1、定積分的概念與微積分基本定理15掌握定積分的計算，了解定積分的物理意義，會利用定積分求平面區(qū)域圍成的面積、定積分的概念:從前面求曲邊圖形面積以及求變速直線運動路程的過程發(fā)現(xiàn)，它們都可以通過“分割、近似代替、 求和、取極限得到解決，且都歸結(jié)為求一個特定形式和的極限，nn inn IS = lim v f i x = lim f i S = lim，v ； ：t = lim v x niiw nTynT：y n事實上，許多問題都可以歸結(jié)為求這種特定形式和的極限 1定積分的概念一般地，設函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點a = XoXiX2 IIIxix 1H Xn = b將區(qū)間a,b等分成n

2、個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi，x】上取一點與(i = 1,2,用，n ),作和式：nn" f i ='、b-f i i 1i 1 n當nT + g)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的定積分。nbbb - a記為：f f (x)dx 即f (x)dx = lim Z f('i )aan tim n其中函數(shù)f(x)叫做, x叫做 變量，區(qū)間a,b為 區(qū)間，b積分, a積分。b說明：(1)定積分f f(x)dx是一個常數(shù) a(2)用定義求定積分的一般方法是：分割：n等分區(qū)間a, bl；近似代替：取點匕w Ixi,，x】;n b af (x

3、)dx = lim % f i 二i n求和：b ba f(，)；取極限:i 1 nt2S = , vdtt1b(3)曲邊圖形面積：S = J f (x dx ;變速運動路程2定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間a,b上的函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有財)bf(x)之0。那么定積分 f f (x)dx表示由直線x = a , x = b(arb), y=0和曲線y = f(x)所圍成的曲邊梯形的面積。o3定積分的性質(zhì)性質(zhì)bidx = b -a性質(zhì)bkf (x)dx = kabf(x)dxa(其中k是不為0的常數(shù))(定積分的線性性質(zhì))性質(zhì)bfi (x)二 ab(x)d次 ab1 f ( x) d x

4、2f(定積分的線性性質(zhì))性質(zhì)bf ( x) d xab(x dxc(f )xM說明：推廣:(定積分對積分區(qū)間的可加性)bfl(x) . f2(x) IM fm(x)dx = afi(x)dx_f2(x)dx IMfm(x) a aciC2推廣：f(x)dx = j f(x)dx，I f (x)dx HI f (x)dxaa。ckCk根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì):性質(zhì)解釋:性質(zhì)1y=1SM梯形 AMNB =SW邊梯形 AMPC , SY邊梯形 CPNB二、微積分基本定理：變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為 S(t),速度為v

5、(v(t)之0 ),T2.則物體在時間間隔Ti,T2內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為v v(t)dt °Ti另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S (t)在Ti,T2上的增量S(Ti)-S(T2)來表達，即T2T v(t)dt = S(Ti) -S(T2)Ti而 S'(t) =v(t)。對于一般函數(shù)f (x),設F '(x) = f (x),是否也有ba f(x)dx f b f a若上式成立，我們就找到了用f(x)的原函數(shù)(即滿足F'(x)=f(x)的數(shù)值差F(b)-F(a)來 計算f(x)在a,b上的定積分的方法。注：1：定理 如果函數(shù)F(x)是a,b上的連

6、續(xù)函數(shù)f(x)的任意一個原函數(shù)，則ba f(x)dx = F(b)-F(a)ax證明：因為 (x)=f f (t)dt與F(x)都是f(x)的原函數(shù)，故 aF (x)-6(x) =C( a E x £ b) 其中C為某一常數(shù)。a令 x = a得 F (a)-(a) =C,且(a)= f f(t)dt=0 a即有 C=F(a),故 F(x)=6(x) + F(a)x：D(x)=F(x)-F(a)= f(t)dt ab令 x = b,有 J f(x)dx = F (b) - F(a) a藏例亞百)313(2x7dx。類型一：定積分的概念： 例1計算下列定積分1 . f(2x-4)dx 0

7、= 9-4 =55解：1.0(2x4)dx2 .因為(ln x)=,所以 f -dx =ln x |2= In 2 Tn1 = In 2。x 1 x，2、八，1、,1，3 1、，3 3 1 .3. 因為(x ) = 2x,( )= 一一2 ,所以(2 x - -2_)dx =12xdx 一1一2dx x x1 x 11 x2 3 1 3122= x2|3 T = (9-1) (1 -1)=。x33例2.計算由兩條拋物線 y2 =x和y =x2所圍成的圖形的面積【分析】兩條拋物線所圍成的圖形的面積，可以由以兩條曲線所對應的曲邊梯形的面積的差得到。解:!y =次=x=0&x=1,所以兩曲線

