1、2020-2021中考數學綜合題專題復習【初中數學旋轉】專題解析及答案解析一、旋轉1. (1)發現：如圖1,點A為線段BC外一動點，且 BC= a, AB= b.填空：當點A位于 時，線段AC的長取得最大值，且最大值為 (用含a, b的式子表示)(2)應用：點A為線段BC外一動點，且 BC= 4, AB= 1,如圖2所示，分別以AB, AC為 邊，作等邊三角形 ABD和等邊三角形 ACE,連接CD, BE.請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；直接寫出線段BE長的最大值.拓展：如圖3,在平面直角坐標系中，點A的坐標為(2, 0),點B的坐標為(6, 0),點P為線段AB外一動點，且 PA=

2、2, PM=PB, /BPM = 90。，請直接寫出線段 AM長的最大值 及此時點P的坐標.1圖1)(圖D周可商用到【答案】(1)CB的延長線上，a+b; (2)CD= BE,理由見解析； BE長的最大值為5； (3) 滿足條件的點P坐標(2 - J2 , 72 )或(2 - J2，- J2 ), AM的最大值為2 J2 +4.【解析】【分析】(1)根據點A位于CB的延長線上時，線段 AC的長取得最大值，即可得到結論；(2)根據已知條件易證 CA*EAB,根據全等三角形的性質即可得CD= BE;由于線段BE長的最大值=線段 CD的最大值，根據(1)中的結論即可得到結果；(3)連接BM, 將4A

3、PM繞著點P順時針旋轉90得至iJPBN,連接AN,得到4APN是等腰直角三角形， 根據全等三角形的性質得到 PN=PA= 2, BN= AM,根據當N在線段BA的延長線時，線段 BN取得最大值，即可得到最大值為2J2+4;如圖2,過P作PE x軸于E,根據等腰直角三角形的性質即可求得點 P的坐標.如圖3中，根據對稱性可知當點 P在第四象限時也滿 足條件，由此求得符合條件的點P另一個的坐標.【詳解】(1) ;點A為線段BC外一動點,且 BC= a, AB= b,，當點A位于CB的延長線上時，線段 AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB= a+b,故答案為CB的延長線上，a+b；(2)CD=

4、BE,理由： ABD與 ACE是等邊三角形，AD=AB, AC= AE, Z BAD= Z CAE= 60； / BAD+Z BAC= / CAEZ BAC,即 / CAD= / EAB,AD AB在ACAD與 EAB中，CAD EAB ,AC AE .CA*4EARSAS,.CD= BE；二線段BE長的最大值=線段 CD的最大值，由(1)知，當線段CD的長取得最大值時，點 D在CB的延長線上, .最大值為 BD+BC= AB+BC= 5；(3)如圖1,?;Hl將4APM繞著點P順時針旋轉90得到PBN,連接AN, 則4APN是等腰直角三角形，,-.PN=PA= 2, BN=AM,.A的坐標為

5、(2, 0),點B的坐標為(6, 0),.OA=2, OB= 6,.AB=4,線段AM長的最大值=線段 BN長的最大值，當N在線段BA的延長線時，線段 BN取得最大值，最大值=AB+AN,. AN= J2AP= 272 ，最大值為2J2+4;如圖2,% V過P作PE x軸于E, APN是等腰直角三角形,.PE= AE= 42 ， .OE= BO- AB - AE= 6-4- 72 =2 一6,根據對稱性可知當點 P在第四象限時，P2-近,-近)時，也滿足條件.綜上所述，滿足條件的點P坐標(2 - J2, J2)或(2 - J2 , - J2 ), AM的最大值為 2點+4.【點睛】本題綜合考查

6、了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，最大值問題，旋轉的 性質.正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.2. (1)如圖，在矩形ABCD中，對角線 AC與BD相交于點O,過點O作直線EF，BD,交 AD于點E,交BC于點F,連接BE、DF,且BE平分/ABD. 求證：四邊形 BFDE是菱形；直接寫出/ EBF的度數；(2)把(1)中菱形BFDE進行分離研究，如圖 ，點G、I分別在BF、BE邊上，且BG=BI,連 接GD, H為GD的中點，連接 FH并延長，交ED于點J,連接IJ IH、IF、IG.試探究線段 IH與FH之間滿足的關系，并說明理由；(3)把中矩形ABCD進行特殊化探

