1、2020-2021中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題精選-相似練習(xí)題含答案解析一、相似1 .如圖所示， 4ABC 中，AB=AC, Z BAC=90°, AD± BC, DEL AC, ACDE 沿直線 BC 翻折 至iJCDF連結(jié)AF交BE、DE、DC分別于點(diǎn) G、H、I.(1)求證：AF, BE;(2)求證：AD=3DI.【答案】(1)證明：二.在ABC中，AB=AC, /BAC=90, D是BC的中點(diǎn), .AD=BD=CD, /ACB=45,°1 .在 ADC 中，AD=DC, DEX AC,.AE=CECDE沿直線BC翻折到CDF,.,.CDEACDF,2 . CF=CE /

2、 DCF=Z ACB=45 ；3 . CF=AE / ACF=Z DCF+/ ACB=90 ,°AB * AC ZBAE = ZACf 在 ABE 與 AACF 中，.任 C/',4 .ABEAACF (SAS ,/ ABE=Z FAC,5 / BAG+Z CAF=90 ,°6 / BAG+Z ABE=90 ；/ AGB=90 ；AFXBE(2)證明：作 IC 的中點(diǎn) M,連接 EM,由(1) /DEC=Z ECF4 CFD=90四邊形DECF是正方形，EC/ DF, EC=DF/ EAH=Z HFD, AE=DFZAHE = zrnEAn =2HF&在 A

3、EH 與 4FDH 中AE Di , .AEHAFDhl (AAS), .EH=DH, / BAG+/ CAF=90 ,° / BAG+Z ABE=90 ；/ AGB=90 ；AFXBE,. M是IC的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，.EM /AI,di dh.而一應(yīng)：.DI=IM,.CD=DI+IM+MC=3DI,.AD=3DI【解析】【分析】(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)和SAS證明AB®4ACF,利用全等三角形的性質(zhì)得出/ ABE=Z FAC再證明/ AGB=90 ,可證得結(jié)論。(2)作IC的中點(diǎn) M,結(jié)合正方形的性質(zhì)，可證得/EAH=/ HFD, AE=DF利用 AAS證明 AEH與

4、FDH全等，再利用全等三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)解答即可。A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與D.2.已知直線y=kx+b與拋物線y=ax2 (a>0)相交于y軸正半軸相交于點(diǎn) C,過(guò)點(diǎn)A作ADx軸，垂足為(1)若/AOB=60, AB/ x 軸，AB=2,求 a 的值；(2)若/AOB=90，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4, AC=4BC求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)延長(zhǎng) AD、BO相交于點(diǎn)E,求證：DE=CQ.OA=OB, Z AOB=60 ,.AOB是等邊三角形，. AB=2, AB±00,-.AC=BC=1, Z BOC=30,J-5.oc=KlJ,-A (-1, S),把 A (-1, j

5、)代入拋物線 y=ax2 (a>0)中得：a=/3 ;(2)解：如圖2,過(guò)B作BHx軸于E,過(guò)A作AGLBE,交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交y軸于AC：,應(yīng)瓦.AC=4BC,Ab元=4,.AF=4FG,. A的橫坐標(biāo)為-4, .B的橫坐標(biāo)為1,.A (-4, 16a) , B (1, a), / AOB=90 ； / AOD+/ BOE=90 ； / AOD+Z DAO=90 ； / BOE=/ DAO, / ADO=Z OEB=90 ； .ADOAOEB,日一瓦，4 1 4， - 16a2=4,1a=±-,.a>0,1 - a=上；1 B (1,力；(3)解：如圖3,設(shè) AC=

6、nBGn倍,由(2)同理可知：A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的則設(shè) B (m, am2),則 A - -mn, am2n2), . AD=am2n2 ,過(guò)B作BH x軸于F, .DE/ BF,.,.BOFAEOD,OB OF BI'. OE OD 班.OB m aar I . OE isn DE ,OB 1 二 I-.1.四 口 , DE=am2n ,OB 1.,.留,* n ,1. OC/ AE,.,.BCOABAE,1. CO= 1"" =am2n, . DE=CO.【解析】【分析】(1)拋物線y=ax2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù) AB/ x軸，得出A與B是對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)，可知 AC

