1、第八節概率與統計的綜合問題最新考綱能從研究對象中獲取數據，會用數學方法對數據進行整理、分 析和推斷，構建模型等.考點1離散型隨機變量的均值與方差離散型隨機變量的均值和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機變量的分布是特殊類型，還是一股類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于 特殊類型的均值和方差可以直接代入相應公式求解，而對于一般類型的隨機變量，應先求其分布列然后代入相應公式計算，注意離散型隨機變量的取值與概率(2019廣州一模)某商場以分期付款方式銷售某商品，根據以往資料統計，顧客購買該商品選擇分期付款的期數 己的分布列為234P0.4ab其中 0<

2、a<1,0< b< 1.(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率；(2)商場銷售一件該商品，若顧客選擇分2期付款，則商場獲得的利潤為200 元；若顧客選擇分3期付款，則商場獲得的利潤為250元；若顧客選擇分4期付 款，則商場獲得的利潤為 300元.商場銷售兩件該商品所獲得的利潤記為 X(單 位：元).求X的分布列；若P(X<500)>0.8,求X的數學期望EX的最大值.解(1)設購買該商品的3位顧客中，選擇分2期付款的人數為刀，依題意得 “B(3,0.4),則 P(尸 2) = C3(0.4)2 X (1 0.4) = 0.288,購買該商品的

3、3位顧客中，恰有2位選擇分2期付款的概率為0.288.(2)依題意X的取值分別為400,450,500,550,600P(X = 400) = 0.4X0.4= 0.16,P(X=450) = 2 x 0.4a= 0.8a,P(X= 500) = 2 x 0.4b+ a2 = 0.8b+ a2,P(X=550) = 2ab,P(X = 600)=b2，- X的分布列為：X400450500550600P0.160.8a0.8b+ a22abb2P(X0 500)= P(X+ 400)+ P(X= 450)+ P(X= 500)2= 0.16+ 0.8(a+b)+a ,根據 0.4+a+b= 1

4、,得 a+b = 0.6, . . b= 0.6 a,v P(X< 500)>0.8,0.16+ 0.48+ a2>0.8,解彳3a>0.4或a0 0.4,. a>0,a>0.4,. b>0, .0.6 a>0,解得 a<0.6, .aC 0.4,0.6),E(X) =400X 0.16 +450 X 0.8a + 500(0.8b + a2)+ 1 100ab + 600b2 = 520 100a,當a= 0.4時，E(X)的最大值為480,.X的數學期望E(X)的最大值為480.本例融概率、分布列、函數于體，體現了高考命題的最新動向，求

5、解時可先借助分布列的性質及題設條件 “P(XW500)0.8”探求得到參數a的范圍，然后借助數學期望公式建立關于參數a的函數關系式，并通過二次函數求得數學期望 EX的最大值.(2019九江二模)某企業打算處理一批產品，這些產品每箱100件，以箱為單位銷售.已知這批產品中每箱出現 的廢品率只有兩種可能10%或者20%,兩種可能對應的概率均為0.5.假設該產品 正品每件市場價格為100元，廢品不值錢.現處理價格為每箱 8 400元，遇到廢 品不予更換.以一箱產品中正品的價格期望值作為決策依據.(1)在不開箱檢驗的情況下，判斷是否可以購買；現允許開箱，有放回地隨機從一箱中抽取 2件產品進行檢驗.若此

6、箱出現的廢品率為20%,記抽到的廢品數為X,求X的分布列和數學 期望；若已發現在抽取檢驗的2件產品中，其中恰有一件是廢品，判斷是否可以 購買.解(1)在不開箱檢驗的情況下，一箱產品中正品的價格期望值為：E © 100X (1-0.2)X 100X 0.5+ 100X (1 0.1) X 100X 0.5= 8500>8400,在不開箱檢驗的情況下，可以購買.(2)X的可能取值為0,1,2,P(X=0)=C0X0 20X0 82 = 0.64,P(X=1)=C2x0 21X0 81=0.32,P(X = 2)=C2X0 82X0 20 = 0.04,，- X的分布列為：X012P

