質點間距離，若兩質點起始距離為，質點沿直線移動至離的距離為b處，試求所做的功是（ba）_【答案】【解析】運用以不變代變的思想，將區間a,b分割為n等分，然后取近似值求和，取極限可以得到解。8. 由及軸圍成的介于0與2之間的平面圖形的面積，利用定積分形式應表達為_【答案】【解析】作出余弦函數圖象，我們可以發現，在區間與上，而在區間與上，這樣我們結合定積分的運算性質可以把其合并為三、解答題（共20分）9. 利用定義求定積分的值。【答案】【解析】解：因為x2在區間上連續，所以存在把區間分成n等份，每份長，各分點是：,_基礎鞏固一、選擇題 求由曲線,直

8、線及軸所圍成的圖形的面積錯誤的為（）A BC D【答案】C 若函數,則的值為（）ABCD【答案】C 如圖,已知冪函數的圖像過點,則圖中陰影部分的面積等于（）ABCD 【答案】C 已知二次函數的圖象如圖所示,則它與軸所圍圖形的面積為（）yxO第題圖ABCD【答案】解析:根據圖像可得: ,再由定積分的幾何意義,可求得面積為. 如圖所示,在邊長為1的正方形OABC中任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為（）ABCD【答案】C【解析】,故,答案C 6函數的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為（）AB1C2D【答案】A【解析】根據積分的應用可求面積為 ,選A若,則實數的值為（）ABCD 【答案】B拋物

9、線繞軸旋轉一周形成一個如圖所示的旋轉體，在此旋轉體內水平放入一個正方體，使正方體的一個面恰好與旋轉體的開口面平齊，則此正方體的體積是（）A1B8CD【答案】B (陜西省西安中學2012屆高三下學期第三次月考試題)如圖,設D是圖中邊長為的正方形區域,E是D內函數y=x2圖象下方的點構成的區域.向D中隨機投一點,則該點落入E中的概率為（）ABCD【答案】C若,則a的值是（）A2B3C4D6【答案】A一輛汽車在高速公路上行駛,由于遇到緊急情況而剎車,以速度(的單位:,的單位:)行駛至停止.在此期間汽車繼續行駛的距離(單位;)是（）ABCD【答案】C解:令,則.汽車剎車的距離是,故選C直線l過拋物線C

10、: x2=4y的焦點且與y軸垂直,則l與C所圍成的圖形的面積等于（）AB2CD【答案】C 的方程是,所求面積相當于一個矩形面積減去一個積分值:. 二、填空題 _.【答案】 由曲線,直線及軸所圍成的圖形的面積為_.【答案】【解析】由,解得,即,所以所求面積為 能力提升計算_. 【答案】 若_.【答案】3 解: 計算定積分_.【答案】 【解析】本題考查有關多項式函數,三角函數定積分的應用. . 設函數,若, 其中,則=_.【答案】設.若曲線與直線所圍成封閉圖形的面積為,則_.【答案】【解析】由已知得,所以,所以.函數在點處的切線與函數圍成的圖形的面積等于_.【答案】如圖,圓內的正弦曲線與軸圍成的區域記為(圖中陰影部分),隨機往圓內投一個點,則點落在區域內的概率是_.【答案】已知函數的圖像是折線段ABC,若A(0,0),B(,1),C(1,0).函數的圖像與x軸圍成的圖形的面積為_.【答案】解析 如圖1, xyABC11圖1(O)NxyODM1P圖2所以,易知,y