7、究，如圖 ，當矩形ABCD滿足AB=AD時，點E是對角 線AC上一點，連接 DE、ER DF,使4DEF是等腰直角三角形，DF交AC于點G.請直接寫出線段AG、GE、EC三者之間滿足的數量關系.【答案】(1)詳見解析；60 . (2) IH= J3fH; EG2=AG2+cE?.【解析】【分析】(1) 由DOEBOF,推出E0= OF, OB= OD,推出四邊形 EBFD是平行四邊形, 再證明EB= ED即可. 先證明/ABD= 2ZADB,推出Z ADB= 30 ,延長即可解決問題.(2) IH= J3FH.只要證明IJF是等邊三角形即可.(3)結論：EG2=AG2+CE2.如圖3中，將4A

8、DG繞點D逆時針旋轉90。得到ADCM,先證明DE84DEM,再證明 ECM是直角三角形即可解決問題.【詳解】(1)證明：如圖1中， 四邊形ABCD是矩形， .AD/BC, OB= OD,/ EDO= / FBO,在 DOE和BOF中，EDO= FBOOD=OB ,EOD= BOF.,.DOEABOF,E0= OF, -.OB=OD, 四邊形EBFD是平行四邊形，EF BD, OB=OD,.EB=ED, 四邊形EBFD是菱形.BE平分/ABD,/ ABE= / EBD, .EB=ED,/ EBD= / EDB,/ ABD=2Z ADB, / ABD+Z ADB=90 ,，/ADB=30； /A

9、BD=60 ；/ ABE= / EBO= / OBF= 30 ,/ EBF= 60 .(2)結論：IH=T3fH.理由：如圖2中，延長BE至1J M,使得EM=EJ,連接MJ.VI. 四邊形EBFD是菱形，/ B= 60 , ,-.EB=BF= ED, DE/ BF, / JDk / FGH,在DHJ和AGHF中，DHG= GHFDH=GH , JDH= FGH .DH乒 AGHF, .DJ=FG, JkHF,.EJ= BG= EM=BI,.BE=IM = BF, / MEJ= / B= 60 ； .MEJ是等邊三角形，,-.MJ=EM=NI, /M = /B=60在 BIF和AMJI中，BI

10、=MJB= M ,BF=IM .BIFAMJI,.IJ= IF, /BFI=/MIJ, HJ= HF,.-.IH JF / BF+Z BIF= 120 : / MIJ+Z BIF= 120 ；/ JIF= 60 ；， JIF是等邊三角形，在 RtIHF 中，. /IHF= 90, /IFH= 60,/ FIH= 30 ,.IH=石 FH.(3)結論：eG2=ag2+cE?.理由：如圖3中，將4ADG繞點D逆時針旋轉90得到ADCM,S圖3c / FADZ DE已 90 , .AFED四點共圓，/ EDF= / DAE= 45 : / ADC= 90 ； / ADF+Z EDO 45 , / A

11、DF= / CDM, / CDM+Z CDE= 45 = / EDG,在ADEM和 DEG中，DE=DEEDG= EDMDG = DM .DEGADEM,.GE= EM, / DCM= / DAG= / ACD- 45 ； AG= CM, / ECM= 90 EC?+CM2= EM2, . EG= EM, AG=CM, .GE2=AG2+C邑【點睛】考查四邊形綜合題、矩形的性質、正方形的性質、菱形的判定和性質，等邊三角形的判定 和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形，學會轉 化的思想思考問題.3.平面上，RtABC與直徑為 CE的半圓 O如圖1擺放，/B=90,

12、 AC 2CE= m, BC n,半圓O交BC邊于點D,將半圓O繞點C按逆時針方向旋轉，點 D隨半圓O旋轉且 /ECD始終等于/ACB,旋轉角記為 a (0 WaW) 180 (1)當 a= 0時，連接 DE,則 /CDE=, CD-;(2)試判斷：旋轉過程中 里的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明;AE(3)若 m=10, n=8,當a=/ACB時，求線段 BD的長;(4)若m=6, n=4j2，當半圓。旋轉至與 ABC的邊相切時，直接寫出線段BD的長.【答案】(1) 90。，n; (2)無變化；(3) 12Y5； (4) BD=2而或 2/亙4.25,3【解析】CD CE試題分析：(1

