1、線性算子線性算子(sun z)實用實用第一頁，共22頁。第1頁/共22頁第二頁，共22頁。第2頁/共22頁第三頁，共22頁。第3頁/共22頁第四頁，共22頁。第4頁/共22頁第五頁，共22頁。122222222|;:(, ) |( , ),|( , ):| ( , )|2|2| ,1(|4xyxyaxaxxxxx xxyxyxyxyxyxyixyiixy 賦范線性空間都是距離空間： ( ， )=反之，要求距離滿足條件范數定義。 內積空間都是賦范線性空間；反之，范數滿足中線公式：內積定義( ， )=2| )i第5頁/共22頁第六頁，共22頁。121212112,K:( )( ), ,K:,RRB

2、anannX XT XXXXTxyT xT yx yXTTTXXnA 設是數域 上的線性空間，映射稱為到的一個線性映射,如果（）=。顯然：。當 是雙射時，稱 是一個線性同構，稱是線性同構的。例子： 階方陣 是的線性映射，可逆矩陣都是線性同構。有限階矩陣的研究，線性代數、高等代數和矩陣論中都有涉及；我們泛函分析中主要研究是無窮維線性空間（ch空間）上的線性映射。第三節 線性映射(yngsh)與線性算子第6頁/共22頁第七頁，共22頁。第7頁/共22頁第八頁，共22頁。第8頁/共22頁第九頁，共22頁。0XYYKker ,:()().nnnnnTTTTxxxxTxTxTXTXX YT XYTXTX

3、xxXTxYX當時，稱 是線性變換，當時，稱 是線性泛函。相關概念：核空間、線性同構。稱 在 點連續，是指對任意點列若則；若 在 的每一點都連續，則稱 在 上連續。定理1.設是賦范線性空間,是線性算子，則（a） 在 上連續當且僅當 在 中的某點 處連續;特別的等價于若中零元 ，則中零元(b)當 的維數有TX限時， 在 上是連續的。第9頁/共22頁第十頁，共22頁。: ( )1( )( ),( )( ), , , , tbaaXaT T xaxaITx txdf xxdxC a bTC a bf 設 是賦范線性空間， 是一常數。映射稱為相似算子，時，稱為恒定算子或單位算子，記為 。例1.定義:則

4、 是上的一個線性算子， 是一個線性泛函。1sin|sin| 1,|(sin)|cos|():0,10,1n tn tdn tnn tnndtdCCdt 取函數列，顯然但因此，微分算子是無界算子。第10頁/共22頁第十一頁，共22頁。| | 1| | 1| | 01112:|( )|( )| sup| sup| sup| , :()( )( ), , (1.) : , , ,|xxxxaTTTTT xMxxD TMTxTTxTxxL a bTTfxf t dtfL a bT L a bC a bT 定理線性算子 是連續的充要條件是 是有界的。算子 的范數:式，中的下確界?？梢宰C明:例：上算子時1

5、1| 1(2.) : , , ,| T L a bL a bTba時一般來說，求一個具體算子的范數并不容易，很多場合中只能對其范數做出估計第11頁/共22頁第十二頁，共22頁。第12頁/共22頁第十三頁，共22頁。第13頁/共22頁第十四頁，共22頁。| | 1| | 1| | 0| | 1| | 1| | 1|(, )| sup| sup| sup| |(1)| sup| 0,| 00( (, )(2)| sup| |sup| | |xxxxxxTxTB X YTTxTxxTTxTTB X YTTxTxT算子的范數驗證算子算子范數滿足以下條件：中零元121212| | 1| | 11212|

6、 | 1| | 1|;(3)|sup|() | sup|sup|sup| |xxxxTTTT xT xT xT xT xTT第14頁/共22頁第十五頁，共22頁。| | 1* *(, )(,R)| sup|( )|Banacha,b(,3.(, ),( ,),xB X YXB Xff xXXXXXXXXTB X YSB Y Z注：1.一般說來，賦范線性空間未必是完備的；2.賦范線性空間 上的有界線性泛函的全體，按前面引入的運算與范數構成一個空間,我們稱之為 的共軛空間，記為；( )如果賦范線性空間 等距同構于則稱 是自共軛的；( )如果賦范線性空間 等距同構于）則稱 是自反的。(,),| |

7、|(, )STB X ZSTSTYB X Y則復合算子且。定理3：設 是完備的賦范線性空間，則是完備的。第15頁/共22頁第十六頁，共22頁。3 (, )Cauchy |0( ,),| |()( )| | |0( ,).( )Cauchy( ),( )( ),().|nnnmnmnmnmnnnTB X YTTTn mxXT xT xTTxTTxn mT xYYYT xT xT xnT 定理 的證明：設為一列，往證收斂。因為則對必有這說明是 為一列，由 的完備性，在 中存在唯一的一個元素，記為使得注意到000| |0( ,), |(, )0,| 1,| |()( )| | |.,|,| 1.|

8、mnmnnnmnmnmnnnTTTn mTTTB X Yn mxT xT xTTxTTxxmT xTxxXxnTTT 故由的線性和的收斂性可得。對，存在自然數N ，使得當N 時，對固定令，可得，從而對N ，。故(, )(, )B X YB X Y在收斂，完備。第16頁/共22頁第十七頁，共22頁。nnn2fS( )S0| 1,1.nnTTB lSn 一致收斂強于強收斂; 的強收斂強于弱*收斂；例如：單邊移位算子，強收斂于 ，而第17頁/共22頁第十八頁，共22頁。4Banach (, )|G,( ) (, ),| lim|.nnnnnXYTB X YTXx T xTTB X YTT我們知道收斂

9、的序列都是有界集合，類似于定理3的證明，我們可以得到一下結論。定理 ：設 是賦范線性空間， 是空間，滿足條件：(1)是有界數列；(2)在 中的某一稠密子集 中的每個元素都收斂.則強收斂于某一個算子且第18頁/共22頁第十九頁，共22頁。* *,( )( ),.:|( )| |( )| | |,.| |.:, ( )XXXXXxXXxxff xfXxff xfxfXxXxxxXXxx 設 是賦范線性空間，則 的共軛空間二次共軛空間=()都是賦范線性空間。下面考慮它們之間關系對每個定義上泛函：注意到顯然，是上有界線性泛函，且稱此泛函是由 生成的，算子為嵌入算子。第19頁/共22頁第二十頁，共22頁。*5.| |,()6.7.,*(7.1)(),(7.nnnnnnnnXXXxxxyxyXXXfXfffXffxx nxx 定理 設 是賦范線性空間，嵌入算子 是 到的等距線性算子,即：。推論 設 是賦范線性空間，則