1、飛躍顛峰穿幽谷-應用數學大師歐拉張文亮關鍵詞：數學家，數學應用編者按：歐拉-人類歷史上最偉大的應用數學家，結合數學與生活的第一人。數學有什么用?歐拉第一個給出回答：他用數學設計輪船-啟動了波浪動力學；他用數學研究耳朵，了解耳膜與聽覺；他用數學來測量，整合了平面測量學；他用數學算渠道斷面，開啟了應用流體力學；他用數學算保險、精準貨幣，產生了計量經濟學；他用數學算老鷹的飛翔，建立了航空動力學。歐拉是世界上迄今為止最多產的數學家，1704年出生的歐拉到60歲就失明了。失明后他完成的著作包括：三冊光學書（1769-71），三冊微積分書（1768-70），兩冊口述由男仆抄錄的代數學書（1770），一冊7

2、75頁關于月球運轉的書（此書發表一百年都未能被完全理解），一冊海軍學生手冊（1773），一冊建立保險原理的重量級的數（1776）。歐拉有三件事被人稱頌：眼睛瞎了還寫了無窮多文章，即使現在用電腦寫也不如他多產，886本書籍和論文一半是瞎了后寫的，其中很多文章是重量級的；歐拉除了文章多產，生孩子也不示弱，生了13個子女，成活5位，常抱著一個嬰兒寫作，而大一點的孩子們在他周圍玩耍嬉戲；歐拉還培養或影響了一批數學家，包括法國人拉格朗日。歐拉-人類歷史上最偉大的應用數學家，結合數學與生活的第一人。在他以前，數學被認為是一種奢侈的頭腦游戲，數學不能叫牛生產牛奶，數學不能讓小麥生長，數學有什么用呢?歐拉用他

3、的一生回答這個問題：他用數學設計輪船-啟動了波浪動力學、他用數學研究耳朵-了解耳膜與聽覺、他用數學來測量-整合了平面測量學、他用數學算渠道斷面-開啟了應用流體力學、他用數學算保險、精準貨幣-產生了計量經濟學、他用數學算老鷹的飛翔-建立了航空動力學今天數學課本函數用f(x)，半徑用r，自然對數用e，總和用這些符號都是他定的。世界每一本高等數學里都有歐拉微分方程式解，以及歐拉公式：eix=cosx+isinx.十八世紀以后，每一位數學大師都聲稱受到歐拉的影響，每一個數學分支都可以看到歐拉的影子，歐拉的影響力是這樣的大，卻很少人知道歐拉像一只鳥，終生舉著數學與信仰的雙翼在飛翔。輪船之謎一七二七年，法

4、國巴黎科學院燈火通明，一批科學家熱烈討論著歐洲科學競賽里的一篇作品：這實在是件奇怪的事，一個在神學院里專攻古希伯來文的學生，竟然會提出一套數學解法-由海浪的運動，計算出一艘大輪船的結構設計?更奇怪的是，這個名叫歐拉(Leonhard Euler)的年輕人，是來自群山之國瑞士。他自己坦白說他一生沒有看過海，更沒見過輪船，只看過瑞士的泛湖小舟。他這種超強的數學解析能力，實在是百年難得一見。另一位科學家接口。經過一番討論，主席裁決：如果我們不把科學競賽的首獎頒給他，就是太沒有眼光了。但是以輪船設計獲得首獎的，是一個根本沒有看過輪船的人，這消息如果傳了出去，我們一定會成為笑柄。這樣吧，今年沒有第一名，

5、只有佳作，然后把佳作獎頒給歐拉。希望這人知難而退，以后不要再給我們制造這種難題了。但是，歐拉顯然不大合作，隔年又提出耳朵內的薄膜對于聲波的共振數學，他又沒看過耳朵薄膜。受不了他的洋溢天才，巴黎科學院只好把首獎頒給他。以后的十二年里，他的數學怪招又連得十二次首獎。牧師爸爸一七O七年四月十五日，歐拉生于瑞士的巴塞爾(Basle)。他的父親是巴塞爾郊外一間小教會的牧師。歐拉從小成績就很好，十四歲進大學。當時的中小學還沒有數學課程，歐拉的父親是位業余的數學家，就親自教歐拉數學。歐拉在神學院里遇到一位影響他一生的好老師伯努利(Johannes Bernoulli，1667-1748)。這位法國老師是因為