7、=BC=1由/AOB=60 ,可證得/AOB是等邊三角形，利用解直角三角形求出 OC的長(zhǎng)，就可得出點(diǎn) A的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求出a的值。(2)過(guò)B作BEX x軸于E,過(guò)A作AG± BE,交BE延長(zhǎng)線于點(diǎn) G,交y軸于F,根據(jù)平行 線分線段成比例證出 AF=4FG根據(jù)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4,求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,則A (4, 16a) , B(1, a),再根據(jù)已知證明 / BOE=/ DAO, ZADO=ZOEB,就可證明 ADOsOEB,得出對(duì)應(yīng)邊成比例，建立關(guān)于a的方程求解，再根據(jù)點(diǎn) B在第一象限，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)即可。(3)根據(jù)(2)可知A的橫坐標(biāo)是B的橫坐標(biāo)的n倍，則設(shè)B (

8、m, am2),則A (-mn, am2n2),得出 AD的長(zhǎng)，再證明 BOQEOD, BC8 BAE,得對(duì)應(yīng)邊成比例，證得 CO=am2n,就可證得 DE=CO3.在矩形 ABCD中，BC= 6,點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，/ ABE= 30°, BE= DE,連接 BD動(dòng)點(diǎn) M 從點(diǎn)E出發(fā)沿射線 ED運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) M作MN / BD交直線BE于點(diǎn)N.(2)設(shè)MN長(zhǎng)為x,以M、N、D為頂點(diǎn)的三角形面積為 y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段 ED的中點(diǎn)時(shí)，連接 NC,過(guò)點(diǎn)M作MFXNC于F, MF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G (如圖2),求線段 MG的長(zhǎng).【答案】(1)證明：.。八二爐,

9、期把二3鼠。，上A出=601AE = -BE- fa.(2)解：在也£就仍中，NABE二30.DE BE - 2AE AD EC 6, AE 2DE BE )當(dāng)點(diǎn)4在線段燈上時(shí)，過(guò)點(diǎn)貓乍門(mén)上于點(diǎn)比b.當(dāng)點(diǎn)在線段反延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)|a作土 如于點(diǎn)-MN - rr； 0 2NI在E中,XE 二6塌-NE - DE - ?-v - -護(hù)嵬吃解：連接G，交須于點(diǎn)V1.心為%的中點(diǎn). EM DMMN .CD 二黜二 ME：皿瘋），= J5 ,BN 21cos一切然-二.-4C /3 /I）盛: 60上.4 M 二18。-二/1蜘ZDMC = 180306090的/血.上勒v' - jN

10、ML 9也龍V二包二二C 71,即=«城/源=W*+收=刈' ,.廣限小二陽(yáng)- /泗,上她：1 士力-上加j版4 -城？ ,又 /4此=上如% =好,.11就 sM G ,M 好 入廳 0/3 = .第4'”,即第一 I ,【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EHLMN于點(diǎn)H，由已知條件易得 EN=EM,解直角三角形 EMH易得MH和EM的關(guān)系，由等腰三角形的三線合一可得MN=2MH即可求解；（2）在RtABE中，由直角三角形的性質(zhì)易得 DE=BE=2AE由題意動(dòng)點(diǎn) M從點(diǎn)E出發(fā)沿 射線ED運(yùn)動(dòng)可知點(diǎn)M可在線段ED上，也可在線段 ED外，所以可分兩種情況求解： 當(dāng) 點(diǎn)M在線

11、段ED上時(shí)，過(guò)點(diǎn) N作NILAD于點(diǎn) I ，結(jié)合（1）中的結(jié)論 MN=/-EM即可求 解； 當(dāng)點(diǎn)M在線段ED延長(zhǎng)線上時(shí)，過(guò)點(diǎn) N作NI'XAD于點(diǎn)I ',解Rt A NI '和火也人上可 I求得NI'和NE,則DM=NE-DE,所以以 M、N、D為頂點(diǎn)的三角形面積 y= MD.NI可求解； （3）連接CM,交BD于點(diǎn) N',由（2）中的計(jì)算可得 MN、CD MC的長(zhǎng)，解直角三角形CDM可得/DMC的度數(shù)，于是由三角形內(nèi)角和定理可求得/NMC=，'：/，根據(jù)平行線的性/質(zhì)可得DMN'是直角三角形，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MN=MD;則NC的

