1、考研數學三（線性代數）模擬試卷141(總分：56.00，做題時間：90分鐘)一、 選擇題(總題數：4，分數：8.00)1.選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。（分數：2.00）_解析：2.設A、B均為n階非零矩陣，且AB=O，則A與B的秩( )（分數：2.00） A.必有一個為零 B.均小于n  C.一個小于n，一個等于n D.均等于n解析：解析：因AO，BO，故r(A)1，r(B)1又AB=O r(A)n，否則r(A)=n，則A可逆，有A 1 AB=O，即B=O，這與BO矛盾，故必有r(A)n，同理有r(B)n，故只有B

2、正確3.設有向量組 1 =(1，1，2，4)， 2 =(0，3，1，2)， 3 =(3，0，7，14)， 4 =(1，2，2，0)， 5 =(2，1，5，10)則該向量組的極大無關組是( )（分數：2.00） A. 1 ， 2 ， 3 B. 1 ， 2 ， 4  C. 1 ， 2 ， 5 D. 1 ， 2 ， 4 ， 5解析：解析：由下列矩陣的初等行變換：A= 1 T 5 T 知 1 ， 2 ， 4 是一個極大無關組或用排除法：因 3 =3 1 + 2 5 =2 1 + 2 ，故A、C、D組都是線性相關的，因而只有B正確4.設 1 =(a 1

3、，a 2 ，a 3 ) T ， 2 =(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ， 3 =(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T 則3條平面直線a 1 x+b 1 y+c 1 =0，a 2 x+b 2 y+c 2 =0，a 3 x+b 3 y+c 3 =0(其中a i 2 +b i 2 0，i=1，2，3)交于一點的充分必要條件是( )（分數：2.00） A. 1 ， 2 ， 3 線性相關 B. 1 ， 2 ， 3 線性無關 C.秩r( 1 ， 2 ， 3 )=秩r( 1 ， 2 ) D. 1 ， 2 ， 3 線性相關，而 1 ， 2 線性無關 解析

4、：解析：題設3條直線交于一點 聯立線性方程組x 1 +y 2 + 3 =0有唯一解(x，y) T 由該非齊次線性方程組有唯一解 ( 1 ， 2 )=r( 1 ， 2 ， 3 )=2 1 ， 2 線性無關，而 1 ， 2 ， 3 線性相關，即知D正確注意C中的條件只保證了方程組有解，但不能保證解是唯一的，故C不對二、 填空題(總題數：5，分數：10.00)5.（分數：2.00）填空項1:_ （正確答案：正確答案：a n +(1) n+1 +b n ）解析：6.設A=，B為3階非零矩陣，且AB=O，則t= 1（分數：2.00）填空項1:_ （正確答案：正確答案：-3）解析：解析

5、：在條件下必有|A|=0(否則|A|0，則A可逆，用A 1 左乘AB=O兩端，得B=O，這與BO矛盾)， t=37.設矩陣B=，已知矩陣A相似于B，則秩(A2E)與秩(AE)之和等于 1（分數：2.00）填空項1:_ （正確答案：正確答案：4）解析：解析：由條件知存在可逆矩陣P，使P 1 AP=B， P 1 (A2E)P=P 1 AP2E=B2E，即A2E與B2E相似，故有r(A2E)=r(B2E) 同理得r(AE)=r(BE) 故r(A2E)+r(AE)=3+1=48.若向量組 1 =(1，1，) T ， 2 =(1，1) T ， 3 =(，1，1) T 線性相關，則= 1（分數：

6、2.00）填空項1:_ （正確答案：正確答案：1或2）解析：解析：由行列式| 1 2 3 |=(1) 2 (+2)=0， =1或=29.設 1 ， 2 為n階實對稱矩陣A的兩個不同特征值，x 1 為對應于 1 的一個單位特征向量，則矩陣B=A 1 x 1 x 1 T 有兩個特征值為 1（分數：2.00）填空項1:_ （正確答案：正確答案：0， 2 ）解析：解析：Bx 1 =Ax 1 1 x 1 (x 1 T x 1 )= 1 x 1 1 x 1 =0=0x 1 ，設x 2 是A屬于 2 的特征向量，則Bx 2 =Ax 2 1 x 1 (x 1 T x 2 )=Ax 2 1

7、x 1 0=Ax 2 = 2 x 2 ，故B有特征值0和 2 三、 解答題(總題數：16，分數：38.00)10.解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。_解析：11.設行列式已知1703，3159，975，10959都能被13整除，不計算行列式D，試證明D能被13整除（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：將D的第1列的1000倍、第2列的100倍、第3列的10倍都加到第4列，則所得行列式第4列每個元素都有公因子13)解析：12.設矩陣A、B滿足關系式AB=A+2B，其中A=，求B（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：B=(A2E) 1 A )解析：設n階方陣A、B滿足A+B=A

8、B（分數：4.00）(1).證明：AE為可逆矩陣；（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：由ABBA=O，(AE)B(AE)=E，(AE)(BE)=E，即知AE可逆；)解析：(2).當B=時，求A（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：A=E+(B+E) 1 (或A=B(BE) 1 )解析：13.已知3階方陣A=(a ij ) 3×3 的第1行元素為：a 11 =1，a 12 =2，a 13 =1(A * ) T 其中A * 為A的伴隨矩陣求矩陣A（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：由(A * ) T 知A 11 =7，A 12 =5，A 13 =4， |A|=a 11 A