8、的交點為 2y =x(0,0)、(1,1),面積S= = 0 xdx 一_122 m xS= ( ,x- x )dx = -x" -一 03311=3 ,0BC0.4y - x2 y = x【點評】在直角坐標系下平面圖形的面積的四個步驟:1.作圖象；2.求交點; 定理求定積分。3 .用定積分表示所求的面積;4.O一D. A微積分基本練習: 2 14 .若 f (x) =x2 2 0f (x)dx,則1L f (x)dx =(A. -11C.一3D.1答案舊15 .定積分3 (2 x + ex )dx的值為(Ae 2B.e 1C.eD.e -1答案：C2 22 13.若 S1 = x

9、dx,S2 = dx, S311 x2 y(exdx,則S1S2s3的大小關(guān)系為(A.S1： S2 ： S3B. S2 < S1 < S3C. S2 二 S3 二 S1D, S3 < S2 < S1答案：B4.已知f(x)與g(x)是定義在R上的連續(xù)函數(shù)，如果f(x)與g(x)僅當x = 0時的函數(shù)值為0,f (x) > g(x),那么下列情形不可能 出現(xiàn)的是()A. 0是f(x)的極大值，也是 g(x)的極大值B. 0是f(x)的極小值，也是 g(x)的極小值C. 0是f(x)的極大值，但不是 g(x)的極值D. 0是f(x)的極小值，但不是 g(x)的極值答案

10、：C25：已知二次函數(shù)f(x)=ax +bx+c的導數(shù)為 f'(x), f'(0) > 0 ,對于任意實數(shù)x都有C. 23D.2f (x) _ 0,貝U -f-(1)的最小值為( f'(0)A. 3答案：C二、定積分求面積1 .直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()A. 2,2B. 4.2C. 2D.4答案：D22 .直線l過拋物線C : x =4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于()A.B. 2C.D.Com16 2答案：C1 一 ，3 .已知函數(shù)y = f (x)的圖象是折線段 ABC ,其中A(0,0)、B(,5)

11、、C(1,0),函數(shù)y = xf (x)2(0<x<1)的圖象與x軸圍成的 圖形的面積為 .5答案：54一、選擇題(共4小題，每小題10分，共40分)1 .下列各定積分的值等于 1的是()A. °xdxB.。他 1)dx C. 01dxD. q- dx【答案】C【解析】理解定積分符號表示的幾何意義，我們結(jié)合圖象可以得解。1p - 2p - 3p - . - np2 .將和式的極限 limp(p > 0)表不成te積分 ()nnA. 01dxB. 0 xpdxC. _0(1)PdxD. 0(-) pdxxxn【答案】B1 p 2P , 3p +n p,【解析】由求和式

12、極限lim 1-2一3八.n (pA0),我們知道求和式可以表示為 nf ：nP 111c 2 cn c c(一)p十(一)p十 +(一)p,故可以知道被積函數(shù)為f(x)=xp,積分區(qū)間為0, 1n n nn3 .求由y=ex,x=2, y=1圍成的曲邊梯形的面積時，若選擇x為積分變量，則積分區(qū)間為（）2_A. 0, e2B. 0, 2C. 1, 2D. 0, 1【答案】B【解析】根據(jù)作圖來判定積分區(qū)間。4 .如下圖，陰影部分的面積為（）bA. af(x)-g(x)dxB.ag(x) -f(x)dx cf(x) -g(x)dxbbC af (x) -g(x)dx c g(x) - f (x)d

13、xbD. ag(x) f(x)dx【答案】B【解析】利用定積分的幾何意義和定積分的運算性質(zhì)可以得到。二、填空題（每題10分，共40分）5 .由定積分的幾何意義分析，則第：9-x2dx=【答案】" 2【解析】理解積分表示的幾何意義，由x=3,x=-3,y=0和函數(shù)y=J9_x2圍成的面積,結(jié)合圖形我們知道，所求的面積是圓面積的一半。1116 .將和式lim (十+十)表木為te積分 n 1 n 22n一 1 1【答案】dx01 x【解析】根據(jù)和式變形我們可以得到1111 n n一=(n 1 n 22n n n 1 n 21這樣我們就可以找到原來的函數(shù)f (x)= 1 x7.按萬有引力定

14、律，兩質(zhì)點間的吸引力mm2 2"" rk為常數(shù),兩質(zhì)點間距離，若兩質(zhì)點起始距離為a,質(zhì)點R沿直線移動至離m1，m2為兩質(zhì)點的質(zhì)量，r為m2的距離為b處，試求所做的功是（ba） .11、【答案】km1m2 （）a b【解析】運用以不變代變的思想，將區(qū)間a,b分割為n等分，然后取近似值求和，取極限可以得到解。8.由y =cosx及x軸圍成的介于 0與2兀之間的平面圖形的面積，利用定積分形式應表達為2 【答案】0 cos x dx【解析】作出余弦函數(shù)圖象，我們可以發(fā)現(xiàn)，在區(qū)間0二與|史,2冗1上，cosx之0,2_ 2 二3而在區(qū)間n與 冗上 cosx <0 ,這樣我們結(jié)合