12、長(zhǎng)可求，由已知條件易得 A NMS A MN G 根據(jù)所得的比例式即可求解.4.拋物線y=ax2+bx+3 （aw。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A （ - 1, 0） , B （ -，0）,且與y軸相交于點(diǎn) C.(2)求/ ACB的度數(shù)；(3)設(shè)點(diǎn)D是所求拋物線第一象限上一點(diǎn)，且在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)，點(diǎn)E在線段AC上，且DE±AC,當(dāng)4DCE與4AOC相似時(shí)，求點(diǎn) D的坐標(biāo).【答案】(1)解：當(dāng)x=0,y=3,所以C (0,3)設(shè)拋物線的解析式為 y=a(x+1)(x-幺).將C (0,3)代入得-a=3,解得a=-2所以拋物線的解析式為y=-2x2+x+3(2)解：過(guò)點(diǎn)B作BMLAC,垂足為M,過(guò)點(diǎn)M作MNL

13、OA,垂足為N,如圖1 , . OC=3, AO=1, .tan / CAO=3.直線AC的解析式為y=3x+3. .ACXBM,-3 義 +b=0解得 b=二.BM的一次項(xiàng)系數(shù)為設(shè)BM的解析式為y=-x+b,將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得:BM的解析式為y=- J x+1 .將 y=3x+3 與 y=- J x+ E 聯(lián)立解得：x=- 4 , y= J，MC=BM= ，？MCB為等腰三角形/ ACB=45.°（3）解：如圖2所示，延長(zhǎng)CD,交x軸于點(diǎn)F. / ACB=45點(diǎn)D是第一象限拋物線上一點(diǎn)， / ECD> 45 :又. ？DCE與？AOC 相似，Z AOC=Z DEC=90,/

14、CAO=/ ECD. .CF=AF.設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a, 0）,則（a+1） 2=32+a2,解得a=4.F （4,0）.設(shè)CF的解析式為y=kx+3,將F （4,0）代入得：4k+3=0,解得k=-:. J，CF的解析式為y=- ' x+3.將y=-，x+3與y=-2x2+x+3聯(lián)立，解得 x=0 （舍去）或x= 5 .將 x= 6 代入 y=-。x+3 得 y= 32二. D （ 5 ,史）.【解析】【分析】（1）結(jié)合已知拋物線與x軸的交點(diǎn)AB,設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)求出系數(shù)，在回代化成拋物線解析式的一般形式。（2）作垂線轉(zhuǎn)化到直角三角形中利用銳角函數(shù)關(guān)系解出直線

15、南AC的解析式，再利用待定系數(shù)法求出系數(shù)得出直線BC的解析式，聯(lián)立方程得出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出MC,BM的長(zhǎng)判斷出是等腰直角三角形，得出角的度數(shù) CF的解(3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)的出兩角相等，再利用待定系數(shù)法求出系數(shù)得出直線 析式，再聯(lián)立方程得出點(diǎn) D的坐標(biāo)。5.如圖，拋物線 y=x2+bx+c經(jīng)過(guò)B(-1, 0), D(-2, 5)兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為 A,點(diǎn)H是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) H的直線PQ±x軸，分別交直線 AD、拋物線于點(diǎn) Q、P籥用金(1)求拋物線的解析式；(2)是否存在點(diǎn)P,使/APB= 90°,若存在，求出點(diǎn) P的橫坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

16、(3)連接BQ, 一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段 BQ以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 Q,再沿 線段QD以每秒(三個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到 D后停止，當(dāng)點(diǎn) Q的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn) M在整個(gè) 運(yùn)動(dòng)過(guò)程中用時(shí)t最少？【答案】(1 )解：把B ( 1 , 0) , D ( 2, 5)代入黑二.人第+ J ,得： ,7 - b -f- c = 0b = - 2叮 二也一 '解得：右二九拋物線的解析式為：(2)解：存在點(diǎn) P,使/APB=90.當(dāng) y=0 時(shí)，即 x2-2x- 3=0,解得：x1= 1, x2=3,，OB=1, OA=3.設(shè) P(m, m2 2m 3)，則一1WmC§ PH=一 ( m

17、2 2m 3) , BH=1+m, AH=3 m , Z APB=90 ,° PHI± AB,，/PAH=/ BPH=90 ' / APH, / AHP=/ PHB,AAHPAPHB,PH Ah明 科,PH2=BH?AH, . - ( m2 - 2m - 3) 2= (1+m ) ( 3 - m ),解得 m1二* + mJ , m2=1；，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為：i + vJ或，- (3)解：如圖，過(guò)點(diǎn) D作DNx軸于點(diǎn)N,DN B則 DN=5, ON=2, AN=3+2=5, . .tanZ DAB=JAr 5 =1 , . . / DAB=45 .過(guò)點(diǎn) D 作 DK/