7、0.640.320.04E(X) = 0X 0.64+ 1 X 0.32 + 2X 0.04= 0.4.設事件A:發現在抽取檢驗的2件產品中，其中恰有一件是廢品，則，、 J 一一 一一 一一 J 一， 一一 一一 一一P(A)= C2x 0.2X0.8X 0.5+c2x 0.1 X 0.9X 0.5= 0.25,一箱產品中，設正品的價格的期望值為“，則“=8 000,9 000,事件B1：抽取的廢品率為20%的一箱，則,P(q= 8000)= P(B1 A)=P AB1C2X0.2X0.8X 0.5P A =025= 0.64，事件B2：抽取的廢品率為10%的一箱，則P AB2 C2X0.1X

8、0.9X0.5P(9000)= P(B2|A) =05= 0.36,E( = 8000X 0.64+ 9000X 0.36= 8360V 8400,已發現在抽取檢驗的2件產品中，其中恰有一件是廢品，不可以購買.參考點2概率與統計的綜合應用概率與統計作為考查考生應用意識的重要載體，已成為近幾年高考的一大亮點和熱點. 它與其他知識融合、滲 透，情境新穎，充分體現了概率與統計的工具性和交匯性. 統計以考查抽樣方法、 樣本的頻率分布、樣本特征數的計算為主，概率以考查概率計算為主，往往和實 際問題相結合，要注意理解實際問題的意義，使之和相應的概率計算對應起來， 只有這樣才能有效地解決問題.從某技術公司開

9、發的某種產品中隨機抽取200件，測量這些產品的一項質量指標值（記為Z）,由測量結果得如下頻率分布直方圖:公司規定：當Z> 95時，產品為正品；當Z<95時，產品為次品.公司每 生產一件這種產品，若是正品，則盈利 90元；若是次品，則虧損30元.記己為 生產一件這種產品的利潤，求隨機變量己的分布列和數學期望；(2)由頻率分布直方圖可以認為，Z服從正態分布N(內(2),其中以近似為樣 本平均數7,(2近似為樣本方差s2(同一組中的數據用該區間的中點值作代表).利用該正態分布，求 P(87.8<Z<112.2);某客戶從該公司購買了 500件這種產品，記X表示這500件產品中

10、該項 質量指標值位于區間(87.8,112.2內的產品件數，利用的結果，求 E(X).附：150=122若 ZN(內(2),貝U P(n MZ< 什 3 = 0.682 7, P(廣2(<Z< 葉2 3 = 0.954 5.解(1)由頻率估計概率，產品為正品的概率為(0.033+ 0.024+0.008 + 0.002)X10=0.67,所以隨機變量己的分布列為90-30P0.670.33所以 E( 9 = 90X0.67+ (30)X0.33=50.4.(2)由頻率分布直方圖知，抽取產品的該項質量指標值的樣本平均數x和樣 本方差s2分別為7 = 70X 0.02+ 80X

11、0.09+ 90X0.22+ 100X 0.33+ 110X 0.24+ 120X 0.08 +130X0.02= 100,s2=( 30)2X 0.02+ (20)2X0.09+ ( 10)2X0.22+ 02X0.33+ 102X0.24 + 202X0.08+302X0.02= 150.因為ZN(100,150),從而 P(87.8<Z<112.2)= P(100 12.2<Z<100+ 12.2)=0.682 7.由知，一件產品中該項質量指標值位于區間(87.8,112.2)內的概率為0.6827,依題意知 XB(500,0.682 7),所以 E(X)= 50

12、0X 0.682 7= 341.35.本題以統計圖表為載體，將正態分布、二項分布、頻率分布直方圖巧妙的融合在一起， 體現了知識的整合性與交匯融合性，搞清這些統計圖表的含義，掌握好樣本特征數的計數方法、 各類概率的計算方法及均值與方差的運算是解決問題的關鍵.經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1 t該產品獲得利潤500元，未售出的產品，每1 t虧損 300元.根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所 示.經銷商為下一個銷售季度購進了 130 t該農產品.以X（單位：t,100wX0150） 表示下一個銷售季度內的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內經銷該

13、農產品的利潤.將T表示為X的函數；（2）根據直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，需 求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率（例如：若需求量XC 100,110）,則取X=105,且X= 105的概率等于需求量落入100,110）的頻率）, 求T的均值.解當 xe 100,130)時，T=500X 300(130 X)=800X 39 000.當 XC 130,150時,T=500X 130=65 000.800X- 39 000, 100< X<130,所以T=65 000, 130< X&