15、定積分的運算性質(zhì)可以把其合并為2 一 22 二0 | cosx dx三、解答題（共20分）1 29.利用定義求定積分 x2dx的值。1【答案】 .求由曲線y=-豉，直線y = -x+2及y軸所圍成的圖形的面積錯誤的為（310,1】分成n等份，每份長一， n各分點是:x0 = 0,12x1 = , x2 = nn,xn =n -1n【解析】解：因為x2在區(qū)間0,1】上連續(xù)，所以jx2dx存在把區(qū)間lim -i-x +1+ 1)=-押，6J 3當堂總，必家居作一、選擇題基礎鞏固A-o&x、x）dxB.22c.(2 - y -y )dy-2【答案】C.D.、.xdx002j4 - y )dy

16、二 3 ,3A. 一 2331 C.3【答案】C.B.A.3【答案】C.1- x2,(x < . 3),(V3 < x < 2),則.(x-2)21f (x) +xdx 的值為(B.D.-：5.332二5.3十23=x"的圖像過點P(2,4),則圖中陰影部分的面積等于(2D.一34 .已知二次函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，則它與x軸所圍圖形的面積為(A 紅B. 4C. 3D.-5322【答案】 解析：根據(jù)圖像可得：y = f (x) =-x2 +1 ,再由定積分的幾何意義 ，可求得面積為一 121 314S =(-x 1)dx =( x x) =-.4335 .如

17、圖所示，在邊長為1的正方形OAB阱任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為()1 A4【答案】【解析】x2)1_2 3:* S陰影=0 ( . x - x)dx = (- x2 31 一 1=S正=1 ,故P =,答案C66%+L(T Vx <0). 開的圖象與cos k,(Q£5)x軸所圍成的封閉圖形的面積為（3A 2【答案】AB. 1C. 2【解析】根據(jù)積分的應用可求面積為S = 2f (x)dx = (x 1)dx-2 cosxdx1 20413=(x +x)匕 +sinx 0 = +1 =一,選 a.2221 o7.若 /x?+mx)dx = 0 ,則實數(shù)m的值為()

18、A.1B.2C- -1D. _2【答案】B.2 ,8 .拋物線丫=乂（-20乂02）繞丫軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個正方體，使正方體的一個面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開口面平齊，則此正方體的體積是A. 1B. 8C. 8 2D. 16.2【答案】B9 .（陜西省西安中學2012屆高三下學期第三次月考試題 ）如圖，設D是圖中邊長為4的正方形 區(qū)域,E是D內(nèi)函數(shù)y=x2圖象下方的點構(gòu)成的區(qū)域.向D中隨機投一點，則該點落入E中的概率為.1A5【答案】C.41若 j (2x+)dx=3+1n2(a >1),則 a 的值是(1 xB. 3D. 6A. 2C. 425，以速度v(

19、t )=7 3t +5( t的單1 t【答案】A.1 1 . 一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車位：s, v的單位：m / s）行駛至停止.在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位；m ）是（）A. 1251n511B. 8 251n 一3C. 4 251n5D. 4 501n 2【答案】C解：令v（t ） = 73t25 一 、一+，5-=0 ,則t=4 .汽車剎車的距離是1 t。7-3t 含=4 +251n5 ,故選C.過拋物線C: x2=4y的焦點且與y軸垂直，則1與C所圍成的圖形的面積等于（B. 2C. 83C 1的方程是y=1,所求面積相當于個矩形面積減去一個積分2值:SM-2

20、.022cx ./ /x 28dx =4 -( o)=一.412312二、填空題1exdx 二【答案】e-114.由曲線y=JX,直線y = x2及y軸所圍成的圖形的面積為【答案】16【解析】3由fy=x -2一 x 二 4，解得，即B(4, 2)，所以所求面積為y=242 30 .x -(x -2)dx=(3x1 2-x 2x)2162【答案】e1 5 .計算廣(2x+1)d 1 x能力提升16若/"=9,則常數(shù)丁的值為17【答案】3解:T 2 x3 x dx = 03T3八C=9 = T =312計算te積分 (x sin x)dx =2【答案】2【解析】本題考查有關(guān)多項式函數(shù)，三角函數(shù)定積分的應用.3J , 2 一 、, x/( (x +sinx)dx= -cosx | i3rcos1 -cos13321 _1 8 .設函數(shù) f (x) = ax +c(a * 0),若(f (x)dx = f (x0),其中 0 < x0 < 1,則 x0 =19.設a A0.若曲線y=Vx與直線x = a, y = 0所圍成封閉圖形