13、)根據直徑的性質，由 DE/ AB得一 一即可解決問題.求出CB CABD、AE即可解決問題.(2)只要證明ACBCD即可.(3)求出 AB AE,利用AC&4BCD即可解決問題.(4)分類討論：如圖5中，當a =90時，半圓與AC相切，如圖6中，當a =904ACB時，半圓與 BC相切，分別求出 BD即可./ CDE=90 :/ CDE=Z B=90 ；DE/ AB,CEAC試題解析：(1)解：如圖1中，當叫，連接DE,則CD = 1. -. BC=n, .-.CD=ln.故答CB 22案為 90。，-n.2如圖 2 中，當 a =18叫，BD=BC+CD=-|n, AE=AC+CE=| m

14、,-BD- = .故答案為nm(2)如圖3中,Z ACB=Z DCE/ ACE=Z BCD.CDCEBC nAC mBD.ACEABCD, AEBC 1AC m(3)如圖 4 中，當 a=ZACB時.在 RABC中，.ACMO, BC=8,BD BCAE AC AB= Vac2_BC2 =6.在 RtABE 中,AB=6, BE=BC- CE=3, , AE= VAB2 BE2 = 762 32 =3 V5 ,由(2)可知ACEBCD,BD 8125125.旃=、，.baI25.故答案為125.（4） ,- m=6, n=4&, ，CE=3, CD=2&, AB= 7cA2BC2 =2，如圖

15、5 中，當=90 時，半圓與 AC 相切.在 RtaDBC 中，BD=JBC2 cd2= J（4J22（272） 2 =2 瓦. 如圖6中，當a =90Z+ACB時，半圓與 BC相切，作 EMXABTM. ZM=ZCBM=Z BCE=90, .四邊形 BCEM是矩形，. . BM EC 3, ME 4/2, AM=5, AE=jAM2 ME2=后,由（2）可知瞿=2 ， BA214 .AE 33故答案為2 710或 紐14.3點睛：本題考查了圓的有關知識，相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識，正確畫出 圖形是解決問題的關鍵，學會分類討論的思想，本題綜合性比較強，屬于中考壓軸題.4. (12分

16、)如圖1,在等邊 4ABC中，點D, E分別在邊 AB, AC上，AD=AE,連接BE, CD,點M、N、P分別是 BE、CD BC的中點.(1)觀察猜想：圖1中，4PMN的形狀是；(2)探究證明：把 4ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖 2的位置， PMN的形狀是否發生 改變？并說明理由；(3)拓展延伸：把 4ADE繞點A在平面內自由旋轉，若 AD=1, AB=3,請直接寫出 4PMN 的周長的最大值.AAB P C B F C圖1圉2【答案】(1)等邊三角形；(2) 4PMN的形狀不發生改變，仍然為等邊三角形，理由見解析;(3) 6【解析】分析：(1)如圖1,先根據等邊三角形的性質得到AB=A

17、C, ZABC=Z ACB=60,則BD=C1再根據三角形中位線性質得PM/C匕PM=-CE PN/AD, PN=1 BD,從而得到22PM=PN, /MPN=60,從而可判斷 4PMN為等邊三角形；（2）連接CE BD,如圖2,先利用旋轉的定義，把 4ABD繞點A逆時針旋轉60。可得到 CAE,貝U BD=CE, /ABD=/AC耳 與（1） 一樣可得 PM=PN, / BPM=/ BCE, /CPN=/CBD,則計算出 / BPM+/CPN=120 從而得至ij / MPN=60 ；于是可判斷 PMN為 等邊三角形.（3）利用AB- AD由D系B+AD （當且僅當點 B、A、D共線時取等號

18、）得到 BD的最大值 為4,則PN的最大值為2,然后可確定4PMN的周長的最大值.詳解：（1）如圖1 . 4ABC為等邊三角形，AB=AC, Z ABC=Z ACB=60 . AD=AE, .1. BD=CEL 點M、N、P分別是BE、CD. BC的中點， .PM/CE PM = 1CE PN/AD, PN=1BD, 22.PM=PN, / BPM=/BCA=60 ； Z CPN=ZCBA=60 ；/ MPN=60 ；APMN 為等邊三角形；故答案為等邊三角形；（2） APMN的形狀不發生改變，仍然為等邊三角形.理由如下： 連接CE BD,如圖2. AB=AC, AEAD, Z BAC=Z D

