1、數學學習的理論探討2前言：教師成為研究者20世紀80年代以來，教師教育出現了一種“反思性轉向”。以美國為開端，關于反思的討論迅速在教師教育界興起。這種討論的結果就是形成了“教師即研究者”（ Elliott， 1990）的理念，也就是說，教師不應只是別人研究成果的消費者，更應是研究者。 教師即技師（教師即技師（Teacher as technician）教師即研究者（教師即研究者（Teacher as researcher） 3一、教師成為研究者是教師專業發展的需要一、教師成為研究者是教師專業發展的需要 “教師成為研究者教師成為研究者”有利于教師去發現和解決發生在自己有利于教師去發現和解決發生在

2、自己課室中的教學問題，或是教育上的問題，進而改進教學課室中的教學問題，或是教育上的問題，進而改進教學以及提升教育質量。以及提升教育質量。 “研究者研究者”與與“教師教師”看問題的視角往往是不一樣的，看問題的視角往往是不一樣的，“教師成為研究者教師成為研究者”有利于促進教師對學生學習的理解有利于促進教師對學生學習的理解?！皩W學”是是“教教”的前提，只有理解了學生是怎么學的的前提，只有理解了學生是怎么學的，教學才能對癥下藥。在理解學生的學習方面，教師的，教學才能對癥下藥。在理解學生的學習方面，教師的經驗固然重要，但由于學習行為是一種復雜的心理活動經驗固然重要，但由于學習行為是一種復雜的心理活動，因

3、此，單純的經驗有時也會將教學引入歧途。，因此，單純的經驗有時也會將教學引入歧途。 “教師成為研究者教師成為研究者”有助于促進教師之間、教師與專業有助于促進教師之間、教師與專業研究人員之間、以及教師與其它行業之間的合作與交流研究人員之間、以及教師與其它行業之間的合作與交流。教師的經驗由于帶有太多的個性，一旦脫離了具體的。教師的經驗由于帶有太多的個性，一旦脫離了具體的情境，就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經情境，就難以被別人理解與借鑒，只有通過研究，將經驗提升為一種帶有共性的東西，才可能跨越時空和行業驗提升為一種帶有共性的東西，才可能跨越時空和行業的界線。的界線。 4二、教師成為研究者是課

4、程改革的二、教師成為研究者是課程改革的需要需要 數學新課程的實施，帶來了許多新的東西，如：新的數學新課程的實施，帶來了許多新的東西，如：新的教學理念，新的教學方法，新的教學內容，以及傳統教學內教學理念，新的教學方法，新的教學內容，以及傳統教學內容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種容的新的處理。隨之而來的則是一些新的問題和老師們的種種困惑：如何看待我國的雙基教學？傳統的教學經驗是不是種困惑：如何看待我國的雙基教學？傳統的教學經驗是不是不適用啦？什么是數學探究？如何評價教學的有效性？等等不適用啦？什么是數學探究？如何評價教學的有效性？等等。為了解除困惑，老師們常常把目光轉向專家和理

5、論，而他。為了解除困惑，老師們常常把目光轉向專家和理論，而他們常常又會發現，專家們的觀點似乎并不一致，理論也似乎們常常又會發現，專家們的觀點似乎并不一致，理論也似乎沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺灣的報紙沒有定論。于是，又形成了新的困惑。無怪乎，臺灣的報紙用三個字來概括實施（臺灣地區）新課程后老師們的心情，用三個字來概括實施（臺灣地區）新課程后老師們的心情，那就是：那就是：“忙、盲、茫忙、盲、?！?。要改變這種現象，要改變這種現象，“教師成為研究者教師成為研究者”至關重要。因至關重要。因為面對新的情境，老的經驗往往并不適用。只有采取研究的為面對新的情境，老的經驗往往并不適用。只有采取

6、研究的態度，才能透過表面的現象看清本質的東西，從而提高教師態度，才能透過表面的現象看清本質的東西，從而提高教師的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風吹兩面倒。的洞察力和鑒別力，而不至于像墻頭草那樣，風吹兩面倒。 5三、研究風格的轉變三、研究風格的轉變1. 自上而下（自上而下（演繹法演繹法）自下而上（自下而上（歸納法歸納法）2. 定性研究定性研究定量研究定量研究定性研究（定性研究（質的研究質的研究）3. 教育學方法（教育學方法（望遠鏡望遠鏡） 心理學方法（心理學方法（顯微鏡顯微鏡） 數學教育研究方法（數學教育研究方法（？）4. 理論研究（理論研究（改變理論改變理論） 實證研究（實證研究（檢驗

7、假設檢驗假設） 行動研究（行動研究（改變行為改變行為）5. 象牙塔（象牙塔（獨立研究獨立研究） 課堂（課堂（合作研究合作研究）6. 基于書面資料（基于書面資料（博覽群書博覽群書）基于因特網（基于因特網（搜索搜索與鑒別與鑒別）6四、數學教育的基本研究規范7論文的一般格式課題的提出課題的提出文獻綜述文獻綜述研究方法研究方法研究過程研究過程結果與應用結果與應用參考文獻參考文獻附錄附錄（已有的成果及其與本研究的聯系）（起因與意義）（取樣，問卷，測試卷等及其信度和效度，包括反應率）8五、幾點建議9選擇一個適合自己的研究方向選擇一個適合自己的研究方向 數學教育涉及的研究領域和方向很多，教師的數學教育涉及的

8、研究領域和方向很多，教師的工作又比較繁忙，不可能關注數學教育研究的方方工作又比較繁忙，不可能關注數學教育研究的方方面面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向面面，因此，首先要選擇一個適合自己的研究方向，作為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實實，作為自己的立足之地，然后安營扎寨，踏踏實實地做一點自己的東西。現在學術界的新觀點、新口地做一點自己的東西。現在學術界的新觀點、新口號很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引號很多，但筆者以為，做研究不能趕潮流，因為引領潮流的畢竟只有極少數的人，大多數只能隨波逐領潮流的畢竟只有極少數的人，大多數只能隨波逐流，容易迷失方向。大約在流，容易迷失方向。大約

