1、專題5. 1平面向量的概念及其線性運算【考情分析】L 了解向量的實際背景；2 .理解平而向量的概念，理解兩個向量相等的含義；3 .理解向量的幾何表示；4 .掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義；5 .掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義；6 .了解向量線性運算的性質及其幾何意義.【重點知識梳理】知識點一向量的有關概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量：向量的大 小叫做向量的長度（或稱模）平而向量是自由向量零向量長度為0的向量記作0,其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為端平行向量方向相同或相反的非零向量（又叫 做共線向量）0與任一向量平行或

2、共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大 小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0知識點二向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和 的運算21/h a三角形法則a平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b + a：(2)結合律：(a+b)+c=a+(b+ c)減法求a與b的相反 向量一b的和的 運算叫做a與b 的差a三角形法則a-b=a+(-b)數乘求實數2與向量 a的積的運算|同=囚同，當2>0時，瓶的方 向與a的方向相同；當iVO時， 2a的方向與a的方向相反：當7 =0 時，Aa=Oz(/za)=(ZjM)a ； (2+

3、)a =za+a； 2(a+b)=za4-zb知識點三共線向量定理向量a(aM)與b共線，當且僅當有唯一一個實數人 使得b=/a,向量概念的4點注意(1)注意0與0的區別，0是一個實數，0是一個向量，且|0|=。(2)單位向量有無數個，它們的模相等，但方向不一定相同.(3)零向量和單位向量是兩個特殊的向量，它們的模是確定的，但是方向不確定，因此在解題時要注意 它們的特殊性.比如：命題“若ab, bc,則2/是假命題，因為當b為零向量時，a, c可為任意向量，兩者不一 定平行.(4)任一組平行向量都可以平移到同一直線上.【特別提醒】向量線性運算的3點提醒(1)兩個向量的和仍然是一個向量.(2)利

4、用三角形法則時，兩向量要首尾相連，利用平行四邊形法則時，兩向量要有相同的起點.(3)當兩個向量共線時，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則不適用.【拓展提升】共線向量定理的深解讀定理中限定了 aM，這是因為如果a = 0,則2a=0,(1)當bM時，定理中的九不存在：(2)當b=0時，定理中的尤不唯一.因此限定aM的目的是保證實數2的存在性和唯一性.知識點四必備結論1 . 一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量， 即工X+疝;+工S+特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.2 .在A43C中，.10, BE, CF分別為三角形三邊上的中線

5、，它們交于點G(如圖所示)，易知G為5c 的重心，則有如下結論：(1) GA + GB + GC =0：(2) (方+/)；(3) GD =（GB +GC）=（AB + JC ）.3 .若畝=351+"碇（2, 4為常數），貝IJM, B, C三點共線的充要條件是2+=L4 .對于任意兩個向量 a, b,都有：®|a|-|b|<|aib|<|a|+|b|； ®|a+b|2+|a-b|2=2（|a|2+|b|2）.當 a, b 不共線時：的幾何意義是三角形中的任意一邊的長小于其他兩邊長的和且大于其他兩邊長的差的絕對值: 的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長

6、與兩對角線的長之間的關系.【典型題分析】高頻考點一平面向量的有關概念【例1】（2020 河北正定中學模擬）設。為單位向量，下列命題中：若。為平而內的某個向量，則 a=a ao：若。與的平行，則。=hlao：若g與no平行且bl= 1,則。=的.假命題的個數是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，。與mm。的模相同，但方向不一定相同,故是假命題：若。 與的平行，則與的的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時。=一同。0,故也是假命題.綜 上所述，假命題的個數是3,故選D.【歸納總結】向量有關概念的關鍵點（1）向量定義的關鍵是方向和長度.（2）非零共