6、宗教大迫害，基督徒時刻要面臨死亡的威脅，舉家逃到信仰自由的瑞士。伯努利說：在人類的思考學問里，最接近上帝的，不是神學，而是數學。因為數學家追求最高的精確、最合理的邏輯，而且會發現這個奇妙的宇宙，竟是經得起數學家一再推敲考證的對象學數學的人會遇到一個強烈吸引他們的核心，使他們像拋物線般的被吸引回來，以面對宇宙里最基本的存在。伯努利的家族出了好多數學教授，又都是基督徒，所以被稱為數學界的神圣支派。伯努利的數學課很特別：不教任何數學的內容，他只給問題，而且是非常難的問題。學生必須自己去看書找資料，或自己想辦法。下星期學生交答案，老師討論正確答案后，再給新的題目。在伯努利的課程里，數學是沒有課本的。以

7、歐拉的數學能力，要應付這種教學方式，仍然覺得非常吃力，只有加緊勤奮用功，才能趕上老師沒有范圍的教法。三年下來，仍留下的學生只剩下歐拉與老師的兒子丹尼爾伯努利(Daniel Bernoulli)，這兩個同學成為一生的好朋友。丹尼爾伯努利在流體動力學(hydrodynamic)領域中非常有名，是每一個念土木工程、化學工程的學生所知道的。丹尼爾伯努利又被稱為數學物理之父(the founder of mathematical physics)。數學啊！迷人一七二四年，勤奮的天才歐拉，取得巴塞爾大學神學碩士學位。歐拉的父親希望兒子回到教會擔任傳道人。當時整個歐洲大陸，沒有需要數學為專職的工作，以天下之

8、大，竟沒有歐拉的容身之處。一天，伯努利老師去拜訪歐拉的父親，因為歐拉是天生的數學家，老師看出歐拉會成為數學界最明亮的一顆彗星，但是他受的神學教育怎么辦？父親問道。伯努利回答：數學不會抖落他身上任何的敬虔信仰，而且你看著吧，有一天他會成為數學界的神學家!歐拉繼續留在巴塞爾大學。當時巴塞爾是醫學與藥學的重鎮，興趣廣泛的歐拉又去旁聽生理醫學的課。他的數學能力碰上任何學科，就會像植物吸水一樣，重新變化產生一個嶄新的東西。他提出耳膜結構與聲波的共振，并用數學去證明，這是醫學教授辦不到的事。數學碰到任何學科，就會帶來革命性的改革，這就是應用數學迷人的地方。血腥年代一七二七年俄國在女皇凱撒琳一世(Cathe

9、rine)的支持下，成立科學院，向歐洲招募杰出的科學家到俄國任教。歐拉也被聘請前往。誰知等他到達俄國首都圣彼得堡時，迎接他的不是科學教育大臣，而是秘密警察。原來凱撒琳一世駕崩，俄國進入長達二十年的血腥內戰，新任沙皇殘殺異己，貴族之間爭權奪利。歐拉期待的一批等著他教育的學生，完全消失。他不斷看到有人被流放到西伯利亞，異議人士被掛在絞繩上。他本來被聘任的職位沒有了，淪落到海軍部當一名技術員。當時很多人逃離俄國，俄國人也極端敵視外國人，歐拉卻留了下來。歷史上并沒有任何線索可供我們判斷他初期選擇留下來的原因，但是有一件事情是可確定的：歐拉在秘密警察的監視下，在圣彼得堡持續研究他的數學達十五年之久。歐拉

10、在這段時間寫成的作品，日后由瑞士政府集結成歐拉全集，足足有一百巨冊。這十五年的苦難環境，反而為他隔絕出一個沒有社交、沒有會議、沒有世俗酬酢的讀書天堂，造就他成為人類歷史上最多產的數學家，并博得數學界之棟梁(Pillar in Mathematics)的美譽。歐拉后來寫道：數學家就是藝術家，像是米開朗基羅躺在教堂的天花板下，以無盡的熱情，一筆、一筆地描繪出最精確的圖畫什么是數學?數學是上帝花園中精選的百合花。一七三三年，歐拉與畫家格塞爾(Gsell)的女兒凱瑟琳(Catharina)結婚。格塞爾也是瑞士人，與歐拉同樣是身陷鐵幕的異鄉人。歐拉因為看不見和平的契機，而且他的朋友已大都逃出俄國，所以他