9、在7年前，筆者因為出國訪年前，筆者因為出國訪學的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙學的事，羅列了自己的一些研究成果去拜訪張奠宙先生。先生的評價是：你的研究只是東一榔頭、西先生。先生的評價是：你的研究只是東一榔頭、西一榔頭，看不出自己的研究特長。這讓我很是振動一榔頭，看不出自己的研究特長。這讓我很是振動。從此，我就在努力尋找適合自己的研究領域。從此，我就在努力尋找適合自己的研究領域。10從從“小小”做起做起 喜歡做大做空，是我國傳統教育研究的一個喜歡做大做空，是我國傳統教育研究的一個通病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們通病，為此，張奠宙先生曾多次呼吁要改一改我們的文風。從研究角度來

10、看，大體上有兩種：一種是的文風。從研究角度來看，大體上有兩種：一種是“望遠鏡望遠鏡”式的，高瞻遠矚，整體把握；另一種是式的，高瞻遠矚，整體把握；另一種是“顯微鏡顯微鏡”式的，選一個小的切入點，逐步深入。式的，選一個小的切入點，逐步深入。從目前的國際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從從目前的國際趨勢來看，更喜歡后一種方式；而從我們教師的實際情況看，比較合適的也是后一種。我們教師的實際情況看，比較合適的也是后一種。本刊的老主編唐復蘇教授經常掛在嘴上的一本刊的老主編唐復蘇教授經常掛在嘴上的一句話是：文章不在長短，有一得之見即可。這一得句話是：文章不在長短，有一得之見即可。這一得之見指的是自己的獨到見解

11、，而不是泛泛而談。我之見指的是自己的獨到見解，而不是泛泛而談。我們不能期望一篇短文能夠講出許多的大道理。們不能期望一篇短文能夠講出許多的大道理。11注意相關文獻的積累注意相關文獻的積累 做研究不能靠拍腦袋。雖然論點的選擇可以來自經驗，做研究不能靠拍腦袋。雖然論點的選擇可以來自經驗，但經驗不能代替有效的論據。在一些學術期刊的文章中，我們但經驗不能代替有效的論據。在一些學術期刊的文章中，我們仍然可以看到：仍然可以看到：“我認為我認為”這類比較隨意的斷言，卻始終沒這類比較隨意的斷言，卻始終沒有給出為什么可以這樣認為的證據，則不是研究的態度。當然有給出為什么可以這樣認為的證據，則不是研究的態度。當然，

12、像，像中學數學月刊中學數學月刊這樣兼顧學術性和實用性的刊物，并不這樣兼顧學術性和實用性的刊物，并不排斥有效教學經驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅排斥有效教學經驗的分享，但要成為一個研究者，就不能僅僅是經驗之談。是經驗之談。提高研究水平的一條具體措施就是注意相關文獻的搜集提高研究水平的一條具體措施就是注意相關文獻的搜集與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經做了與積累，也就是要理清楚在自己的研究方向上，別人已經做了哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復勞動。我國老一哪些工作。這樣才不會原地踏步，或者做重復勞動。我國老一代數學教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個典范，他代數

13、學教育研究者戴再平教授在這方面可以說是一個典范，他不僅自費訂閱幾乎全部的中小學數學類期刊，而且制作了大量不僅自費訂閱幾乎全部的中小學數學類期刊，而且制作了大量的學術卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然的學術卡片。正是這種勤奮，使得他幾乎可以著作等身。雖然在網絡時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月在網絡時代，研究資料的搜集更為便捷，但也同樣需要日積月累。累。12掌握基本的研究方法掌握基本的研究方法 長期以來，學科教育研究常常受到學科專長期以來，學科教育研究常常受到學科專家的質疑，其根本原因就是研究方法的科學性家的質疑，其根本原因就是研究方法的科學性。與自然科學不同的是，教

14、學假設是不能用純。與自然科學不同的是，教學假設是不能用純邏輯的方法來論證的，教學實驗也通常是不可邏輯的方法來論證的，教學實驗也通常是不可復制的。因此，研究方法的適用性及信度和效復制的。因此，研究方法的適用性及信度和效度就成為關鍵的因素。近年來流行的教學研究度就成為關鍵的因素。近年來流行的教學研究方法包括：案例研究，問卷調查，深度訪談，方法包括：案例研究，問卷調查，深度訪談，出聲思維，錄像帶分析，教學實驗等等。這些出聲思維，錄像帶分析，教學實驗等等。這些方法并不需要高深的理論知識，用幾次就熟悉方法并不需要高深的理論知識，用幾次就熟悉了。了。 13增加合作與交流增加合作與交流 現代社會越來越強調人

15、與人的合作交流，現代社會越來越強調人與人的合作交流，數學教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅數學教育研究也是一樣。這里的合作交流不僅僅指研究結果的呈現，更在于研究過程的開放性。指研究結果的呈現，更在于研究過程的開放性。近年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就近年來，國外的一些研究人員往往從選題開始就在網絡上公布，并毫無保留地展現自己的研究過在網絡上公布，并毫無保留地展現自己的研究過程，包括其中的困惑，希望引起別人的關注與介程，包括其中的困惑，希望引起別人的關注與介入。這種做法，于人于己都有益處。入。這種做法，于人于己都有益處。 14教師參與研究的程度 漢森（漢森（Henson, 1996）

16、曾將教師參與研究的程度分為三級）曾將教師參與研究的程度分為三級：1. 第一級為第一級為“協助者協助者”（helper）的角色，即僅提供）的角色，即僅提供教室與學生給外來的研究者使用；教室與學生給外來的研究者使用；2. 第二級為第二級為“初級研究者初級研究者”（junior partner）的角色）的角色，即雖共同參與研究，但并不參與任何研究上的決策，即雖共同參與研究，但并不參與任何研究上的決策；3. 第三級為第三級為“實質研究者實質研究者”（researcher）的角色，即）的角色，即不論單獨進行或與他人合作研究，皆處于主導研究的不論單獨進行或與他人合作研究，皆處于主導研究的地位。地位。研究表

