1、2020年高考模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目 要求的。1 .設(shè)集合 A= x| x2 - 5x+6>0, B=x|x-1<0,貝U AC B=A. ( -8, 1)B. ( -2, 1)C. ( - 3, - 1)D. (3 , +8)1 .A 由題意得，Axx(2 或 x')3,Bxx 1 ,則 A B x x 1 .故選 A.2 .設(shè)z=-3+2i ,則在復(fù)平面內(nèi)Z對應(yīng)的點位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3 .C 由z 3 2i,得Z 3 2i,則Z 3 2i,對應(yīng)點(

2、-3 , -2 )位于第三象限.故選C.3.已知 AB =(2,3),uurAC =(3，t)，uuu|BC |=1 則ULUl ULUlAB BC =A. - 3C. 2uuinuuur uum3.C 由 BC AC AB (1,t 3),B. - 2D. 3uuinBCUUUUUU，12 (t 3)2 1 ,得 t 3 ,則 BC (1,0),uuu uuurABgBC (2,3)c(1,0)2 1 3 0 2 .故選 C.4. 2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通

3、訊聯(lián)系.為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設(shè)地球質(zhì)量為M,月球質(zhì)量為 M,地月距離為R, L2點到月球的距離為r,根據(jù)一一一、 M1 M2M1r牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程： 氣得(R r)11.設(shè) 工，由于 的值很小，(R r)2r2R3R因此在近似計算中(1)2r的近似值為B.C.33M2R. M1D.3 M2R 3M 14.D所以(RM1 r)2M2-2- r(RM1 r)RM1R2(1)2(1M1R2 '(1)(1(1)2M2 3M1所以 r R 3 M2 R. 3M15 .

4、演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到 7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.極差5.A 設(shè)9位評委評分按從小到大排列為x1 x2 x3 x4 Lx8 x9 .則原始中位數(shù)為x5 ,去掉最低分最高分 x9,后剩余 x2xdLx8,中位數(shù)仍為x5,A正確.小，- 11 ,.、原始平均數(shù)x- (x1x2x3x4Lx8x9),后來平均數(shù)x一 (x2x3x4Lx)97平均數(shù)受極端值影響較大，x與x不一定相同，B不正確S2191-X27_ 2_ 2_ 2xixxix Lx9

5、x_ 2_ 2_ 2xX3 x LX8 x由易知，C不正確.原極差=X9-Xi,后來極差=%-X2可能相等可能變小,D不正確.6.若 a>b,貝UA. ln( a- b)>0B.3a<3bD.C. a3-b3>06.C 取 a 2,b1,滿足 a b, ln(a b) 0,知 a錯,排除A;因為9 3a3b 3,知B錯，排除B;1,b2,b 2,知D錯，排除D,因為哥函數(shù)yx3是增函數(shù)，a b,所b3,故選C.7.3為兩個平面，則a / 3的充要條件旦 ZEA.a內(nèi)有無數(shù)條直線與3平行B.a內(nèi)有兩條相交直線與C.a, B平行于同一條直線D.a , (3垂直于同一平面7.

6、B 由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是 /的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若 / ，則 內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是 /的必要條件,故選B.28 .若拋物線y2=2px( p>0)的焦點是橢圓 3P1的一個焦點，則p=A. 2C. 4B. 3D. 828.D因為拋物線y2 2px(p 0)的焦點(-,0)是橢圓23p2y ，, 一， 1的一個焦點，所以 3p pP得P 8,故選D.9.下列函數(shù)中，以 為周期且在區(qū)間（，）單調(diào)遞增的是A. f(x)=cos2xB.f (x)=sin2 xC. f (x)=cosxD.f (x)=sinxD；因為y c

7、osx cosx,周期為2 ,排9.A 因為y sin |x|圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除除C,作出y cos2x圖象，由圖象知，其周期為在區(qū)間（7萬）單調(diào)遞增，A正確；作出y |sin2x的v=ji>rxX210712圖象，由圖象知，其周期為 一，在區(qū)間（-,-）單調(diào)遞減，排除B,故選A.24 2210.已知 a e (0 ,),2sin2 a 2=cos2 a +1 ,則sinB.p -3C 3D.10.BQ 2sin 2cos2 1,4sincos22cos.Q0, cos2sin0,2sin cos ，又 sin22 cos1,_ . 2. 25sin1, sin1一，又