18、 x 軸，則/ KDQ=Z DAB=45 , DQ=k* QG.由題意，動(dòng)點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)的路徑為折線 BQ+QD,運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=BQ+DQ,t=BQ+QG,即運(yùn) 動(dòng)的時(shí)間值等于折線 BQ+QG的長(zhǎng)度值.由垂線段最短可知，折線 BQ+QG的長(zhǎng)度的最小值為 DK與x軸之間的垂線段. 過(guò)點(diǎn)B作BHLDK于點(diǎn)H,則t最小=BH, BH與直線AD的交點(diǎn)，即為所求之 Q點(diǎn). A (3, 0) , D (- 2, 5) , 直線 AD的解析式為：y= - x+3, < B點(diǎn)橫坐標(biāo)為-1, . y=1+3=4, . .Q ( -1,4).【解析】【分析】(1)把點(diǎn)B, D的坐標(biāo)代入二次函數(shù)中組成二元一次方程

19、組，解方程組 即可得到拋物線的解析式；(2)先按照存在點(diǎn) P使/APB= 90。，先根據(jù)拋物線的解析式求 得點(diǎn)A, B的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn) P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn) P的位置確定 m的取值范圍，再證 AHPAPHB,從而得到PH2=BH?AH,即可列出關(guān)于 m的方程，解方程即可得到m即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，且橫坐標(biāo)在所求范圍內(nèi)，從而說(shuō)明滿足條件的點(diǎn)P存在；(3)先證明/DAB=45；從而證得DQ= 2 QG,那么運(yùn)動(dòng)時(shí)間t值等于折線BQ+QG的長(zhǎng)度值，再結(jié)合 垂線段最短確定點(diǎn) Q的位置，再求得點(diǎn) Q的坐標(biāo)即可.6.在等腰直角三角形 ABC中,/ACB= 90 ,AC= BC,D是AB邊上的中點(diǎn)，RtEFG的直角頂

20、點(diǎn)E在AB邊上移動(dòng).mimrnj(1)如圖1,若點(diǎn)D與點(diǎn)E重合且EG± AC、DF± BC,分另1J交 AC BC于點(diǎn)M、N, 易證EM=EN;如圖2,若點(diǎn)D與點(diǎn)E重合，將 EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，則線段 EM與EN的長(zhǎng)度還相等嗎？若相等請(qǐng)給出證明，不相等請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)將圖1中的RtEGF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度 “(0V “V45 ),如圖2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng) /MDC=15°時(shí)，連接MN,若AC= BC= 2,請(qǐng)求出線段 MN的長(zhǎng)；B重合)，當(dāng)AB=3AEEM與EN的數(shù)量關(guān)系（3）圖3,旋轉(zhuǎn)后，若RtEGF的頂點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)（不與點(diǎn)D、 時(shí)，線段EM與EN的數(shù)

21、量關(guān)系是 ;當(dāng)AB= m-AE時(shí)，線段 是.【答案】（1）解：EM=EN原因如下：3 / ACB= 90 ° AC= BC D是 AB 邊上的中點(diǎn).DC=DB /ACD=/B=45° Z CDB= 90 °4 / CD斗 / FDB= 90 °5 / GDF= 90 °.1. / GDC+ / CDF= 90 二 C CDM= / BDN在CDM和4BDN中/MCD=/B, DC= DB, /CDM=/BDN,6 .CDMABDN DM = DN 即 EM= EN(2)解：作DP,AC于P,則/ CDP= 45 ° CP= DP= A

22、P= 17 / CDG= 15/ MDP = 30 °出. cos/ MDP=妙1厄一方.DM=2',DM=DN,8 MND為等腰直角三角形P- X 二.MN=(3) NE=2ME; EN=(m-1)ME【解析】 【解答】解：(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME證明：如圖3,過(guò)點(diǎn)E作EP±AB交AC于點(diǎn)PA ED。則4AEP為等腰直角三角形，/ PEB= 90°，AE=PE AB= 3AE . BE= 2AE . BE= 2PE又 / MEP+ / PEN= 90°/ PENI+ / NEB= 90 °/ MEP= / NEB又