17、明，唯有位于第三級的教師，才能確實利用研究來改研究表明，唯有位于第三級的教師，才能確實利用研究來改進自身的教學。進自身的教學。 15提綱I.前言前言II. 范希爾的幾何思維水平范希爾的幾何思維水平III. 克魯切茨基的數學能力心理學克魯切茨基的數學能力心理學IV. 韜爾的高等數學思維研究韜爾的高等數學思維研究V. 安德森的安德森的ACT-R理論理論VI. 杜賓斯基的杜賓斯基的APOS理論理論16I. 前言呼喚數學領域自身的學習理論！呼喚數學領域自身的學習理論！教育心理學教育心理學教學心理學教學心理學教與學心理學教與學心理學學與教心理學學與教心理學學習理論學習理論17理論的意義1. 支持預測；支

18、持預測；2. 為研究提供框架；為研究提供框架；3. 具有解釋的能力；具有解釋的能力；4. 能夠應用于廣泛的現象；能夠應用于廣泛的現象；5. 有助于組織對復雜的相關現象的思考；有助于組織對復雜的相關現象的思考；6. 作為數據分析的工具；作為數據分析的工具；7. 提供一種深層次的交流觀點的語言。提供一種深層次的交流觀點的語言。18數學學習領域的理論建構兩條途徑：兩條途徑：第一條途徑是第一條途徑是“一般學習理論一般學習理論 + 數學例子數學例子”，也，也就是將一般的學習原理應用于具體的數學學習情就是將一般的學習原理應用于具體的數學學習情境，然后根據數學學習的特點修正原來的理論，境，然后根據數學學習的

19、特點修正原來的理論，或者提出新的假設去尋找更合適的理論依據。或者提出新的假設去尋找更合適的理論依據。1. 另外一條途徑則另外一條途徑則源自數學學習中的問題與經驗源自數學學習中的問題與經驗, 通通過建立模型去解釋數學學習的心理過程過建立模型去解釋數學學習的心理過程。這一類。這一類研究人員通常是數學專業出生，對數學有較為深研究人員通常是數學專業出生，對數學有較為深入的理解，但在教育學和心理學的理論功底上有入的理解，但在教育學和心理學的理論功底上有所欠缺，其研究的重點主要在于大學生和中學生所欠缺，其研究的重點主要在于大學生和中學生的數學學習。相比之下，心理學界對數學學習的的數學學習。相比之下，心理學

20、界對數學學習的討論主要集中在小學階段。討論主要集中在小學階段。 19學習理論研究的趨勢：走進課堂 三十年前三十年前, 教育工作者們很少關注認知科學教育工作者們很少關注認知科學家的工作家的工作, 在認知科學研究的初期在認知科學研究的初期, 研究者們的工研究者們的工作是遠離課堂的作是遠離課堂的. 今天今天, 認知研究者們更多的是與認知研究者們更多的是與教師合作教師合作, 在真實的課堂情景中檢驗和改進他們在真實的課堂情景中檢驗和改進他們的理論的理論, 因為在教室里因為在教室里, 他們才能看到不同的課堂他們才能看到不同的課堂情境和不同的課堂交往是如何影響他們的理論在情境和不同的課堂交往是如何影響他們的

21、理論在課堂中的應用課堂中的應用. 摘自摘自人是如何學習的人是如何學習的20II. 范希爾的幾何思維水平21起因在在50年代的荷蘭，幾何教學所面臨的問題年代的荷蘭，幾何教學所面臨的問題是很普遍的（是很普遍的（Freudenthal, 1958）。范希爾夫）。范希爾夫婦（婦（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作為）作為荷蘭一所中學的數學教師，每天都親身經歷著荷蘭一所中學的數學教師，每天都親身經歷著這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現這些問題。最讓他們感到困惑的是教材所呈現的問題或作業所需要的語言及專業知識常常超的問題或作業所需要的語言及專業知識常常超出

22、了學生的思維水平，這使得他們開始關注皮出了學生的思維水平，這使得他們開始關注皮亞杰的工作。經過一段時間的研究，他們提出亞杰的工作。經過一段時間的研究，他們提出了幾何思維的五個水平。這一成果最初發表在了幾何思維的五個水平。這一成果最初發表在他們夫婦于他們夫婦于1957年在烏特勒克大學共同完成的年在烏特勒克大學共同完成的的博士論文上。的博士論文上。 22評價前蘇聯學者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文前蘇聯學者很快就注意到了范希爾的思想，他的論文（1959）在）在1963年就由皮什卡羅（年就由皮什卡羅（A. M. Pyshkalo）作了）作了詳盡的報道。詳盡的報道。10年之后，美國人才開始了解范

23、希爾的工作。年之后，美國人才開始了解范希爾的工作。在在1974年召開的大西洋城年召開的大西洋城NCTM年會上，芝加哥大學的威茲年會上，芝加哥大學的威茲普（普（Isaak Wirszup）將范希爾的思想正式介紹給了美國學）將范希爾的思想正式介紹給了美國學者，并同時介紹了前蘇聯幾何教學的者，并同時介紹了前蘇聯幾何教學的“驚人進展驚人進展”。威茲普。威茲普的報告后來以的報告后來以“幾何教學心理學中的一個重大突破幾何教學心理學中的一個重大突破”為標題為標題發表在發表在Martin 和和Bradbard主編的著作上（主編的著作上（Wirszup，1976）。）。 與此與此同時，弗賴登塔爾也提供了思維水平