9、 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =1，又由AA * =|A|E=E， A=(A * ) 1 )解析：14.設向量組()： 1 ， 2 ， r 線性無關，且()可由()： 1 ， 2 ， s 線性表示證明：在()中至少存在一個向量 j ，使得向量組 j ， 2 ， r 線性無關（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：用反證法否則對()中每個向量 j ，向量組 j ， 2 ， r 都線性相關 j 可由 2 ， r 線性表出 ()可由 2 ， r 線性表出 ()可由 2 ， r 線性表出 1 可由 2 ， r 線性表出，這與()線性無關矛盾)解析：15.若齊次線性方程組Ax=0

10、的解都是齊次線性方程組Bx=0的解，則有r(A)r(B)（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：設方程組Ax=0及Bx=0都是n元方程組，則由題設條件有nr(A)nr(B)，所以有r(A)r(B)解析：已知 1 =(1，0，2，3)， 2 =(1，1，3，5)， 3 =(1，1，a+2，1)， 4 =(1，2，4，a+8)，=(1，1，b+3，5)（分數：4.00）(1).a、b為何值時，不能表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的線性組合（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：a=1且b0)解析：(2).a、b為何值時，可表示成 1 ， 2 ， 3 ， 4 的線性組合并寫出該表示式（分數：

11、2.00）_正確答案：(正確答案：當a1時，可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 唯一地線性表示為：= 3 +0 4 ；當a=1且b=0時，可由 1 ， 2 ， 3 ， 4 線性表示為：=(2c 1 +c 2 ) 1 +(1+c 1 2c 2 ) 2 +c 1 3 +c 2 4 (c 1 ，c 2 為任意常數)解析：16.設矩陣A、B的行數都是m，證明：矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是r(A)=r(AB)（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：設B、X按列分塊分別為B=b 1 b 2 b p X=x 1 x 2 x p ，則AX=B， Ax 1 Ax 2 Ax p =b 1 b 2 b p

12、Ax j =b j (j=1，2，p)，故AX=B有解 Ax j =b j (j=1，2，p)有解，故由非齊次線性方程組Ax j =b j 有解的充要條件可知，AX=B有解 r(A)=r(A b j )(j=1，2，p) r(A)=rA b 1 b 2 b p =rA B)解析：17.設 1 ， 2 ， k (kn)是R n 中k個線性無關的列向量證明：存在n階滿秩方陣P，使得P以 1 ， 2 ， k 為其前k列（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：取齊次線性方程組 的基礎解系 1 ， nk ，則可證明 1 ， k ， 1 ， nk 線性無關： 設 1 1 + k k + 1 1 + nk

13、 nk =0，兩端左乘( 1 1 + k k ) T ，并利用 i T j =0(i=1，k；j=1，nk)，得( 1 1 + k k ) T ( 1 1 + k k )=0，即 1 1 + k k =0， 1 1 + k k =0，而 1 ， k 線性無關， 1 = k =0， 1 1 + nk nk =0，又 1 ， nk 線性無關， 1 = nk =0，于是證得 1 ， k ， 1 ， nk 線性無關，令矩陣P= 1 k 1 nk ，則P為滿秩方陣，且以 1 ， k 為其前k列)解析：設矩陣A=與矩陣B=相似（分數：4.00）(1).求a，b的值；（分數：2.00）_正確答案：(正確答案

14、：A的特征值為2，2，b，由2+2+b=1+4+a，2×2×b=|A|=6(a1)，a=5，b=6；)解析：(2).求一個可逆矩陣P，使P 1 AP=B（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：)解析：18.設A= ，問當k為何值時，存在可逆矩陣P，使得P 1 AP為對角矩陣并求出P和相應的對角矩陣（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：由|EA| =(+1) 2 (1)一0，得A的全部特征值為 1 = 2 =1， 3 =1故A可對角化 A的屬于2重特征值 1 = 2 =1的線性無關特征向量有2個 方程組(EA)X=0的基礎解系含2個向量 3r(EA)=2 r(EA) =

15、0當k=0時，可求出A的對應于特征值1，1；1的線性無關特征向量分別可取為 1 =(1，2，0) T ， 2 =(1，0，2) T ； 3 =(1，0，1) T ，故得 )解析：19.設矩陣A= ，B=P 1 A * P，求B+2E的特征值和特征向量，其中A * 為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：B+2E 的特征值為 1 = 2 =9， 3 =3對應于特征值9的全部特征向量為k 1 (1，1，0) T +k 2 (2，0，1) T ；對應于特征值3的全部特征向量為k 3 (0，1，1) T )解析：20.求一個正交變換，化二次型f(x 1 ，x 2 ，x

16、 3 )=x 1 2 +4x 2 2 +4x 3 2 4x 1 x 2 +4x 1 x 3 8x 2 x 3 成標準形（分數：2.00）_正確答案：(正確答案： 化f成f=9y 3 2 )解析：21.設 1 、 n 分別為n階實對稱矩陣的最小、最大特征值，X 1 ，X n 分別為對應于 1 、 n 的特征向量，記 f(X)=X T AXX T X，XR n ，X0 證明： 1 f(X) n ，maxf(X)= n =f(X n )，minf(X)= 1 =f(X 1 )（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：存在正交變換X=PY(P為正交矩陣，Y=(y 1 ，y 2 ，y n ) T )，使

17、得X T AX 1 y 1 2 + n y n 2 n (y 1 2 +y n 2 )= n Y 2 = n X 2 = n X T X，當X0時，有X T X0，上面不等式兩端同除X T X，得f(X)=X T AXX T X n ，又f(X n )=X n T AX n X n T X n =X n T n X n X n T X n = n ，故maxf(X)= n =f(X n )類似可證minf(X)= 1 =f(X 1 )解析：設A是n階實對稱矩陣，證明：（分數：4.00）(1).存在實數c，使對一切xR n ，有|x T Ax|cx T x（分數：2.00）_正確答案：(正確答案：設A的特征值為 1 ， 2 ， n 令c=max| 1 |