8、sin 0,sin5上，故選B.2211 .設(shè)F為雙曲線C：勺、1(a 0,b 0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2 y2 a b交于P, Q兩點.若|PQ |OF ,則C的離心率為A.2B. .3C. 2D.511 .A 設(shè)PQ與x軸交于點A,由對稱性可知PQ x軸,又Q|PQ |OF| c, |PA|PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑,A為圓心C C. > ,_. nonP ,，又P點在圓x y a上, 2 22a2,即 Ja2,2e J2,故選A.12 .設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x 1) 2 f(x),且當(dāng)x (0,1時，f(x) x(x 1) .若對任意,8

9、 一、 8x (,m,都有f (x) 則m的取值范圍是9B.A.C.D.12.B Qx (0,1時，f(x)=x(x 1), f (x+1)=2 f (x), f(x) 2f(x 1),即 f (x)右移 1 個單位，圖像變?yōu)樵瓉淼?倍.29X如圖所示：當(dāng)2x 3時,f(x)=4f(x 2)=4(x 2)(x 3),令 4(x 2)( x 3)56X(38)XI二、填空題：本題共 4小題，每小題5分，共20分。13 .我國高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有 10個車次的正點率為 0.97 ,有 20個車次的正點率為 0.98,有10個車次的正點率為 0.99,則經(jīng)停該站

10、高鐵列車所有車次的平均正點 率的估計值為.13.0 . 98由題意得，經(jīng)停該高鐵站列車正點數(shù)約為10 0.97 200.98 10 0.99 39.2,其中高鐵個數(shù)為10+20+10=40,所以該站所有高鐵平均正點率約為39.20.98.40所以（2c）2 c2 2 2c c 1 62, 2即 c2 12解得c 2#c2J3 （舍去）所以 a 2c 4J3,S ABC 1acsin B 1 43 2.3 -3 6.3. 22216.中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1) .半正多面體是由兩

11、種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1 .則該半正多面體共有 個面，其棱長為.(本題第一空2分，第二空3分.)16.(1)26 (2)J2 1.由圖可知第一層與第三層各有9個面，計18個面，第二層共有 8個面，所以該半正多面體共有18 8 26個面.如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為 x ,則AB BE x ,延長BC與FE交于點G ,延長BC交正方體棱于 H ,由半正多面體對稱性可知，BGE為等腰直角三角形，BG GE CH -x, GH 2 x x (6 1)x 1,22J2

12、1,即該半正多面體棱長為三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17 . ( 12 分)如圖，長方體 ABCD A1BGD的底面ABC比正方形，點 E在AA上，BEL EC.(1)證明：BEL平面EBG;(2)若AE=AE,求二面角 B- EC- C的正弦值.17. (1)由已知得，B1c1 平面 ABB1A, BE 平面 ABB1A,故 B1C1BE.又BE EC1,所以BE 平面EB1cl .(2)由(1)知 BEB1 90 .由題設(shè)知 RtAABE R

13、tAAB1E ,所以 AEB 45 ,故 AE AB , AA 2AB .uuiruuu以D為坐標(biāo)原點，DA的方向為x軸正方向，| DA|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D-xyz,則C(0, 1,0) , B(1,1, 0) , Ci (0, 1,2) , E(1,0,uuu1), CBuur(1,0,0) ， CEUULU(1, 1,1), CG (0,0,2) .設(shè)平面EBC勺法向量為n= (x, v，x),則uurCB n 0,x 0,uuu 即CE n 0,x V z 0,所以可取n=(0, 1, 1).設(shè)平面ECC1的法向量為m= (x, y, z),則uuuuCC1 m

14、0,日口 2z 0, uur即CE m 0, x y z 0.所以可取m= (1, 1, 0).nr'.日cos n, mn m|n l|m|所以，二面角BEC C1的正弦值為18.(12 分)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得 2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5 ,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4 ,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.(1)求 P (X=2);(2)求事件“ X=4且甲獲勝”的概率18. (1) X=2就是10 ：