24、在數學歸納同時，弗賴登塔爾也提供了思維水平在數學歸納法學習中的范例。他發現，數學歸納實際上也是沿著五個思法學習中的范例。他發現，數學歸納實際上也是沿著五個思維水平發展的（維水平發展的（Freudenthal, 1973, p123）。所有這一些）。所有這一些，使范希爾理論，使范希爾理論引起了全世界的廣泛關注，并成為上世紀引起了全世界的廣泛關注，并成為上世紀80年代幾何教學研究的一個熱點。年代幾何教學研究的一個熱點。 23水平的劃分層次層次0視覺視覺 ( visuality) 層次層次1分析分析(analysis) 層次層次2非形式化的演繹非形式化的演繹 (informal deduction)

25、 層次層次3形式的演繹形式的演繹 (formal deduction) 層次層次4嚴密性嚴密性( rigior ) 24層次0視覺 ( visuality) 兒童能通過整體輪廓辨認圖形，并能操作其幾何構圖元素（如邊、角）；能畫圖或仿畫圖形，使用標準或不標準名稱描述幾何圖形；能根據對形狀的操作解決幾何問題，但無法使用圖形之特征或要素名稱分析圖形，也無法對圖形做概括的論述. 如：兒童可能會某個圖形是三角形，因為它看起像一個三明治。25層次1分析(analysis) 兒童能分析圖形的組成要素及特征，并依此建立圖形的特性，利用這些特性解決幾何問題，但無法解釋性質間的關系，也無法了解圖形的定義；能根據組

26、成要素比較兩個形體，利用某一性質做圖形分類，但無法解釋圖形某些性質之間的關聯，也無法導出公式和使用正式的定義。如：兒童會知道三角形有三條邊和三個角，但能解如果內角愈大，則對邊愈長的性質。26層次2非形式化的演繹 (informal deduction) 兒童能建立圖形及圖形性質之間的關系，可以提出非形式化的推論，了解建構圖形的要素，能進一步探求圖形的內在屬性和其包含關系，使用公式與定義及發現的性質做演繹推論。但不能了解證明與定理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立證明結果的成立，也未能建立定理網絡之間的內在關系。如：學生解了等腰三角形的性質后，他們會推出等腰直角三角形同時也是直角三角形的一種，因

27、為等腰直角三角形較直角三角形多一些性質的限制。因此，學童能作一些非正式的說明但還能作系統性的證明.27層次3形式的演繹 學生可以了解到證明的重要性和了解“不定義元素”、“定理”和“公理”的意義，確信幾何定理是需要形式邏輯推演才能建立的，理解解決幾何問題必須具備充分或必要條件；能猜測并嘗試用演繹方式證實其猜測，能夠以邏輯推理解釋幾何學中的公里、定義、定理等，也能推理出新的定理，建立定理間的關系網絡，能比較一個定理的不同證明方式；能理解證明中的必要與充分條件，例如至少有一個邊對應相等或至少一個角對應相等是證明兩個三角形全等的必要條件，兩角夾邊對應相等則是兩三角形全等的充分條件；能寫出一定理的逆定理

28、，如平行四邊形的對角線互相平分，其逆定理是對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。 28層次4嚴密性 在這個層次能在不同的公理系統下嚴謹地建立定理以分析比較不同的幾何系統，如歐氏幾何與非歐氏幾何系統的比較。29水平的修正（Van Hiele，1986） 1. 直觀水平（visual level）整體地認識幾何對象。Fuys, geddes, Lovett和Tischler（1988）認為這一階段是“學習者依據幾何圖形的外表來認識，命名，比較，和畫出這些圖形的時候，像三角形，角度，平行線”。2. 描述水平（descriptive level）通過幾何性質認識幾何對象。在這一階段學生按照圖形的組成部分

29、和這些組成部分之間的聯系來分析圖形。學生依據經驗確立圖形的性質和使用這些性質解決問題。3. 理論水平（theoretical level）利用演繹推理證明幾何關系。在描述階段中由Murray（1997）提出的概念網絡圖在這一階段完整和穩定了。學生理解和接受了準確的定義，學生談論形狀時涉及到這些定義，學生理解圖形內部和圖形之間的聯系。這一階段學生能夠運用“如果那么”思想，并由此發展邏輯推理能力。 30SOLO理論 SOLO是“學習結果的結構性觀察”（Structure Of the Observed Learning Outcome）的縮寫，由澳大利亞學者Collis和Biggs（1982）所創

30、，SOLO分類法的理論基礎是結構主義學說和皮亞杰認知發展階段理論 31SOLO水平分類 SOLO層次規則描述前結構學生無法解決問題或只會重復問題。學生不能理解要點。單結構學生注意到了問題的一個相關特征，但事實或觀點之間沒有聯系。理解是有名無實的。多元結構 學生找到了許多獨立的相關特征，但還無法將他們有機聯系起來。關聯結構 整合各部分內容使其成為一個有機整體。擴展抽象 學生會歸納問題或重新概念化到更高的抽象層次32范希爾理論與SOLO理論的比較SOLO 分類與范希爾理論在許多方面是相似的，如兩者都為教師提供了一種評價學生推理的途徑；兩者都可以作為一種教學的框架；在各級水平（特別是最高水平和最低水

31、平）上學生的反應指標有些類似；等。但兩者之間的區別也是存在的，如SOLO系統側重于評價學生的學習結果，而范希爾的目標則是學生個體的能力變化（Jurdak，1989，p.156）；SOLO分類可以應用于所有的學科，而范希爾一般只適用于幾何課程；SOLO系統除了五個結構層次外，還給出了不同層次之間的“過渡水平”，目的是幫助學生從一個層次向另一個層次過渡，而范希爾的教學階段則聚焦于每個層次上的教學設計 33幾何思維水平的評估 范希爾理論在幾何評價上的應用主要包括相關的兩個方面：一是在每個思維水平上設計出相應的測試題；二是利用編制好的測試題考查學生的范希爾思維水平。 在這方面的工作中，第一個，也是最經