14、lt;150.(2)由知利潤T不少于57 000元當且僅當1200X<150.由直方圖知需求量XC 120,150的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得T的分布列為T45 00053 00061 00065 000P0.10.20.30.4所以 E(T)=45 000X 0.1 + 53 000X 0.2+61 000X 0.3+ 65 000X0.4=59 400.修考點3概率與統計案例的綜合應用概率與統計案例的綜合應用常涉及相互獨立事件同時發生的概率、頻率分布直方圖的識別與應用、數字特征、獨立性檢驗等基礎知識，考查學生

15、的閱讀理解能力、數據處理能力、運算求解能 力及應用意識.（2019武漢二模）某市房管局為了了解該市市民2018年1月至2019年1月期間購買二手房情況，首先隨機抽 樣其中200名購房者，并對其購房面積 m（單位：平方米，60wm0130）進行了一 次調查統計，制成了如圖1所示的頻率分布直方圖，接著調查了該市 2018年1 月至2019年1月期間當月在售二手房均價y（單位：萬元/平方米），制成了如圖2 所示的散點圖（圖中月份代碼113分別對應2018年1月至2019年1月）(1)試估計該市市民的平均購房面積 m ;(2)從該市2018年1月至2019年1月期間所有購買二手房的市民中任取 3 人，

16、用頻率估計概率，記這3人購房面積不低于100平方米的人數為X,求X的 分布列與數學期望；A A A AAA(3)根據散點圖選擇y=a+ b/Xfty = c+dln x兩個模型進行擬合，經過數據處理得到兩個回歸方程，分別為 y = 0.9369+0.0285/X和y= 0.9554+ 0.03061n x,并 得到一些統計量的值，如表所示：y - 0. 936 9 + f-0,955 4 +0. 028 5 &0.030 611n，0.000 5910.000 164f*0,006 050 t=i'請利用相關指數R2判斷哪個模型的擬合效果更好，并用擬合效果更好的模 型預測201

17、9年6月份的二手房購房均價(精確到0.001).參考數據：In 2=0.69, In 3=1.10, In 7=2.83, In 19 = 2.94,也=1.41,仙 = 1.73, 折=4.12, 如=4.36.n,2 yyii =1參考公式：R2 : 1 n解(1)m = 65X 0.05+75X0.1+85X0.2 + 95X0.25+ 105X 0.2+ 115X 0.15 + 125X 0.05= 96.(2)每一位市民購房面積不低于100平方米的概率為0.20+0.15+ 0.05 = 0.4,. X B(3,0.4), .P(X=k) = c3x0 4kx 0 6屋k, (k=0

18、,1,2,3),P(X=0)= 0.63 = 0.216,P(X=1)=C3X0.4X 0 62=0.432,P(X = 2)=C2 X 0 42 X 0.6= 0.288,P(X= 3)=0.43 = 0.064,X0123P0.2160.4320.2880.064 .E(X) = 3X0.4=12(3)設模型 y= 0.936 9+ 0.028 5vx和y= 0.955 4+ 0.030 6ln x 的相關指數w 20.000 591 o0.000 164川 R1 = 1 0.006 05，R2 = 1 0.00 605 '模型y = 0.955 4+ 0.030 6ln x的擬合

19、效果更好,2019年6月份對應的x= 18,二 y= 0.955 4+ 0.030 61n18= 0.955 4+ 0.030 6(ln 2+ 21n 3產 1.044 萬元/平方米.在兩個變量的回歸分析中要注意以下2點(1)求回歸直線方程要充分利用已知數據，合理利用公式減少運算.(2)借助散點圖，觀察兩個變量之間的關系.若不是線性關系，則需要根據 相關知識轉化為線性關系.(2019鐵東區校級三模)一家大型超市委托某機構調查該超市的顧客使用移動支付的情況.調查人員從年齡在20至60的顧客中，隨機抽取了 200人，調查結果如圖：(1)為推廣移動支付，超市準備對使用移動支付的每位顧客贈送1個環保購

20、 物袋.若某日該超市預計有10000人購物，試根據上述數據估計，該超市當天應 準備多少個環保購物袋?填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有99.9%的把握認為使用移動支 付與年齡有關?年齡 40年齡40小計使用移動支1寸不使用移動支1寸小計200(3)現從該超市這200位顧客年齡在55,60的人中，隨機抽取2人，記這兩人中使用移動支付的顧客為X人，求X的分布列.2nadbc2附：k2 -a+b c+ d a+c b+d2、P(K2>k)0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828解(1)根據圖中數據，由頻率估計概率，根據已知可預計該超市顧客使用移