19、AE=60 ,.把 ABD繞點A逆時針旋轉60可得到 CAE, .BD=CE, /ABD=/ACE與（1） 一樣可得 PM/Cg PM = 1CE PN/ AD, PN=1BD, 22.PM=PN, /BPM=/BCE, ZCPN=ZCBD, / BPM+Z CPN=Z CBD+Z CBD=ZABC- / ABD+Z ACBZ ACE=60 +60 = 120 ,/ MPN=60 ；APMN 為等邊三角形.（3） .PN=1BD, .當BD的值最大時，PN的值最大.2,AB- AD DBC=Z ACB+Z ABC,再由 / BAC=120可得 / ACB+Z ABC=60 , 即可得Z MPN

20、=60 ,所以4PMN是等邊三角形；（3）由（2）知，APMN是等邊三角形，PM=PN=1BD,所以當PM最大時，4PMN周長最大，當點 D在AB上時，BD最小，PM 2最小，求得此時 BD的長，即可得 4PMN周長的最小值；當點 D在BA延長線上時，BD最大，PM的值最大，此時求得 4PMN周長的最大值即可.詳解：（1）因為 /BAC=/ DAE=120 ,所以 / BAD=Z CAE,又 AB=AC, AD=AE,所以AB4 4ADE;（2） PMN是等邊三角形.理由：二點P, M分別是CD, DE的中點，PM= 1 CE PM / CE 2 點N, M分別是BC, DE的中點，.PN=1

21、BD, PNI/ BD, 2同（1）的方法可得 BD=CE.PM=PN, .PMN是等腰三角形， . PM/CE, ，/DPM=/DCE . PN / BD,/ PNC=Z DBC, / DPN=Z DCB+Z PNC之 DCB+Z DBC,/ MPN=Z DPM+ / DPN=/ DCE+Z DCB+Z DBC之 BCE+Z DBC=/ ACB+Z ACE+Z DBC=Z ACB+Z ABD+Z DBC=Z ACB+Z ABC, / BAC=120 , Z ACB+Z ABC=60 ,/ MPN=60 ；.PMN是等邊三角形.1（3）由（2）知，4PMN 是等邊二角形，PM=PN=BD,2

22、PM最大時，4PMN周長最大， 點D在AB上時，BD最小，PM最小， . BD=AB-AD=2, PMN周長的最小值為 3；點D在BA延長線上時，BD最大，PM最大，BD=AB+AD=10, PMN 周長的最大值為 15.故答案為 PMN周長的最小值為3,最大值為15點睛：本題主要考查了全等三角形的判定及性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定，解決第（3）問，要明確點 D在AB上時，BD最小，PM最小，4PMN周長的最小； 點D在BA延長線上時，BD最大，PM最大，4PMN周長的最大值為15.6. （10分）已知4ABC和4ADE是等腰直角三角形， / ACB=/ ADE=90,點F為BE

23、中 點，連結DF、CF.BSDDE（1）如圖1,當點D在AB上，點E在AC上，請直接寫出此時線段 位置關系（不用證明）；（2）如圖2,在（1）的條件下將4ADE繞點A順時針旋轉45。時, 的結論是否仍然成立，并證明你的判斷；DF、CF的數量關系和請你判斷此時（1）中若 AD=1, AC入 2 , 求可知DF=BR根據（3）如圖3,在（1）的條件下將4ADE繞點A順時針旋轉90時, 此時線段CF的長（直接寫出結果）.【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由見試題解析；（3）【解析】試題分析：（1）根據 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半/ DFE=2/ DCE / BFE=2Z BCF,得至

24、U / EFD叱 EFB=2Z DCB=90 , DF BF； (2)延長DF交BC于點G,先證明ADE陣GCF,得至ij DE=CG DF=FG根據AD=DE,AB=BG 得到 BD=BG又因為 Z ABC=90,所以 DF=CF且 DF BF;(3)延長 DF交BA于點H,先證明ADEFAHBF,得到DE=BH, DF=FH,根據旋轉條件可 以4ADH為直角三角形，由 4ABC和4ADE是等腰直角三角形， acFW, 可以求出AB的 值，進而可以根據勾月定理可以求出 DH,再求出DF,由DF=BF，求出得CF的值.11 II試題解析：(1)ZACB=Z ADE=90 ,點 F 為 BE 中