32、典的一項研究是芝加哥大學的一個題為“中學幾何課上學生認知的發展和成就”的研究課題。這項研究的目的是確定學生的認知發展階段以及學生在一個數學基礎知識測驗上的成績對他們掌握幾何概念和證明的影響（Usiskin，1982）。這項課題的對象包括了六個州的學習高中幾何課程的近2900名學生。34Usiskin得到的初步的研究結果 1. 以紙筆測驗進施測，有8的初初中生可達到van Hiele 層次3之上。2. 范希爾幾何思考層次和幾何測驗分數間有顯著的相關。3. 部分學生的解答介于兩個水平之間，難以指派到某一層次。4. 完成中學幾何課程后，仍有40學生的幾何發展仍在層次3以下。5. 范希爾層次在性別間有

33、差異現象。6. 利用van Hiele 幾何思考層次可預測學生在標準幾何學習上會遇到困難35III. 中小學生數學能力心理學36簡介前蘇聯心理學家克魯切茨基從前蘇聯心理學家克魯切茨基從50年代末開始年代末開始就對中小學生數學能力進行了長達十二年的研究就對中小學生數學能力進行了長達十二年的研究. 他運用深度訪談、問卷調查、跟蹤分析、出聲思維他運用深度訪談、問卷調查、跟蹤分析、出聲思維等質的研究方法，分析了不同能力的學生解題時的等質的研究方法，分析了不同能力的學生解題時的心里特性，以及數學能力組成成分中的類型、年齡心里特性，以及數學能力組成成分中的類型、年齡、性別差異以及數學能力與個性的關系。這些

34、研究、性別差異以及數學能力與個性的關系。這些研究成果集中反映在其著作成果集中反映在其著作中小學生數學能力心理學中小學生數學能力心理學中。這本書的俄文版在中。這本書的俄文版在1968年出版后，于年出版后，于1976年被基爾帕特里克等人翻譯成英文版（年被基爾帕特里克等人翻譯成英文版（Krutetskii, 1976）。分別于）。分別于1983、1984和和1993年由我國上海年由我國上海教育出版社、教育科學出版社和九章出版社出版的教育出版社、教育科學出版社和九章出版社出版的中譯本均譯自這本英文版。中譯本均譯自這本英文版。 37評價“可以毫不夸張地說，這本書對從事數學教育可以毫不夸張地說，這本書對從

35、事數學教育的人來說，和皮亞杰的著作有同樣的影響力。正像的人來說，和皮亞杰的著作有同樣的影響力。正像皮亞杰的實驗題目曾為教師和研究人員所改編和使皮亞杰的實驗題目曾為教師和研究人員所改編和使用一樣，克魯切茨基的實驗題目更接近于學校的數用一樣，克魯切茨基的實驗題目更接近于學校的數學課程，因而同樣地能為教師和研究人員加以改編學課程，因而同樣地能為教師和研究人員加以改編和使用；正如皮亞杰關于智力發展的概念曾使教育和使用；正如皮亞杰關于智力發展的概念曾使教育工作者認識到不同年齡兒童思維上的差異一樣，克工作者認識到不同年齡兒童思維上的差異一樣，克魯切茨基關于數學能力結構的概念，能使他們認識魯切茨基關于數學能

36、力結構的概念，能使他們認識到能力的不同組成和它們是怎樣在共同起作用的；到能力的不同組成和它們是怎樣在共同起作用的；正如皮亞杰曾經擴大了我們關于什么是恰當的研究正如皮亞杰曾經擴大了我們關于什么是恰當的研究方法一樣，克魯切茨基則更進一步擴展了這個概念方法一樣，克魯切茨基則更進一步擴展了這個概念?！被鶢柵撂乩锟嘶鶢柵撂乩锟?38三個基本問題 1. 數學能力特殊性問題數學能力特殊性問題。數學能力本身是作為一種特殊形。數學能力本身是作為一種特殊形式存在，與一般智力范疇不同呢，還是數學能力是一般式存在，與一般智力范疇不同呢，還是數學能力是一般心理過程和人格品質的特殊化呢？也就是說，一般智力心理過程和人格品

37、質的特殊化呢？也就是說，一般智力是與數學能力一起發展的嗎？換句話說，人們能說數學是與數學能力一起發展的嗎？換句話說，人們能說數學能力不外是一般智力加上對數學的興趣和學習數學的傾能力不外是一般智力加上對數學的興趣和學習數學的傾向性嗎？向性嗎？2. 數學能力的結構性問題數學能力的結構性問題。數學稟賦是單一性的（單獨的。數學稟賦是單一性的（單獨的、不可再分的）還是綜合性的（復雜的）？如果是綜合、不可再分的）還是綜合性的（復雜的）？如果是綜合性的，人們就可追問關于數學能力的結構問題，也就是性的，人們就可追問關于數學能力的結構問題，也就是復雜心理形式的組成成分問題。復雜心理形式的組成成分問題。3. 數學

38、能力的類型差異問題數學能力的類型差異問題。是否存在著不同類型的數學。是否存在著不同類型的數學秉賦或者有一個主要成分而只是在對某些數學分支的興秉賦或者有一個主要成分而只是在對某些數學分支的興趣和傾向上出現差別？趣和傾向上出現差別？39（一）能力結構40兩類數學能力1. 作為創造性（科學）的能力作為創造性（科學）的能力在數學科學在數學科學活動中的能力。這種能力產生對人類有意義活動中的能力。這種能力產生對人類有意義的新成果與新成就。這是在社會上有價值的的新成果與新成就。這是在社會上有價值的成品。成品。2. 作為學校的能力作為學校的能力在學習（學會、掌握）在學習（學會、掌握）數學（在這種情況下是學校的

39、數學課程）上數學（在這種情況下是學校的數學課程）上的能力，迅速而成功地掌握適當知識和技能的能力，迅速而成功地掌握適當知識和技能的能力。的能力。41中小學生數學能力結構 1. 獲得數學信息獲得數學信息 A. 對于數學材料形式化感知的能力；對問題形式結構的掌握能對于數學材料形式化感知的能力；對問題形式結構的掌握能力。力。2. 數學信息加工數學信息加工A. 在數量和空間關系，數字和字母符號方面的邏輯思維能力；在數量和空間關系，數字和字母符號方面的邏輯思維能力；對數學符號進行思維的能力。對數學符號進行思維的能力。B. 迅速而廣泛地概括數學對象、關系和運算的能力。迅速而廣泛地概括數學對象、關系和運算的能