15、10平后，兩人又打了 2個球該局比賽結(jié)束， 則這2個球均由甲得分，或者均由乙得分.因 此P (X=2) =0.5 X 0.4+ (1-0.5) X (1-0.4) =0.5.(2) X=4且甲獲勝，就是10 ： 10平后，兩人又打了 4個球該局比賽結(jié)束，且這 4個球的得分情況為：前 兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5 X ( 1 - 0.4 ) + ( 1 - 0.5 ) X 0.4 X 0.5 X 0.4=0.1 .19. ( 12 分)已知數(shù)列an和bn滿足a1=1,b1=0,4an13anbn4, 4bn 1 3bnan4.(1 )證明： a+bn是等比數(shù)列，a

16、n - bn是等差數(shù)列；(2)求an和bn的通項公式.19. (1)由題設(shè)得 4(an 1 bn 1)1 , 2(an bn),即 an 1 bn 1 -(anbn).1又因為a1+b1=l ,所以an bn是首項為1,公比為一的等比數(shù)列.2由題設(shè)得 4(an1bn1)4(anbn)8 ,即an1bn1 anbn2 .又因為ab1=l,所以an bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.1(2)由(1)知，an bn F, an bn 2n 1.2,1所以 an 2(anbn)(anbn)12',12nbn 2(an bn) (an bn)20. (12 分)x 1 已知函數(shù)f x ln x

17、 .x 1(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點;(2)設(shè)Xo是f(x)的一個零點，證明曲線y=lnx在點A(Xo,lnXo)處的切線也是曲線yex的切線.20. (1) f (x)的定義域為(0, 1) U (1, +8).因為1 f'(x)x2(x 1)20,所以f(x)在(0, 1) , ( 1, +8)單調(diào)遞增.e2 3e2 1一.e 1°e21因為 f (e) =1 0, f (e2) 2e 1e 10 ,所以f (x)在(1, +8)有唯一零點x1,即 f (x。=0.又 0 1, f () x1x1In x1x1 1x1 1f (x) 0 ,

18、故f (x)在(0, 1)有唯一零點1一.x1綜上，f (x)有且僅有兩個零點.1 l1、，(2)因為 一 e ,故點B ( Tn x0, 一)在曲線y=e上.1x01x0x011x01Yx0x0x01x0x。X 1 In x0由題設(shè)知f(x0) 0,即lnx° x，故直線 AB的斜率k -x0比 1In x0 x0Inx在點A(x°,ln x°)處切線的斜率也是“11曲線y=ex在點B( In x0,一)處切線的斜率是 一，曲線y x0x01一, x0所以曲線y In x在點A(x°,ln x°)處的切線也是曲線 y=ex的切線.21 . (

19、 12 分)已知點A(-2,0) , B(2,0),動點Mx,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線 C.2(1)求C的方程，并說明 C是什么曲線；(2)過坐標(biāo)原點的直線交 C于P, Q兩點，點P在第一象限，P口x軸，垂足為E,連結(jié)Q可延長交C于點G(i)證明： PQG是直角三角形；(ii )求 PQG面積的最大值.21. (1)由題設(shè)得 yyx 2 x 21x21,化簡得上242y21(|x| 2),所以C為中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點.(2) (i)設(shè)直線PQ的斜率為k,則其方程為y kx(k 0).2.1-2k2y kx由x2v2得x-工142、一 2 i

20、一 一_記 u.則 P(u, uk),Q( u, uk),E(u,0).J 2k2kk于是直線QG的斜率為k,方程為y k(x u).22y -(x u), 由2 2 2得土 L 1422.22. 2 2(2 k )x 2uk x k u 8 0 .設(shè)6a6,丫6),則u和xG是方程的解，故 xG_ 2-u(3k 2)2 k2,由此得yGuk32 2 k從而直線PG的斜率為uk32 k2uku(3k2 2)2 k2所以PQ PG ,即zPQG是直角三角形.(ii )由(i )得 |PQ| 2uV1 k2 , |PG |2uk k2 12 k2所以 PQG勺面積1,S | PQlI PG |228k(1 k2)(1 2k2)(2 k2)8(1 k)121 2(1 k)1設(shè)14+,則由k>0得t>2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時取等號. k8t16因為S 在2 , +00)單調(diào)遞減，所以當(dāng) t=2,即k=1時，S取得最大值，最大值為 1 2t29因此， PQ面積的最大值為16§(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選