25、點,z. DF= BE, CF= BE. . . DF=CF ABC和 ADE是等腰直角三角形，. / ABC=45 . BF=DF,/ DBF=Z BDF. / DFE=Z ABE+Z BDF,/ DFE=2Z DBF.同理得：/CFE=2ZCBF, / EFD+Z EFC=2Z DBF+2/ CBF=2Z ABC=90 . .DF=CR 且 DF CF.(2) (1)中的結論仍然成立.證明如下：如圖，此時點 D落在AC上，延長 DF交BC于點G. / ADE=Z ACB=90DE/ BC,/ DEF=Z GBF, / EDF=Z BGF. . F 為 BE 中點，EF=BF . . DEF

26、 GBF. . . DE=GR DF=GF .AD=DE, .1. AD=GB. AC=BC,AC-AD=BC-GB.，DC=GC / ACB=90 , DCG是等腰直角三角形. DF=GR DF=CF DF CF.(3)如圖，延長DF交BA于點H, ABC和 ADE是等腰直角三角形,AC=BC AD=DE/ AED=Z ABC=45 . 由旋轉可以得出，/ CAE1 BAD=90 ； AE/ BC, ，/AEB=/ CBE./ DEF玄 HBF. .F 是 BE 的中點，EF=BF.ADEFAHBF. .1. ED=HB. ACh,，在RtABC中，由勾股定理，得 AB=4. . AD=1,

27、ED=BH=1. . AH=3.在RtHAD中，由勾股定理，得 DH=J10 , *v.DF= , CF= 7 .考點：1.等腰直角三角形的性質；2.全等三角形的判定和性質；3.勾股定理.7.在4ABC中,AB=6,AC=BC=5ABC繞點A按順時針方向旋轉，得到4ADE旋轉角為& (0 “V 180)，點B的對應點為點 D,點C的對應點為點 E連接BD, BE.（1）如圖，當a =60時，延長BE交AD于點F. 求證：ABD是等邊三角形；求證：BF AD, AF=DF;請直接寫出BE的長；（2）在旋轉過程中，過點D作DG垂直于直線 AB,垂足為點G,連接CE當/ DAG=/ ACB且線 段D

28、G與線段AE無公共點時，請直接寫出BE+C印勺值.【答案】（1） 詳見解析；3招-4； （2） 13.【解析】試題分析：（1）由旋轉性質知 AB=AD, /BAD=60即可得證；由BA=BD EA=ED根 據中垂線性質即可得證；分別求出BF、EF的長即可得；（2）由/ ACB+/ BAC+Z ABC=180、 / DAG+Z DAE+Z BAE=180、 / DAG=Z ACB / DAE=Z BAM/ BAE=/BAC且 AE=AQ,根據三線合一可得 CE! AB、 AC=& AH=3,繼而知 CE=2CH=8BE=5,即可得答案.試題解析：（1）:ABC繞點A順時針方向旋轉 60得到AAD

29、E,.AB=AD, /BAD=60；.ABD是等邊三角形； 由得ABD是等邊三角形，.AB=BD, ABC繞點A順時針方向旋轉 60得到 ADE,，AC=AE BC=DE又 AC=BCEA=EQ 點B、E在AD的中垂線上，.BE是AD的中垂線， 點F在BE的延長線上， BFXAD, AF=DF; 由 知BFXAD, AF=DF,.AF=DF=3,.AE=AC=5,EF=4,.在等邊三角形 ABD 中，BF=AB?sinZ BAF=6=3“寫,BE=BF- EF=3右-4;(2)如圖所示, / DAG=Z ACB, / DAE=Z BAC, / ACB+Z BAC+Z ABC=Z DAG+Z D

30、AE+Z ABC=180 , 又 / DAG+/ DAE+Z BAE=180 ,Z BAE=/ ABC, .AC=BC=AEZ BAC=Z ABC,Z BAE=Z BAC,1ABXCEL,且 CH=HE=- CE,.AC=BC,1.AH=BH=- AB=3,貝U CE=2CH=8 BE=5,.BE+CE=13考點：三角形綜合題.8. (1)觀察猜想如圖，在ABC中，/BAC=90, AB=AC點D是BC的中點.以點 D為頂點作正方形DEFG使點A, C分別在DG和DE上，連接AE, BG,則線段BG和AE的數量關系是,(2)拓展探究將正方形DEFG繞點D逆時針方向旋轉一定角度后(旋轉角度大于0