40、力。C. 縮短數學推理過程和相應的運算系統的能力；以簡短的結構縮短數學推理過程和相應的運算系統的能力；以簡短的結構進行思維的能力。進行思維的能力。D. 在數學活動中心理過程的靈活性。在數學活動中心理過程的靈活性。E. 力求解答的清晰、簡明、經濟與合理。力求解答的清晰、簡明、經濟與合理。F. 迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉向另一個相迅速而自如地重建心理過程的方向、從一個思路轉向另一個相反思路的能力（數學推理中心理過程的可逆性）。反思路的能力（數學推理中心理過程的可逆性）。3. 數學信息保持數學信息保持A. 數學的記憶（關于數學關系，類型特征，論據和證明的圖式數學的記憶（關于數學關系

41、，類型特征，論據和證明的圖式，解題方法及探討原則的概括性記憶）。，解題方法及探討原則的概括性記憶）。4. 一般綜合性組成成分一般綜合性組成成分 A. 數學氣質。數學氣質。42數學稟賦結構中非必要成分 1. 以時間為特征的心理過程的敏捷性。數學家可以慢慢地思考，但是卻想得非常透徹和深刻。2. 計算能力。法國著名數學家龐卡萊說，他自己即使做加法也要出錯誤。3. 對符號、數字和公式的記憶。正如科爾莫戈羅夫指出的那樣，許多著名數學家在這方面的記憶并不突出。4. 關于空間概念的能力；5. 對抽象數學關系和相依關系形象化的能力。43（二）研究中小學生數學能力的實驗題體系普通測驗普通測驗：考查學生知道什么和

42、會什么。考查學生知道什么和會什么。能力測驗能力測驗：考查學生解題的容易程度和迅速程考查學生解題的容易程度和迅速程度度44選擇實驗題的依據 1. 選用的實驗題目或是不需要特殊的知識、技能或習選用的實驗題目或是不需要特殊的知識、技能或習慣就可以解決的，或是它所需要的知識對全體學生慣就可以解決的，或是它所需要的知識對全體學生來說都是具備的。來說都是具備的。2. 實驗題目對學生來說是新的，所用的材料也是他們實驗題目對學生來說是新的，所用的材料也是他們不熟悉的，因此，也就大大減弱了過去經驗的影響不熟悉的，因此，也就大大減弱了過去經驗的影響。3. 如果他們的材料是新近學過的，那么就使我們有可如果他們的材料

43、是新近學過的，那么就使我們有可能去探索學生掌握新技能的特點（解答相應類似題能去探索學生掌握新技能的特點（解答相應類似題目的技能）。目的技能）。4. 我們運用了一些具有數學創造性成分的題目我們運用了一些具有數學創造性成分的題目非非常規的題目。常規的題目。45系列1：沒有提出問題的題目考查目的考查目的：本系列題目中，既沒有直接提出問題，：本系列題目中，既沒有直接提出問題，也沒有間接提出問題，但題中所給的數量關系可以也沒有間接提出問題，但題中所給的數量關系可以合乎邏輯地引申出問題。目的是弄清學生是否能提合乎邏輯地引申出問題。目的是弄清學生是否能提出問題，是否能發現題目中已知關系的邏輯依從性出問題，是

44、否能發現題目中已知關系的邏輯依從性，是否能理解這些關系的本質，以此來考查學生對，是否能理解這些關系的本質，以此來考查學生對數學題的心理知覺的某些特征。數學題的心理知覺的某些特征?？疾榉椒疾榉椒ǎ河伤阈g、代數、幾何三套測驗組成，學：由算術、代數、幾何三套測驗組成，學生拿到一張帶題目的卡片之后就立即閱讀并立即提生拿到一張帶題目的卡片之后就立即閱讀并立即提出問題。主試要弄清被試的整個推理過程，并記下出問題。主試要弄清被試的整個推理過程，并記下測驗所用的時間。測驗所用的時間。46系列2：信息不完全的題目考查目的考查目的：本系列題目中有些信息缺少了，看：本系列題目中有些信息缺少了，看起來對所提的問題似

45、乎不可能有正確答案，而起來對所提的問題似乎不可能有正確答案，而當補充了信息以后，就能得到正確的答案。目當補充了信息以后，就能得到正確的答案。目的是弄清學生能否指出解題必需具備的條件，的是弄清學生能否指出解題必需具備的條件，并注意到丟失的信息，以此考查學生能否看出并注意到丟失的信息，以此考查學生能否看出題目的形式結構。題目的形式結構?？疾榉椒疾榉椒ǎ河伤阈g和幾何兩套測驗組成，當學：由算術和幾何兩套測驗組成，當學生肯定地回答不能解決問題時，要求他說明原生肯定地回答不能解決問題時，要求他說明原因，并補上丟失的信息。因，并補上丟失的信息。47系列3：有多余信息的題目考查目的考查目的：本系列題目中插進

46、了附加的、不必：本系列題目中插進了附加的、不必要的信息，或者沒有用的提示，以掩蓋解題所要的信息，或者沒有用的提示，以掩蓋解題所需要的論據，目的是弄清學生能否辨別解題所需要的論據，目的是弄清學生能否辨別解題所需要的條件體系，以揭示他們頭腦中理解數學需要的條件體系，以揭示他們頭腦中理解數學題的一些特點。題的一些特點。考查方法考查方法：一般用兩組題：一般用兩組題：“總是缺少必要的總是缺少必要的條件條件”“”“都有多余的事實都有多余的事實”同時進行，可在學同時進行，可在學生學習了典型例題的一課、一周或一月之后進生學習了典型例題的一課、一周或一月之后進行，用以考查學生是否記住了：行，用以考查學生是否記住