21、動支付的概率為:20+ 25+ 25+15+ 15+ 10+ 8+ 7200=8,所以超市當天應準備的環保購物袋個數為:10 000X 5= 6 250.由知列聯表為:年齡< 40年齡40小計使用移動支1寸8540125不使用移動支1寸106575小計95105200假設移動支付與年齡無關，則K2= _ 2200 85X65 40X10 2125X 75X95X 105= 56.17,56.17> 10.828,所以有99.9%的把握認為使用移動支付與年齡有關.(3)X可能取值為0,1,2,C22 33P(X=0戶 C9= 58,c22c7 11PX：1戶番=29,C23P(X=2

22、)=C19= 58,所以X的分布列為:X012P33581129358課外素養提升數據分析一一數據統計與建模求解數據分析是指針對研究對象獲得相關數據，運用統計方法對數據中的有用信息進行分析和推斷，形成知識的過程.主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型對信息進行分析、推斷，獲得結論.在數據分析核心素養的形成過程中，學生能夠提升數據處理的能力，增強基于數據表達現實問題的意識， 養成 通過數據思考問題的習慣，積極依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗.概率匕頻率分布的綜合應用【例11 （2019濟寧一模）某學校為了了解全校學生的體重情況，從全校學 生中隨機抽取了 100人的體重數據，結

23、果這100人的體重全部介于45公斤到75 公斤之間，現將結果按如下方式分為 6組：第一組45,50）,第二組50,55）,， 第六組70,75）,得到如圖所示的頻率分布直方圖，并發現這 100人中，其體重低 于55公斤的有15人，這15人體重在（40,50）公斤白有2人，50,55）公斤白有13 人，以樣本的頻率作為總體的概率.（1）求頻率分布直方圖中a, b, c的值；（2）從全校學生中隨機抽取3名學生，記X為體重在55,65）的人數，求X的 概率分布列和數學期望；（3）由頻率分布直方圖可以認為，該校學生的體重 士近似服從正態分布N（內 （2）,其中 尸60,（2 = 25若P（廠24葉2（

24、）0.9545,則認為該校學生的體 重是正常的.試判斷該校學生的體重是否正常？并說明理由.解由題知，100名樣本中體重低于50公斤的有2人,2用樣本的頻率估計總體的概率，可得體重低于50公斤的概率為而0=0.02,0.020.004,在50,55)上有13人，該組的頻率為 0.13, WJ b=若 =0.026, 51-2X0.02-2X0.13所以 2c=0.14,即 c= 0.07.5(2)用樣本的頻率估計總體的概率，可知從全體學生中隨機抽取一人，體重在55,65)的概率為0.07X10=0.7,隨機抽取3人，相當于三次獨立重復試驗,隨機變量X服從二項分布B(3,0.7),則 P(X=0)

25、 = C30.700.33 = 0.027,P(X= 1)= C30.710.32=0.189,P(X = 2) = C20.720.31 = 0.441,P(X= 3) = C30.730.30= 0.343,所以，X的概率分布列為：X0123P0.0270.1890.4410.343E(X)=3X 0.7= 2.1.由N(60,25)得戶5由圖(1)知 P* 2 o< & 什2 3=P(50& R 70)=0.96>0.954 5.所以可以認 為該校學生的體重是正常的.評析本題以學生體重情況為背景，設計概率與統計、正態分布的綜合應 用.體現了數學建模(用頻率估計

26、概率、正態分布卜數學運算(求平均數、方差、求概率)、數據分析、邏輯推理(以直方圖中求平均數方差，由正態分布求概率及期望)的學科素養；培養了統計意識，經歷“收集數據一整理數據一分析數據一 作出推斷”的全過程.概率與統計案例的綜合【例2】為了解當代中學生喜歡文科、理科的情況，某中學一課外活動小組在學校高一年級文、理分科時進行了問卷調查，問卷共 100道題，每題1分， 總分100分，該課外活動小組隨機抽取了 200名學生的問卷成績(單位：分)進行 統計，將數據按照0,20), 20,40), 40,60), 60,80), 80,100分成 5 組，繪制的 頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于 60分的稱為“文科意向”學