31、,小于或等于 360。)，如圖2,則(1)中的結論是否仍然成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請 說明理由.解決問題若BC=DE=2在(2)的旋轉過程中，當 AE為最大值時，直接寫出 AF的值.GFBDDE【答案】(1) BG= AE.(2)成立.如圖，連接AD. ABC是等腰三直角角形,Z BAC= 90,點D是BC的中點./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE. 分7(3)由(2)知，BG= AE,故當BG最大時，AE也最大.正方形DEFG繞點D逆時針方

32、向旋轉 270。時，BG最大，如圖.若 BC= DE= 2,貝U AD= 1 , EF= 2.在 RtMEF中,AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF =-【解析】解：(1) BG= AE.(2)成立.如圖，連接AD.ABC是等腰三直角角形，Z BAC= 90。，點D是BC的中點./ ADB=90 ；且 BD= AD. / BDG= / ADB- / ADG= 90 - / ADG= / ADE, DG= DE.,.BDGAADE, . BG= AE.(3)由(2)知，BG= AE,故當BG最大時，AE也最大.Z+X+X+K因為正方形DEFG在繞

33、點D旋轉的過程中，G點運動的圖形是以點 D為圓心，DG為半徑的 圓，故當正方形 DEFG旋轉到G點位于BC的延長線上(即正方形 DEFG繞點D逆時針方向 旋轉270)時，BG最大，如圖 .若 BC= DE= 2,貝U AD= 1 , EF= 2.在 RtAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(1 + 2)2+22= 13.AF= JiT.即在正方形DEFG旋轉過程中，當 AE為最大值時，AF=JN .9.邊長為2的正方形ABCD的兩頂點A、C分別在正方形 EFGH的兩邊DE、DG上(如圖 1),現將正方形 ABCD繞D點順時針旋轉，當 A點第一次落在 DF上時停止旋轉，旋

34、轉過程 中，AB邊交DF于點M, BC邊交DG于點N.(1)求邊DA在旋轉過程中所掃過的面積；(2)旋轉過程中，當 MN和AC平行時(如圖2),求正方形ABCD旋轉的度數；(3)如圖3,設4MBN的周長為p,在旋轉正方形 ABCD的過程中，p值是否有變化？請 證明你白結論.圖3【答案】(1) 2； (2) 22早；(3)不變化，證明見解析【解析】 試題分析：(1)將正方形ABCD繞D點順時針旋轉，當 A點第一次落在 DF上時停止旋 轉，旋轉過程中，DA旋轉了 450|,從而根據扇形面積公式可求 DA在旋轉過程中所掃過的 面積.(2)旋轉過程中，當 MN和AC平行時，根據平行的性質和全等三角形的

35、判定和性質可求 正方形ABCD旋轉的度數為22R.(3)延長BA交DE軸于H點，通過證明 3D小正金分匚M和式zWMAT可得結論.(1)二力點第一次落在DF上時停止旋轉，DA旋轉了 450|.45邛 x 22 nDA在旋轉過程中所掃過的面積為 3602. MN/AC, /阿%二訂然二付呼肝二月。/1=4/.刖=刖一二EN又.BA 二方。.= ON.又.DA = DCDAM =三儀”“所”.=10【田)=22取 .，旋轉過程中，當 MN和AC平行時，正方形 ABCD旋轉的度數為4T - 22.50 = 22 . 不變化，證明如下：如圖，延長BA交DE軸于H點，則ADE - 450 -ADM lC

36、DN = 9。-45 - MDM = 45 -。可Ekv = DCtDAU = 1HO0 - 900 = 90 = U)CN . ADAU=ADCN , I. * ,17：淞. =飛勵.LN乂 I, , p = MiN + /?M = /iM + CN +存M =加+ = 4，在旋轉正方形 ABCD的過程中，P值無變化.考點：1.面動旋轉問題；2.正方形的性質；3.扇形面積的計算；4.全等三角形的判定和性 質.10.如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形 EFG的兩邊EF, EG分別過點 B, C, / F= 30.（1）求證：BE= CE（2）將 EFG繞點E按順