47、了：1）題目的類）題目的類型；型；2）特殊的事實；）特殊的事實；3）多余的信息。）多余的信息。48系列4：具有互相滲透因素的題目 考查目的考查目的：研究學生分析：研究學生分析綜合知覺幾何圖綜合知覺幾何圖形的一些因素，特別是從不同觀點辨別和確形的一些因素，特別是從不同觀點辨別和確定幾何圖形滲透成分的技能，從背景中區分定幾何圖形滲透成分的技能，從背景中區分出圖形和圖形成分的技能，把一個成分包含出圖形和圖形成分的技能，把一個成分包含在不同圖形中，并給予恰當的不同解釋的技在不同圖形中，并給予恰當的不同解釋的技能。能?？疾榉椒疾榉椒ǎ褐饕獛缀螠y驗，其圖形中有些要：主要幾何測驗，其圖形中有些要素是素是“

48、互相滲透的互相滲透的”，如看出棋盤中有多少，如看出棋盤中有多少個長方形。個長方形。 49系列5：單一類型的題目體系考查目的考查目的：通過學生怎樣從不同的題目中看出一般的類：通過學生怎樣從不同的題目中看出一般的類型、如何從解決同一類型簡單的題目到解決復雜的題目型、如何從解決同一類型簡單的題目到解決復雜的題目、以及他們怎樣從外表類似的另一類型的題目中區分出、以及他們怎樣從外表類似的另一類型的題目中區分出這一類型的題目，來考查他們的概括能力。并通過分析這一類型的題目，來考查他們的概括能力。并通過分析學生連續解一個類型的問題時的推理過程，來判斷他們學生連續解一個類型的問題時的推理過程，來判斷他們“縮短

49、縮短”推理的能力。推理的能力?？疾榉椒疾榉椒ǎ簩Σ煌瑢哟蔚膶W生用兩組不同難度的測驗，：對不同層次的學生用兩組不同難度的測驗，每組測驗由每組測驗由8道題，由易到難體現了一個類型從容易到道題，由易到難體現了一個類型從容易到復雜的復雜的“階梯式階梯式”。測試時，先做第。測試時，先做第8題，不行就做第題，不行就做第1題，然后再做第題，然后再做第8題，不行再做第題，不行再做第2題，如此下去，只題，如此下去，只要求學生回答解題的思路，而不必完整解題。要求學生回答解題的思路，而不必完整解題。50其它系列目目形象與語言邏輯成分之間形象與語言邏輯成分之間關關系的題目系的題目51（三）能力差異克魯切茨基堅決主張

50、有所謂克魯切茨基堅決主張有所謂“有數學頭腦有數學頭腦”即即傾向于以數學方式來解釋世界的人。在數學稟賦好的學生傾向于以數學方式來解釋世界的人。在數學稟賦好的學生身上可以清楚地看到這一點。他還提到，這種傾向甚至在身上可以清楚地看到這一點。他還提到，這種傾向甚至在人一生下來就可能有所表現。他區分出三種數學頭腦的基人一生下來就可能有所表現。他區分出三種數學頭腦的基本類型：分析型（傾向以言語本類型：分析型（傾向以言語邏輯的關系來思考）、邏輯的關系來思考）、幾何型（傾向以視覺幾何型（傾向以視覺形象的關系來思考）和調和型（形象的關系來思考）和調和型（兼具前兩種類型的特征）。兼具前兩種類型的特征）。 “能力問

51、題也就是個別差異問題。如果每個人在各能力問題也就是個別差異問題。如果每個人在各方面的發展和在從事任何活動上都有同樣的能力，那么討方面的發展和在從事任何活動上都有同樣的能力，那么討論能力問題也就沒有意義了。我們談論能力問題，就等于論能力問題也就沒有意義了。我們談論能力問題，就等于預先假定了人們之間有某些個別差異。沒有一個人在任何預先假定了人們之間有某些個別差異。沒有一個人在任何事情上都是無能的，每個人都有最適宜從事某種活動的能事情上都是無能的，每個人都有最適宜從事某種活動的能力，不過，同是從事一樣的工作，也有能力水平上的差異力，不過，同是從事一樣的工作，也有能力水平上的差異?！?（克魯切茨基，克

52、魯切茨基，1984）521. 天才兒童的個案研究53個案1：索尼婭（2年級，1950年生于莫斯科，小傳完成于1958-1959年） 她有一個她有一個7年級的哥哥，發育正常，沒有表現出數學年級的哥哥，發育正常，沒有表現出數學才能，她的近親中只有外祖母據說酷愛數學，但無據可查。才能，她的近親中只有外祖母據說酷愛數學，但無據可查。索尼婭個子矮小，動作緩慢，講話從容（甚至是慢吞索尼婭個子矮小，動作緩慢，講話從容（甚至是慢吞吞地），情感表達較差；除了算術成績優良外，其它各門功吞地），情感表達較差；除了算術成績優良外，其它各門功課學習正常，成績一般。寫作很差，閱讀也不流暢，不大喜課學習正常，成績一般。寫作

53、很差，閱讀也不流暢，不大喜歡做作業。她有高度集中的能力。當她思想集中時，她不能歡做作業。她有高度集中的能力。當她思想集中時，她不能安靜地坐著，而是走來走去，坐立不安，有時甚至會做出各安靜地坐著，而是走來走去，坐立不安，有時甚至會做出各種反常的動作。有一次，她竟在解答一道難題時，突然站起種反常的動作。有一次，她竟在解答一道難題時，突然站起來跑到床上，像演員表演似地翻了一個筋斗又回來坐到椅子來跑到床上，像演員表演似地翻了一個筋斗又回來坐到椅子上。但當她從事過于簡單的事情時，會明顯地表現出心不在上。但當她從事過于簡單的事情時，會明顯地表現出心不在焉。這就是為什么她常常焉。這就是為什么她常常10以內的