23、/ MPE= / B=45°.PMEABNE，EB 二，即 EN= 2EM由此規(guī)律可知，當(dāng) AB= m-AE時(shí)，EN=(m-1) ME【分析】(1) EM=EN;原因如下：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出DC= DB Z ACD= Z B=45° / CDB= 90°根據(jù)同角的余角相等得出/ CDM= / BDN,然后由ASA判斷出 CDMABDN根據(jù)全等三角形的應(yīng)邊相等得出 DM = DN即EM=EN;(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出/CDP= 45° CP= DP=AP= 1,根據(jù)角的和差得出/MDP = 30 ；根據(jù)余弦函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值

24、，由 cos/MDP=的得出DM的 長(zhǎng)，又DM = DN,故4MND為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出 MN 的長(zhǎng)；(3)NE= 2ME,EN=(m-1)ME,如圖3,過(guò)點(diǎn)E作EP!AB交AC于點(diǎn) 巳 則4AEP為等腰直角 三角形，ZPEB= 90° ,根據(jù)同角的余角相等得出/ MEP = / NEB然后判斷出 PMEABNE,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出 u結(jié)論，由此規(guī)律可知，當(dāng) AB = m AE 時(shí)，EN= (m-1) ME7.已知，如圖1,拋物線y=ax2+bx+ 3與x軸交于點(diǎn) B C,與y軸交于點(diǎn)A,且AO= CO, BC= 4.Z1(1)求拋物線解

25、析式；(2)如圖2,點(diǎn)P是拋物線第一象限上一點(diǎn)，連接 PB交y軸于點(diǎn)Q,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,線段OQ長(zhǎng)為d,求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式;備用圖(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn) Q作直線l，y軸，在l上取一點(diǎn) M(點(diǎn)M在第二象限)，連接 AM,使AM=PQ,連接CP并延長(zhǎng) CP交y軸于點(diǎn) K,過(guò)點(diǎn)P作PNL于點(diǎn)N,連接 KN、 CN、 CM.若/MCN+/NKQ= 45°時(shí)，求 t 值.【答案】(1)解：如圖1,圖L當(dāng) x=0 時(shí)，y=3,.A (0, 3),.OA=OC=3,BC=4,.OB=1,B (T, 0) , C (3, 0),/占-b f 3 - 0把B (- 1, 0) , C

26、 (3, 0)代入拋物線y=ax2+bx+3中得：山十池+ 3 -6尸, Jy= - x2+2x+3;解得：,匕?,拋物線的解析式為：(2)解：如圖2,卻設(shè) P (t, - t2+2t+3) (0<t<3),過(guò)P作PGJ± x軸于G,. OQ/ PG,.,.BOQABGP,d=d=- t+3 (0<t< 3)(3)解：如圖3,連接AN,延長(zhǎng)PN交x軸于G,由(2)知：OQ=3 t, OA=3, .AQ=OA- OQ=3- (3-t) =t, .QN=OG=AQ=t, AQN是等腰直角三角形，/ QAN=45 : AN=t,. PG/ OK, pg a OK a

27、-產(chǎn)3 J - J 康 = 3 ,OK=3t+3,AK=3t, / QAN=Z NKQ+Z ANK,。 / NKQ+Z ANK=45 ； / MCN+Z NKQ=45 ； / ANK=Z MCN, . NG=CG=3- t, .NGC是等腰直角三角形，.NC=短(3-t) , /GNC=45；/ CNH=Z NCM+Z NMC=45 °,/ NKQ=Z NMC,.AKNANMC, AK 網(wǎng).屆一位，,. AQ=QN=t, AM=PQ,RtA AQMARtA QNP (HL.), MQ=PN= - t2+2t+3 - (3-t) =- t2+3t, 3t2t產(chǎn)+簫7-”，t2- 7t+

28、9=0,ti=2>3, t2=,0<t<3,ti>3,不符合題意，舍去，【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，得出 A點(diǎn)的坐標(biāo)，再根 據(jù)點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離得出 OA=OC=3,又BC=4,從而得出 OB的距離，進(jìn)而得出 B,C兩點(diǎn)的 坐標(biāo)，再將 B,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線 y=ax2+bx+3中得出一個(gè)關(guān)于 a,b的二元一次方程 組，求解得出a,b的值，從而得出拋物線的解析式；(2)過(guò)P作PG±x軸于G,根據(jù)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)得出 P點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)P (t, - t2+2t+3) (0vtv 3),根據(jù)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊，所截得的三角形與原