37、時針方向旋轉，當旋轉到EF與AD重合時停止轉動.若EF, EG分別與AB, BC相交于點M, N.（如圖2） 求證：BEMCEN;若AB=2,求4BMN面積的最大值； 當旋轉停止時，點 B恰好在FG上（如圖3）,求sin/EBG的值.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；2 ；、五4【解析】【分析】（1）只要證明 BAECDE即可；（2） 利用（1）可知4EBC是等腰直角三角形，根據 ASA即可證明;構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題； 如圖 3 中，作 EH，BG于 H,設 NG=m,則 BG=2m, BN=EN=J3 m, EB= m,利用面積法求出EH,根據三角函數的定義即可

38、解決問題.【詳解】四邊形ABCD是矩形， .AB=DC, ZA=ZD=90 .E是AD中點, ，AE=DE3 ABAEVA ODE, ，BE=CEDXfJ(2)解：如圖2中,圖2由(1)可知，AEBC是等腰直角三角形,4 / EBC玄 EOB=45,5 / ABC=Z BCD=90/ EBM=Z ECN=456 / MEN=Z BEC=90/ BEM=Z OEN,7 .EB=EO8 .BEMAOEN;. BEMAOEN,.BM=ON,設 BM=CN=x,貝U BN=4-x,Sabmn= ?x (4-x) =- (x-2) 2+2,22-1/2 AP=2f2 ，最大值為2夜+3;如圖2,過P作P

39、已x軸于E,APN是等腰直角三角形，PE=AE=V2 ，OE=BO-AB-AE=5-3a/2 =2- & ,p（2-、2, .2）.【點睛】考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，最大值問題，旋轉的性質.正 確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.12.如圖，在 ABC中，/CAB=70。，在同一平面內，將 ABC繞點A旋轉到AB的位 置，使得CC/AB求/ BAB的度數.Sam【答案】400.【解析】【分析】先根據平行線的性質，由 CC/AB得/AC C= CAB=70 ,再根據旋轉的性質得 AC=AC, /BAB/CAC；于是根據等腰三角形的性質有/ACC2AC C=70M后

40、利用三角形內角和定理可計算出/CAC =40；從而得到/BAB的度數.【詳解】 . CC7/ AB, / A CC /CAB=70 ； ABC繞點A旋轉到AB白C位置， .AC=AC, /BAB ZCAC；在 ACC 中， AC=AC / ACC ZAC C=70 / CAC =1800 -70 =40 : / BAB =40 【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.13.在 4ABC 中，AB=BC=2, ZABC=120,將 ABC 繞點 B 順時針旋轉角 a (0VaV 90) 得AiBCi, AiB交AC

41、于點E, A1C1分別交 AC BC于D、F兩點.(1)如圖1,觀察并猜想，在旋轉過程中，線段BE與BF有怎樣的數量關系？并證明你的結論；(2)如圖2,當a =30時，試判斷四邊形 BGDA的形狀，并說明理由.【答案】(1) BE=DF； (2)四邊形BGDA是菱形.【解析】【分析】(1)由AB=BC得至IJ / A=Z C,再根據旋轉的性質得 AB=BC=BC, / A=Z C=Z C1,ZABE=Z C1BF,則可證明 ABECBF,于是得到 BE=BF(2)根據等腰三角形的性質得 ZA=ZC=30 ,利用旋轉的性質得 Z Ai=ZCi=30 ；ZABAi = ZCBQ=30 ,則利用平行

42、線的判定方法得到AiCi/ AB, AC/ BG ,于是可判斷四邊形BGDA是平行四邊形，然后加上 AB=BG可判斷四邊形 BGDA是菱形.【詳解】(1)解：BE=DF,理由如下：.AB=BC,Z A=Z C,.ABC繞點B順時針旋轉角 a (00 a90 )得AiBO,.AB=BC=B6, Z A=ZC=Z d , ZABE=Z dBF, 在 ABE和CiBF中 =/gbfJ BA = BC： , Z J =A AB ACiBF, .BE=BF(2)解：四邊形BGDA是菱形.理由如下： . AB=BC=2, ZABC=120 ,Z A=Z C=30 ,Z Ai=Z Ci=30 , Z ABAi=Z CBG=30, Z