1、線性代數線性代數 矩陣矩陣(j zhn) 教學教學第一頁，共28頁。Leibniz在十七世紀就在十七世紀就有了行列式的概念有了行列式的概念(ginin)。Vandermonde是第一個對是第一個對行列式理論做出連貫行列式理論做出連貫(lingun)的邏的邏輯闡述的人。輯闡述的人。Cayley被公被公認為矩陣論認為矩陣論的創立者。的創立者。線性代數前言線性代數前言第1頁/共28頁第二頁，共28頁。第2頁/共28頁第三頁，共28頁。第3頁/共28頁第四頁，共28頁。多做練習啊！第4頁/共28頁第五頁，共28頁。第5頁/共28頁第六頁，共28頁。mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxa

2、xaxa22112222212111212111系數系數(xsh)排成一個矩形數表排成一個矩形數表第6頁/共28頁第七頁，共28頁。mnmmnnaaaaaaaaa212222111211這就是這就是(jish)矩陣矩陣由由mn個數按一定個數按一定(ydng)的的次序排成的次序排成的m行行n列的列的矩形數表稱為矩形數表稱為mn矩矩陣陣,簡稱矩陣簡稱矩陣.橫的各排稱為橫的各排稱為(chn wi)矩陣的行矩陣的行,豎的各排稱為豎的各排稱為(chn wi)矩陣的列矩陣的列ija稱為矩陣的第稱為矩陣的第i行行j列的元素列的元素.元素為實數的稱為實矩元素為實數的稱為實矩陣陣, ,我們只討論實矩陣我們只討論

3、實矩陣. .第7頁/共28頁第八頁，共28頁。矩陣通常矩陣通常(tngchng)用大寫字母用大寫字母A、B、C等表示，例如等表示，例如mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211簡記簡記(jin j)為為nmijaA)()(11211naaa12111maaa行矩陣行矩陣(j zhn)列矩陣列矩陣腳標第8頁/共28頁第九頁，共28頁。nnnnnnnnaaaaaaaaaA212222111211當當m=n時，即矩陣時，即矩陣(j zhn)的行數與列數相同的行數與列數相同時時,稱矩陣稱矩陣(j zhn)為方陣。為方陣。主對角線主對角線第9頁/共28頁第十頁，共28頁。幾種特殊形式幾種特

4、殊形式(xngsh)的矩陣的矩陣0000. 1nmOnnaa11. 2kk. 311. 4nE第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。nnnnaaaaaa22211211. 5nnnnaaaaaa212221116.梯形(txng)陣 設nmijaA)(若零行全在非零行的下面若零行全在非零行的下面(xi mian)且各行中第一個且各行中第一個(y )（最后一個（最后一個(y )非零元非零元素前素前(后后)面零元素的個數隨行數增大而增多面零元素的個數隨行數增大而增多(減少減少),則稱為則稱為上上(下下)梯形矩陣梯形矩陣.簡稱為上簡稱為上(下下)梯形陣梯形陣.它們統稱為梯形陣第11頁/共28頁第十二

5、頁，共28頁。73325003210006900001002200010000000000870054321100009800012210312075第12頁/共28頁第十三頁，共28頁。00000004320060500001000010032112344它們它們(t men)(t men)是梯形陣嗎是梯形陣嗎? ?不是不是(b shi)!請你記住請你記住(j zh)梯形陣的特點梯形陣的特點,尊重梯形陣的定義尊重梯形陣的定義.梯形陣是最常用的矩陣梯形陣是最常用的矩陣! !第13頁/共28頁第十四頁，共28頁。矩陣矩陣(j zhn)的運算的運算一、線性運算一、線性運算(yn sun)1.相等相

6、等:兩個矩陣相等是指這兩個矩陣有相同兩個矩陣相等是指這兩個矩陣有相同 的行數與列數的行數與列數, 且對應且對應(duyng)元素相等元素相等.即即nmijaA nmijbB=型號相同型號相同ijijba 對應元素相等對應元素相等第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。2.加、減法加、減法(jinf)nmijaA nmijbB設矩陣設矩陣(j zhn)與定義定義(dngy)nmijijbaBA)(nmijijbaBA)(顯然顯然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A A-A=O負矩陣負矩陣nmijaA的負矩陣為的負矩陣為nmijaAnmijaA記作記作 ,即即A第15

7、頁/共28頁第十六頁，共28頁。3.數乘數乘mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211稱為數與矩陣的乘法，簡稱稱為數與矩陣的乘法，簡稱(jinchng)為數乘。記作：為數乘。記作：kAkA1kA1kAAA 1OoAkBkABAklAkAAlkAkllAk)(,)( ,)()(第16頁/共28頁第十七頁，共28頁。矩陣矩陣(j zhn)的乘法的乘法3132121111xaxaxay3232221212xaxaxay232131322212122121111tbtbxtbtbxtbtbx與與232132212121113113211211111)()(tbababat

8、bababay232232222122113123212211212)()(tbababatbababay232221131211aaaaaaA323122211211bbbbbbB第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababa232221131211aaaaaa323122211211bbbbbbsmijaA)(nsijbB)(一般一般(ybn)地，有地，有nmijc)(sjisjijiijbababac2211=ABC )(21isiiaaasjjjbbb

9、21ijc第18頁/共28頁第十九頁，共28頁。nssmnmBAC1111,11111BA：例AB0000= O2222BABAAB 顯然顯然(xinrn)這正是這正是矩陣與矩陣與數的不同數的不同第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。1101,1241,63422CBA：例6946,6946ACABACAB CB 但是但是(dnsh)這又是這又是矩陣矩陣(j zhn)與與數的不同數的不同請記住請記住(j zh)：1.矩陣乘法不滿足交換率；矩陣乘法不滿足交換率；2.不滿足消去率；不滿足消去率；3.有非零的零因子。有非零的零因子。第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。nnmnmmEAAAEkBA

10、BkAABkCABAACBACABCBABCACAB. 4)()()(. 3)()(. 2)().(1第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。方陣方陣(fn zhn)的正整數冪的正整數冪AAAAkEA 0lklkAAAkkkBAAB)(問題問題(wnt)kkkBAAB)(成立成立(chngl)的的條件條件?矩陣的轉置矩陣的轉置nmijaAmnjiaTAA或TTTTTTTkAkABABAAA)()()(TAB)(TTAB請記牢請記牢!AB=BA第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。smijaAnsijbBnmijcABCmnijTTdAB)(msjiTaAsnjiTbBsijsijijjiba

11、babac2211jssijijiijabababd2211jicijd=也就是也就是(jish)TTTABAB)(TTTTABCABC)(?11TnnTaajicijd=第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。對稱對稱(duchn)陣與反對稱陣與反對稱(duchn)陣陣AAT:對稱陣AAT:反對稱陣TTTAAAAAA,TAA22TTAAAAA任一方陣都可以分解成任一方陣都可以分解成對稱對稱(duchn)陣與反對稱陣與反對稱(duchn)陣的和陣的和.jiijaa 0iijiijaaa且第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。例例1:設矩陣設矩陣(j zhn)A與與B為同階對稱陣，證明為同階對稱陣，證明AB是對稱是對稱 陣的充要條件為陣的充要條件為AB=BA.證：證：:TAB)(ABTTTABAB)(又BABAAB :BAAB TTTABAB)(BAAB為對稱陣。AB例例2：求矩陣：求矩陣(j zhn)的冪的冪cossinsincosA?nA第25頁/共28頁第二十六頁，共28頁。2222sincoscossin2cossin2sincos2cos2sin2sin2coscos