11、婚后終于決定要逃亡。沒想到行動前發現妻子懷孕了，愛家的歐拉只好暫緩逃亡計劃，隔年逃亡前又發現妻子懷孕，只好再度留下來。凱瑟琳總共為他生了十三個孩子呢！天才老爹歐拉最有趣的是可以一面抱小孩，一面跟大孩子說故事，還一面思考他的數學。他的八百多篇數學研究報告，有好多篇原稿是寫在孩子吃飯的圍兜上、給孩子擦嘴巴的紙巾上他這種隨時隨處可以解數學的能力，與他優秀的記憶力有關。歐拉的長子后來回憶道：父親為我們念書，我們覺得太好聽了，請父親再念一遍。我仍然記得，父親是把書本合起來，從書本的第一行講到最后一行父親還背了許多數學公式與復雜的數學計算。在父親的身上，我看到數學不只需要理解，也需要記憶。歐拉天性喜歡小孩

12、，他為小孩設計了許多數學游戲；每天晚上把兒女聚在一起，對他們講一篇數學，再為他們一一禱告。一七四O年，俄國殘暴的沙皇死后，俄國逐漸恢復和平。歐拉的數學名聲已經傳遍歐陸，普魯士國王腓特烈大帝(Frederick)特聘他為宮廷數學家，并兼任公主安哈特-笛所(Anhalt-dessau)的老師。幾年后他寫了一本非常著名的青少年書籍寫給一個德國公主的信(Letters to a German Princess)，論到物理、數學、文學與信仰。書中寫道：任何抽象的思考，或是一般性的想法，離開文字(words)都無法存在。文字的存在不只是為了人與人的溝通，也是為了幫助人對真理有更深的耕耘。有人聲稱真理來自證

13、據，我卻認為證據沒有文字化，人還是不認識真理。所以在新約圣經約翰福音的開始，第一句話就是太初有道(In the beginning was the Word)，這是一開始，上帝就將他自己，以文字的方式來表達那最核心的真理。負數存在嗎？歐拉對信仰的持守，使得德國高等批判主義分子對他攻擊愈來愈厲害，腓特烈大帝對他也愈來愈疏遠。當時的哲學家流行一種自命不凡的聰明嘴臉，純樸溫和的歐拉顯然與他們格格不入。一七六六年著名的哲學家休謨(David Hume)來到德國，他的無神論受到盛大的歡迎，當時起來與他力辯的，竟是那平常不太愛表現的歐拉。歐拉用數學來辯明真理：你知道什么是根號1嗎?開根號的1，既不等于0，

14、也不大于0，更不小于0。那你說這種東西，在自然界不存在的東西，所以根號-1根本沒有意義，所以數學里不該有根號1!但是你錯了。如果沒有開根號的負數，就不可能把12分成兩部分，使其相乘等于40。這兩部分就是6加上根號4與6減去根號4。有太多自然界找不著的，卻深深存在我們的意識里：再舉一個例子：0減去2等于多少?等于2。在自然界里你能找到2嗎?我一生研究數學，為數學著迷，數學給我最佳邏輯，但是我至今仍然不懂什么是2的基本意義。好吧，你說無法證明存在的就不存在!但是我告訴你，數學里如果沒有2，我們的數學就無法計算：如果2不存在，根號1不存在，數學就不存在：因此，即使無法用物質去證明上帝的存在，上帝仍然存在人的心里。惟一的解為這一場辯論，歐拉失去了他的工作。一七六六年歐拉全家返回圣彼得堡。不久，著名的哲學家狄德羅(Denis Diderot)到俄國來宣傳無神論，他編過法國百科全書，號稱自己無所不知，與他在宮廷對辯的又是歐拉。歐拉只用一句話，就封住這位哲學家的口。歐拉說：先生，因為(a+b)n/nx，所以上帝存在，對不對?狄德羅答不出來，羞愧地離開俄國。無神論的錯誤，是用一個錯誤的前提去證明上帝是否存在-如同用無窮多組可能的(a+b)n/nx，去