29、三角形相似，得出 BOQsBGP,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出OQ： PG=OB： BG從而彳#出d關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；(3)連接 AN,延長(zhǎng) PN 交 x 軸于 G,由(2)知：OQ=3- t, OA=3,從而得 AQ=OA- OQ=3 -(3-t) =t,進(jìn)而得 QN=OG=AQ=t,從而判斷出AQN是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直 角三角形的性質(zhì)得出/ QAN=45 , AN= t ,根據(jù)平行線分線段成比例得出PG： OK=CG： OC,故 OK=3t+3, AK=3t,根據(jù)等式的性質(zhì)得出Z ANK=Z MCN,判斷出 NGC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出NC=V工(3-t

30、) , /GNC=45,再判斷出AKNMNMC,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出A K ： M N = A N ： N C ,再利用HL 判斷出 RtA AQMARtAQNP,故 MQ=PN= - t2+2t+3 - ( 3-t) =-t2+3t,從而得出關(guān)于 t的方程，求解并檢驗(yàn)即可得出答案8.如圖，已知 AB是。的直徑，弦 CD與AB交于點(diǎn)E, F為CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接 AF,且 FA2=FD?FC(1)求證：FA為。的切線；(2)若 AC=8, CE ED=6: 5, AE: EB=2: 3,求 AB 的值.【答案】(1)證明：連接BD> AD,如圖，.|以-即FC，F(xiàn)A FCF

31、l) FA3 / F=Z F,4 .FADAFCA./ DAF=Z C.5 / DBA=Z C,/ DBA=Z DAF.AB是。的直徑，.上里泗二”.上門(mén)胡，= 90- 90牡二立2-緲，即af± AB.FA為。O的切線.（2）解：設(shè) CE=6x, AE=2y,貝U ED=5x, EB=3y.由相交弦定理得：EC?ED=EB?EA.3加-你WV 也. . AE _員.=卵二.|再?lài)?yán)-尋心小豆.閑 , FC 二浮-：.即倒不 "。（FD +總尸- G屏了. . FD=5x.力聲二 H）- FC 出M二儂；叱/淖.'愛(ài)二短|.-.AD ED 疝.FADAFCA.AD D

32、F|須.=.* =方，始=%徨=G/除,5x 5x18可必,I，邛解得：陵=5：，=統(tǒng)層=.，二.AB的值為10【解析】【分析】（1）連接BD、AD,根據(jù)兩邊成比例且?jiàn)A角相等可得FAgFCA;由 FAD FCA及同弧所對(duì)的圓周角相等可得 / DBA=Z DAF;再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直 角即可得出結(jié)論。（2）設(shè)CE=6x則ED=5x,用相交弦定理表示出則 AE的長(zhǎng)，用勾股定 理及題中的已知條件分別表示出FD> AF、AD的長(zhǎng)；再利用 FA2 4FCA即可得出結(jié)論。9.如圖1,在 ABC中，/BAC=90°, AB=AC=4, D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AD,以 AD為 邊向右

33、側(cè)作等腰直角 4ADE,其中/ADE=90.(1 )如圖2 , G , H分別是邊AB , BC的中點(diǎn)，連接DG, AH , EH.求證： AGDsMHE；(2)如圖3,連接BE,直接寫(xiě)出當(dāng)BD為何值時(shí)，4ABE是等腰三角形;(3)在點(diǎn)D從點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求 4ABE周長(zhǎng)的最小值.【答案】(1)證明：如圖2,由題意知4ABC和4ADE都是等腰直角三角形,/ B=/DAE=45.H為BC中點(diǎn),AHXBC./ BAH=45 =/ DAE./ GAD=Z HAE.在等腰直角 BAH和等腰直角4DAE中，X-AH= - AB= 把 AG, AE=- AD.AH JE .AGDAAHE; 當(dāng)AB=