7、線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制.（3）相等向量的關鍵是方向相同且長度相等.（4）單位向量的關鍵是長度都是一個單位長度.（5）零向量的關鍵是長度是0,規定零向量與任意向量共線.【變式探究】（2020 湖南長郡中學模擬）給出下列命題：兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量：瓶=0（2為實數），則2必為零：心為實數，若加=b,則a與b共線.其中錯誤的命題的個數為（）A. 0B.1C. 2D. 3【答案】D【解析】錯誤，兩向量共線要看其方向而不是起點或終點.錯誤，當a=0時，不論i為何值，命 =0.錯誤，當4="=0時，而=b=0,此時，a與b可以是任意向量.故錯誤的命題有3個，

8、故選D.高頻考點二向量的線性運算【例2】(2018全國卷【)在.45。中，.10為3c邊上的中線，E為,的中點，貝IJE3=( )- 3-4 A1 -41 -43-4CAB【答案】 A1x|( AB + JC )+1( AB J?)【解析】作出示意圖如圖所示.£5 =訪+市=AD=乙乙【方法技巧】向量線性運算的解題策略(1)向量的加減常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形 法則，求差用三角形法則，求首尾相連向量的和用三角形法則.(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉化到同一個平行四邊形或三角形 中求解.【變式探究】(2020.皖

9、南八校聯考)如圖，在直角梯形A8CZ)中，AB=2AD=2DC, E為BC邊上一點，BC=3EC,尸為AE的中點，則后1=()122 1 A.B.一科3+£。1 2-)> 1- C.D.【答案】B 1 1 -【解析】根據平面向量的運算法則得 乙乙BE=|ic, BC=AC AB.->>>1 ->因為zlC=zLD+Z)C, DCflB,> 1 - 9 - 1 -ID+ylB-AB）=故選 B.高頻考點三根據向量線性運算求參數【例3】（2020 湖北武漢中模擬）在A48。中，.15 = 2, BC=3,乙15C=60。，乂。為8C邊上的高,。為.10

10、的中點，若芯=2而+限打，其中2, WR,則等于（）A. 1B,5clD -C 33【答案】D【解析】由題意易得芯=方+詬=下*+：就，> > 1 > 1 1>則2 a。= <3+彳8。，即乂0=5工5+工3。 5Z O珀 1.12【方法技巧】解決此類問題可以通過研究向量間的關系，通過向量的運算將向量表示出來，進行比較 求參數的值.-1 -> 2【變式探究】（2020,山西師大附中模擬）在"BC中，AN=NC, P是直線5N上一點，若AC,則實數6的值為（）A. -4 B. -1 C. 1 D. 4【答案】B【解析】9：AN=NC. ：.AC=5A

11、N. ?>乂AP=jbAB+亍/C,：.AP=?nAB+2AN,由3, P, N三點共線可知，m+ 2 = 1,=高頻考點四 共線向量定理的應用【例4】（2020 哈爾濱六中模擬）設兩個非零向量g與力不共線，（1）若益=+6,記=2+汕，CD=3（a-b）,求證：乂，B,。三點共線:（2）試確定實數k,使癡+。和。+協共線.【解析】（1）證明：9：AB=a+b, BC=2a+Sb, 8=3（。-6）,：.BD=BC+CD=2a-3b+3(a b)= 2+86+3,-3b = 5(，+6) = 5HA：.AB,訪共線，又它們有公共點反.4 B,。三點共線.(2)%+b和+汕共線，工存在實數

12、九使垢+6=，。+»)，即加+。=幼+北瓦 ，(左一力=(及一 1)6.I, 6是兩個不共線的非零向量，左一 一 1 = 0,，好一 1=0, ：.k=±.【方法技巧】利用共線向量定理解題的方法(l)ab=a=jb(b,0)是判斷兩個向量共線的主要依據.注意待定系數法和方程思想的運用.(2)證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩 向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.即,4, B, C三點共線/共線.(3)若a與b不共線且2a=b,則2=0.(4)07=1OB +/OC (A, 為實數)，若,4, B, C 三點共線，則 2+=