54、加法做錯的原因。以內的加法做錯的原因。在實驗中，她用在實驗中，她用60節課就學完了節課就學完了5-7年級的全部數學課程年級的全部數學課程。15歲時成為莫斯科大學數學力學系的學生歲時成為莫斯科大學數學力學系的學生 54心理特點推理和心理定向敏捷推理和心理定向敏捷。這是索尼婭最顯著的特。這是索尼婭最顯著的特征之一。通常她能以驚人的速度找到她所能理征之一。通常她能以驚人的速度找到她所能理解的一種解題方案?？梢哉f，她對數學材料有解的一種解題方案?？梢哉f，她對數學材料有一種獨特的分析和綜合的一種獨特的分析和綜合的“眼力眼力”，她能立刻，她能立刻找到一個解題方法或看出證明的邏輯。找到一個解題方法或看出證明

55、的邏輯。55心理特點（續）邏輯推理，有系統、有順序的思考力邏輯推理，有系統、有順序的思考力。這也是。這也是索尼婭最顯著的特征之一。她對定理的意義、索尼婭最顯著的特征之一。她對定理的意義、求證的含義都理解得相當透徹。她能很容易地求證的含義都理解得相當透徹。她能很容易地從前提得出結論，但并不簡單地相信它。她在從前提得出結論，但并不簡單地相信它。她在論證上邏輯嚴密，且有說服力。她解答數學題論證上邏輯嚴密，且有說服力。她解答數學題都毫無例外地經過邏輯上的驗證。都毫無例外地經過邏輯上的驗證。56解題分析1問題問題：一個牧人對另一個牧人說：一個牧人對另一個牧人說：“你給我你給我8只只羊，我們兩人的羊數就相

56、等了羊，我們兩人的羊數就相等了”。另一個牧人回。另一個牧人回答說：答說：“不，你給我不，你給我8只羊，我的羊就成了你的只羊，我的羊就成了你的兩倍。兩倍。”57索尼婭的解答“假如一個牧人給另一個牧人假如一個牧人給另一個牧人8只羊，他們兩只羊，他們兩個人的羊數就一樣多，就是說，兩者的差數個人的羊數就一樣多，就是說，兩者的差數是是16只羊。另一方面，如果另一個人拿出了只羊。另一方面，如果另一個人拿出了8只，他們的差數就成了只，他們的差數就成了32只，這樣可以知只，這樣可以知道，一個人比另一個人多兩倍，或者說多道，一個人比另一個人多兩倍，或者說多32只，就是說他們的羊數是只，就是說他們的羊數是32和和

57、64。他們交。他們交換之前的羊數是換之前的羊數是40和和56?！彼挥昧怂挥昧?0秒秒。58解題分析2例例2：索尼婭證明了三角形的內角和等于平角之后，應實：索尼婭證明了三角形的內角和等于平角之后，應實驗者的要求，很容易地又證明了四邊形的內角之和等于兩驗者的要求，很容易地又證明了四邊形的內角之和等于兩個平角，及五邊形的內角和等于個平角，及五邊形的內角和等于3個平角并畫了圖（圖個平角并畫了圖（圖1）。然后，她想了想說：。然后，她想了想說：“任何多邊形都是如此：三角形的任何多邊形都是如此：三角形的數目永遠比邊的數目少數目永遠比邊的數目少2。所以，要求內角和，就必須從。所以，要求內角和，就必須從邊數

58、中減邊數中減2，再乘以，再乘以2d?！?2d2d2d2d2d59心理特點（續）思維的靈活性思維的靈活性。索尼婭不受陳腐思想的束縛。索尼婭不受陳腐思想的束縛和一般解題方法的限制，她能很容易地從一和一般解題方法的限制，她能很容易地從一種心理運算轉為另一種運算，從一種解題方種心理運算轉為另一種運算，從一種解題方法轉為另一種解題方法，而且通常能找出多法轉為另一種解題方法，而且通常能找出多種解法。種解法。 60解題分析3例例3：小雞和兔子在外面跑，一共有：小雞和兔子在外面跑，一共有35個頭，個頭，94只只腳，問雞兔各有多少？腳，問雞兔各有多少？索尼婭的解答是索尼婭的解答是：“如果全部是如果全部是35個頭

59、，那么雞個頭，那么雞兔總共有兔總共有35只。假如全是小雞，就有只。假如全是小雞，就有70只腳，就只腳，就是說另外多出了是說另外多出了24只腳。因為在院子里跑的除了只腳。因為在院子里跑的除了小雞外，還有兔子，每只兔子比小雞多兩只腳，小雞外，還有兔子，每只兔子比小雞多兩只腳，這意味著有這意味著有12只兔子和只兔子和23只小雞。還可以這樣做只小雞。還可以這樣做：一共有：一共有94只腳，假如全是小雞，就有只腳，假如全是小雞，就有47只，但只，但總共只有總共只有35個頭個頭少了少了12個頭。這個頭。這12個頭，每個頭，每頭應有頭應有4只腳而不是只腳而不是2只腳。所以是只腳。所以是12只兔子和只兔子和23

60、只小雞。只小雞。” 61心理特點（續）能自如地從正面的思維進程轉到反面的思維進程。能自如地從正面的思維進程轉到反面的思維進程。解答問題時推理的迅速簡略和解答問題時推理的迅速簡略和“壓縮壓縮”的傾向。的傾向。“節約思考節約思考”的明顯傾向的明顯傾向。索尼婭的一個顯著特點。索尼婭的一個顯著特點是，力求找出一種最簡便的解題方法，解答力求簡是，力求找出一種最簡便的解題方法，解答力求簡單、明了。單、明了。對數學材料的迅速而牢固的記憶對數學材料的迅速而牢固的記憶。雖然她對具體材。雖然她對具體材料和數只有在解題的時候才記住，但對求證的基本料和數只有在解題的時候才記住，但對求證的基本過程、題目的類型和解題原則以及推理