34、AE時(shí)，如圖4,此時(shí)E與C重合,(2)解：分三種情況： 當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=0,如圖3,此時(shí)AB=BE;.BD= B BC=2- -;當(dāng)AB=BE時(shí)，如圖 5,過(guò)E作EH，AB于H,交BC于M,連接 AM,過(guò)E作EG,BC于G,連接DH, . AE=BE EHL AB,.AH=BH,.AM=BM , / ABC=45 ；.AM ±BC, ABMH是等腰直角三角形， . AD=DE, /ADE=90,°易得ADM0DEG,.DM=EG, / EMG=Z BMH=45 ； EMG是等腰直角三角形，.ME=/ MG,ME ,- - % 工由（1）得：AHDsAME,且切 ,，

35、/AHD=/ AME=135 ； ME=把 DH,/ BHD=45 ； MG=DH, BDH是等腰直角三角形，.BD=DH=EG=DM=;綜上所述，當(dāng)BD=0或1'2或2*，時(shí)，4ABE是等腰三角形;(3)解：當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位置記為點(diǎn) M,連接CM,如圖6,N此時(shí)，ZABM=ZBAC=90, Z AMB= Z BAM=45 , BM=AB=AC.，四邊形ABMC是正方形./ BMC=90 ；/ AMC=Z BMC-/ AMB=45 ； / BAM=Z DAE=45 ；Z BAD=Z MAE,在等腰直角 BAM和等腰直角 DAE中，AM=并 AB, AE=M AD.AM AE

36、M如,.ABDAAME./ AME=Z ABD=45 °.點(diǎn)E在射線MC上，作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)E', BE+AE=NE+AE > AN=NE ' +AE =BE ' +AE ' ABE就是所求周長(zhǎng)最小的 ABE.在 RtABN 中，. AB=4, BN=2BM=2AB=8,.an=W爐*城=腦. i ABE周長(zhǎng)最小值為 AB+AN= 4+4N ; .【解析】【分析】(1 )由等腰直角三角形的性質(zhì)可得 / B=Z DAE=Z BAH=45 ,所以AH AB/GAD=/ HAE,計(jì)算可得比例式：和，根據(jù)有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，

37、且它們的夾角也相等的兩個(gè)三角形相似可得 AG3 AHE;(2)根據(jù)等腰三角形的定義可知分3種情況討論：當(dāng)B與D重合時(shí)，即BD=0,此時(shí)AB=BE 當(dāng)AB=AE時(shí)，此時(shí)E與C重合，用勾股定理可求得 BD的值；當(dāng)AB=BE時(shí)，過(guò) E作EHI± AB于H,交BC于 M,連接 AM,過(guò)E作EG, BC于G,連接 DH,由已知條件和(1)的結(jié)論可求解；(3)當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E的位置記為點(diǎn) M,連接CM,作點(diǎn)B關(guān)于直線MC的對(duì)稱(chēng) 點(diǎn)N,連接AN交MC于點(diǎn)E',由已知條件易證四邊形 ABMC是正方形，由已知條件通過(guò)計(jì)AM Ah算易得比例式：，根據(jù)有兩對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且它們的夾角也相等的

38、兩個(gè)三角形相似可得ABA4AME,則/AME=/ABD=45 ,于是可得點(diǎn) E在射線 MC上，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性 質(zhì)可得 ABE就是所求周長(zhǎng)最小的 ABE,在RtAABN中，用勾股定理即可求得 AN的值， 則 ABE周長(zhǎng)最小值=AB+AN即可求解。10.如圖，在 RtABC中，/C=90°,頂點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-1,2), ( 3, 2)，點(diǎn) B在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0),拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn).J門(mén)=將點(diǎn)A (-1,2) , B (3,0),代入可得,'沏，力 0 ,解得 2 ，直線AB為y二設(shè)點(diǎn)P (x,/ * 子5),過(guò)點(diǎn) P作PN±

39、x軸，交直線 AB于點(diǎn) M,則 M (x,(3)J時(shí)，如圖1,點(diǎn)N在BC的線段上，BN=5 , BM=. MNXAB,/應(yīng) ' 掰加 9。： 又. A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2), .AC/x 軸,BC/ y 軸,/ ACB=90 ；|/俄I- /蟻；=/，.|/您=,飛也|又 / MBN=Z ACB=90 , BNM-A CAB,BM= / ADN=/ ACB=90 , °Z DAN=/ CAB, .ADN>A ACB, / BDM=Z ACB=90，/ DBM=Z CAB, .BDM-AACB,1 6t - - - -r - Jr 則16解

40、得一彳5 16 r - - 綜上，【解析】【分析】(1)將點(diǎn)A (T, 2) , C (3, 2),代入拋物線y=-x2+bx+c中，聯(lián)立方程組解答即可求出 b和c的值；(2)由A (-1,2) , B (3,0) , C (3,2)可求出直線 AB的解析式和$ 篇，從而求出S a PP設(shè)PP (x, -于3 ),過(guò)點(diǎn) P作PN±x工，、一八、一二, *二、 一g- T*乂 受?一麴 一 5,軸，交直線AB于點(diǎn)M,則M (x,1'二)，可得一 代入求出P的橫坐標(biāo)x的值，再代入拋物線的解析式求出點(diǎn) P的縱坐標(biāo)；(3)首先要明確 時(shí)間t表示點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由點(diǎn) M, N的速度可求

41、出它們當(dāng)?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)的時(shí)間 t,取其 中的較小值為t所能取到的最大值；由點(diǎn) M只在線段OB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在線段BC和線段AC上運(yùn)動(dòng)，則要分成兩部分進(jìn)行討論，當(dāng)點(diǎn) N在線段BC上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)N在線段AC上時(shí)， 并分別求出相應(yīng)時(shí)間 t的取值范圍；結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)得到相應(yīng)邊成比例，列 方程解答即可.11.已知二次函數(shù) y=ax2+bx+3的圖象分別與 x軸交于點(diǎn)A (3, 0) , C (-1, 0),與y軸 交于點(diǎn)B .點(diǎn)D為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn).(1)如圖 所示，求此二次函數(shù)的關(guān)系式:(2)如圖 所示，在x軸上取一動(dòng)點(diǎn)P (m , 0),且1vmv3,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線分別交二次函數(shù)圖象、線段

42、AD , AB于點(diǎn)Q、F , E ,求證：EF=EP;(3)在圖中，若R為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AR ,則 川BR+AR的最小值(直接寫(xiě)出結(jié)果).【答案】(1)解：將 A (3, 0) , C (-1, 0)代入 y=ax2+bx+3,得:J b + 3白，解得： 匕?,此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=-x2+2x+3(2)證明：y=-x2+2x+3=- (x-1) 2+4,.點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).設(shè)線段AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+c (kw。，將 A (3, 0) , C (0, 3)代入 y=kx+c,得：3k + c = Gk = - 1-3 ,解得：'-3 ,線段AB所在直

43、線的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3.同理，可得出：線段 AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式為 y=-2x+6.,一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m, 0),，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m, -m+3)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m, -2m+6),EP=-m+3, EF=-m+3, .EF=EP(3)【解析】【解答】解(3)如圖，連接BC,過(guò)點(diǎn)R作RQ± BC,垂足為Q.yjk . OC=1, OB=3, .BC=J.（勾股定理） / CBO=Z CBO, / BOC=Z BQR=90 ； .BQFAAOB,HR 0，即,憎 . RQ=BR, .AR+ BR=AR+RQ亞 當(dāng)A, R, Q共線且垂直 AB時(shí)，即AR+*BR=AQ時(shí)，其值最

44、小./ ACQ=Z BCO, / BOC=Z AQC,.CQAACOB,際元故答案為：方.【分析】（1）根據(jù) A, C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用待定系數(shù)法求出線段 AB, AD所在直線的函數(shù)關(guān)系式，用 m表示EF, EP的長(zhǎng)，可證得 結(jié)論；（3）連接BC,過(guò)點(diǎn)R作RQ± BC,垂足為 Q,則BQRAOB,利用相似三角形的性質(zhì)可得出RQ=網(wǎng)BR,結(jié)合點(diǎn)到直線之間垂直線段最短可得出當(dāng)A, R, Q共線且垂直在AB時(shí)，即 AR+ 川 BR=AQ時(shí)，其值最小，由/ ACQ=/ BCO, / BOC=/ AQC可得出 CQAsCOB,利用相似三角形的性質(zhì)可求出AQ的值，此題得解.12.已知：如圖，在 RtABC 中，/C=90°, AC= 3cm, BC= 4cm,點(diǎn) P 從點(diǎn) B 出發(fā) BC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；同時(shí)，點(diǎn) Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng), 度為2cm/s；當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(0vtv2.5),解答下列問(wèn)題：,沿速(s)(1) BQ =, BP= 設(shè)4PBQ的面積為y